Đặt G là nhóm hữu hạn Abel với phép toán đuợc viết nhu là +. Đặt Y = {z e c: |z| = 1} nhu là vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng số phức. Chúng ta thấy
rằngY là một nhóm Abel với phép toán nhân thông thuờng của số phức. Những đặc trung của G là những đồng cấu nhóm từ G vào Y. Nghĩa là X: G —> Y là một đặc trưng nếu x(gi + g2) = z(g\ i g2) cho
tất cả gx,g2 eG . Những đặc trưng
là nhóm
Abel dưới phép toán nhân của các hàm. Nhóm trên được gọi là nhóm đối ngẫu của nhóm G và ký hiệu bởi G. Nhóm G và G là một đẳng cấu. ChogeG và XEG,
chúng ta ký hiệu (x,g) thay cho x(g) • Đối ngẫu trực tiếp tổng G” = ®"=1 G là đẳng cấu G” dưới phép đẳng cấu cho bởi ((Xị 9-9Zn)Ági>-9gn)) =ỴYi=\(Xi’& •
Ví dụ: Giả sử rằng G = Z2 © Z2 . Thì ta có thể viết G = {1 ,ộ,iị/,ộy/}, trong đó các giá trị (x,g) với g e G và X eù cho bởi bảng sau:
(0,0) (0,1) (1,0) 01) 1 1 1 1 1 ẹ 1 - 1 1 - 1 lự l 1 - 1 - 1 (py/ 1 - 1 - 1 1
Cho ánh xạ /: G —» c và ánh xạ /: G —» c được định nghĩa:
f(z)= ỵj(g,z)f(g)
geG
gọi là biến đổi Fourier của/
Cho hai hàm số /i vàf2 trẽn G, tính chập fi*f2 của chúng là một ánh xạ mới được định nghĩa như sau:
đề: Cho f\ vàf2 là những hàm số trên nhóm hữu hạn Abel G đến c và 1 là hàm hằng.
(i) Nhóm G và nhóm đối ngẫu G là đẳng cấu.
(ii) Biến đổi Fourier có tính chập đối với phép nhân, nghĩa là
Ả c G T
0 1 Ả 1 1 1 1
1 1 và c 1 -1 1 -1
1 -1 G 1 1 -1 -1
T 1 -1 -1 1
Phương pháp đại số cho hài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
f\* fi(g) = ĩ\* h
(iii) Kx)= I® nếu ỵ = 1 (phần tử đơn vị trong G) và \(ỵ) = 0 ngược lại.
Vỉ dụ (Biến đoi Fourier cho những cây đon giản): Cho T = Kị n là cây có gốc và n lá. Khả năng xảy ra của mô hình cơ sở nhóm được cho bởi:
p(g\,-,gn) = z*wn fV )(h~ S l ) h e G i = 1
Chúng ta sẽ biến đổi Fourier đối với những tổ hợp của xác suất trẽn đối với nhóm Gn . Để làm điều đó, chúng ta thay thế phân bố gốc 71: G —> M bởi một hàm số mới ĩt: G" —> M như sau:
7i(h^ nếu hị=h2=... = hn 0 ngược lại ãỌh,-,hn) = Từ đó chúng ta có: p(gi»-,g„)= X fự\ h i - g i ) ( h...h „ ) e Gn 1=1
p là chập của hai hàm số trên Gn . Biến đổi Fourier cho ra:
q(X i ,-,X n) = x(Z i> -> x,)Ỷ ỉ fụ )(Z i )
7=1
bởi công thức tính chập là độc lập của/'y trong biến đổi Fourier. Mặt khác
â ( X l , - ’ X n ) = ' E( g h g ) e 0. ( ( X l > ~ > X n ) Á g l , - , g „ ) ) - ã (
= ỵi g eo(Z i Z 2-Z „),g)-x(g) = r(Z1Z 2-Z j
cho nên
q(zi,~,z„) = â(Xi,-,zJTlf< 0(Zi)
7=1
Ví dụ trên là cơ sở để giới thiệu sự cần thiết để chứng minh những kết quả tổng quát sau.
Đinh ly (íEvans and speed, 1993]): Cho p(gị,...,gn) là phân phối có điều
kiện của một mô hình cơ sở nhóm đối với cây sinh loài T được giới thiệu ở phần trên. Thì biến đổi Fourier của p có dạng
4(Zi>~>Zj = â(Zi>-,Zj n /<v)( nZi)
veF0O\{/-} /6A(v)
Bùi Văn Đồng Trang 41
Phương pháp đại số cho hài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Thay thế tọa độ gốc P ị ị ị bởi tọa độ Fourier q.j J , kết quả của q.ị J là các đơn thức của các tham số.