BÀI TOÁN FROBENIUS VỚI 3 SỐ
3.2 Vài kết quả trong lịch sử giải bài toán Frobenius
Như đã trình bày ở Chương 2, bài toán Frobenius đã được giải quyết trọn vẹn cho trường hợp hai số. Từ những năm 1980, người ta đã biết công thức tính số Frobenius trong trường hợp 2 số (Định lí hai đồng xu). Trong bài báo [Sy] năm 1884, Sylvester đã viết công thức tính số các số nguyên dương không biểu diễn được qua hai số (Định lí Sylvester). Cụ thể, với hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau n1, n2, công thức tính số Frobenius là
g(n1, n2) = n1n2 −n1 −n2
và công thức tính số các số nguyên dương không biểu diễn được là n(n1, n2) = 1
2(n1 −1) (n2 −1).
Nhận xét rằng công thức tính số Frobenius g(n1, n2) trong trường hợp hai số được cho dưới dạng một đa thức n1n2−n1−n2 của các biến n1, n2. Vì thế, rất tự nhiên, người ta quan tâm đến việc mở rộng bài toán Frobenius, tức là mở rộng các công thức này cho trường hợp 3 số trở lên. Tuy nhiên việc đưa ra một công thức tính số Frobeniuscho trường hợp nhiều hơn hoặc bằng 3 số là vô cùng khó, nó đã và đang thách thức các nhà toán học trong suốt thời gian dài và cho đến nay vẫn là bài toán mở.
Giai đoạn 1960 - 1975, một loạt công trình liên quan đến bài toán Frobenius trong trường hợp 3 số được công bố. Một số trường hợp cụ thể được xét đến trong công trình của S. M. Johnson, A linear Diophantine Problem, Can. J. Math, 12 (1960), 390-398. Có thể nói, trong giai đoạn này, kết quả tiêu biểu nhất cho trường hợp 3 số là bài báo của J. S. Byrnes:
17 (1974), 162-166. Ông đã chứng minh công thức tính số Frobenius sau đây cho một trường hợp đặc biệt.
Định lí: Cho n1, n2, n3 là các số nguyên dương với n2 ≡ 1 (modn1). Gọi
j là các số nguyên cho bởi n3 ≡j(modn1) với 0≤ j < n1. Khi đó
g(n1, n2, n3) = n1n2 −(n1 +n2) khi n3 ≥ jn2 n1 −m j n3 −(m−1)n2 −n1 khi (j −m)n2 < n3 ≤jn2 n1 −m−j j n3 + (j−1)n2 −n1 khi j(j−m) n1 −m +jn2 ≤ n3 < (j −m)n2,
trong đó nếu j = 0 thì điều kiện n3 ≥ jn2 hiển nhiên thỏa mãn, do đó
g(n1, n2, n3) =n1n2−(n1 +n2), còn nếu j 6= 0 thì ta gọi m là số tự nhiên thỏa mãn n1 ≡ m(modj) với 1≤ m < j.
Hơn 40 năm trở lai đây, bài toán Frobenius, các mở rộng của bài toán Frobenius và các ứng dụng của nó đã và đang thu hút rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Để giải quyết bài toán Frobenius, người ta đi theo 3 hướng chính.
a. Tìm công thức tính số Frobenius. Quan sát kết quả trên của J. S. Byrnes thấy rằng nếu 3 số tự nhiên n1, n2, n3 thỏa mãn n2 ≡ 1 (modn1)
thì công thức tính số Frobenius g(n1, n2, n3) được định nghĩa bởi 3 hàm (2 trong số đó không là đa thức) theo các biến n1, n2, n3.
f1 = n1n2 −(n1 +n2)
f2 = n1 −m
j n3 −(m−1)n2 −n1 f3 = n1 −m −j
j n3 + (j −1)n2 −n1,
trong đó j và m được tính theo a1, a2, a3. Vì thế, người ta cố gắng tìm công thức tính số Frobenius thông qua hữu hạn đa thức. Tuy nhiên, năm 1990, trong bài báo "On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup, Math. Scand, 67 (1990), 190-192", F.Curtis đã phát hiện ra một kết quả quan trọng sau đây:
Định lí.Không thể tìm được một công thức tính số Frobenius g(n1, n2, n3)
xác định bởi hữu hạn đa thức.
Tuy không thể có được một công thức như mong muốn để tính số Frobenius, gần đây (năm 2010), Christian Blatter [Bla] đã đưa ra một công
thức "đẹp nhất có thể" để tính số Frobenius cho k số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Kết quả này đã được trình bày trong Chương 3, Tiết 3.1 của luận văn (xem Định lí 3.1.3).
b. Tìm thuật toán tính số Frobenius. Xét về qua điểm thuật toán, bài toán Frobenius cũng có một lịch sử ấn tượng. Có hàng trăm công trình nghiên cứu thuật toán tìm số Frobenius và độ phức tạp của nó. Những kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này thuộc về A. Brauer và J. E. Shockley trong bài báo A problem of Frobenius đăng trên tạp chí nổi tiếng J. Reine Angew. Math. năm 1964, họ đã đưa ra một thuật toán tất định để tính số Frobenius trong trường hợp n2 ≡ −n3(modn1). Tiếp theo là kết quả của G. R. Hofmeister trong bài báo Zueinem Problem von Frobenius,
Norske Videnskabers Seelsbs Skrifter 5 (1966). Một số thuật toán tìm số Frobenius g(n1, ..., nk) được đề xuất như thuật toán của M. Nijenhuis,
A minimal-path algorithm for the ’money changing’ problem, American Journal Monthly, 86 (1979), 832-838, thuật toán của H. Greenberg, An al-gorithm for a linear Diophantine equation and a problem of Frobenius,
Numer. Math., 34 (1890), 349-352. Đặc biệt, trong bài báo Lattice trán- lates of a polytope and the Frobenius problem, Combinatorica, 12 (1992), 161-177, R. Kannan đã trình diễn một thuật toán thời gian đa thức để giải quyết bài toán Frobenius với một số k cố định. Còn rất nhiều thuật toán khác để tính số Frobenius dựa trên các thành tựu và ý tưởng của Toán tối ưu, Toán quy hoạch và các kĩ thuật khác.
c. Chặn trên cho số Frobenius. Bên cạnh việc tìm thuật toán để tính số Frobenius, một hướng nghiên cứu khác cho bài toán Frobenius là chặn trên cho số Frobenius, mà hai công trình tiêu biểu về hướng nghiên cứu này thuộc về H. E. Scarf và D. F. Shallcross, The Frobenius problem and maximal lattice free bodies, Math. Oper. Res., 18 (1993), 511-515 và J. L. Ramisrez Alfonsin, Complexity of the Frobenius problem, Combinatorica, 16 (1996), 143-147. Đã có nhiều cuốn sách viết lại các kết quả quan trọng trong lịch sử giải bài toán Frobenius. Một trong những tài liệu tốt nhất về chủ đề này là cuốn sách của J. L. Ramisrez Alfonsin, The diophantine Frobenius problem xuất bản bởi Oxford University Pres năm 2005 (cuốn sách này được viết dựa trên 500 tài liệu tham khảo liên quan đến bài toán Frobenius).
Bài toán Frobenius có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Lí thuyết số, Lí thuyết tự động và Tổ hợp. Đặc biệt, người ta đã không thể hiểu nổi độ phức tạp của phương pháp "Shell-sort" cho đến khi J.Incerpi và R. Ssdgewick chỉ ra rằng bài toán Frobenius có thể dùng để đưa ra những chặn trên cho độ phức tạp thời gian của thuật toán phân loại này. Bài toán Frobenius cũng được sử dụng để phân tích các mạng Petri, để nghiên cứu bài toán phân loại các không gian véc tơ, các nhóm Aben, để nghiên cứu các mật mã hình học đại số thông qua tính chất của các nửa nhóm đặc biệt, để nghiên cứu các bài toán xếp hình... Để biết thêm các ứng dụng của bài toán Frobenius, chúng ta có thể tham khảo các tài liệu: J. C. Rosales and P. A. Garcia-Shanchez, Numerical semigroups with embbeding dimension three,
Arch. Math. (Basel) 83 (2004), 488-496; A. M. Robles-Perez and J. C. Rosales, The Frobenius problem for numerical semigroups with embbeding dimension equal to three, Math. Comput., 81 (20102), 1609-1617.
Kết luận
Luận văn trình bày một cách hệ thống những kết quả quan trọng cho bài toán Diophantine tuyến tính của Frobenius trong 3 tài liệu sau đây:
1. J. L. Ramisrez Alfonsin, The diophantine Frobenius problem, Oxford University Press năm 2005.
2. F. Curtis, On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup, Math. Scand., 67 (1990), 190-192.
3. Jeffrey Shallit, The Frobenius Problem and Its Generalizations, Lec- ture Notes in Computer Science(Springer), 5257 (2008), 72-83.
Nội dung chính của luận văn là:
• Giới thiệu sơ lược về bài toán Frobenius và chứng minh sự tồn tại số Frobenius g(a1, ..., ak) (Mệnh đề 1.2.5).
• Trình bày hai cách chứng minh cho Định lí hai đồng xu về công thức tính số Frobenius g(a, b) (Định lí 2.1.1).
• Chứng minh công thức tính số các số nguyên dương không biểu diễn được qua a, b (Định lí 3.1.3).
• Tóm lược những thành tựu và các hướng nghiên cứu tiếp theo đối với bài toán Frobenius cho trường hợp từ 3 số trở lên.