X t () x px dx x ()
2.1.4.2. Các phương pháp tuyến tính hoá tương đương
Để tận dụng các kết quả của bài toán tuyến tính, đặc biệt trong trường hợp này là việc áp dụng phương pháp phân tích phổđáp ứng tần số đối với các hàm gió ngẫu nhiên thì người ta phải tìm cách tuyến tính hoá hệ phi tuyến ban đầu. Có rất nhiều phương pháp tuyến tính hoá tuỳ theo cách mô tả hàm kích động là điều hoà hay ngẫu nhiên.
Kết qủa tuyến tính hoá là tìm ra được một hệ số tuyến tính để thay thế cho thành phần phi tuyến trong phương trình dao động. Có thể dùng phương pháp giải tích hoặc phương pháp tương đương năng lượng để giải quyết bài toán. Trong trường hợp dùng phương pháp giải tích, người ta giảm thiểu hiệu hai phương trình phi tuyến và tuyến tính bằng cách cho đạo hàm của hàm hiệu bằng không và từ đó tìm ra được hệ số tuyến tính hoá gần đúng nhất.
Trong bài toán dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng có phân bố chuẩn Gauss, Caughy đã khảo sát dải phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên này trên toàn miền xác định, từ âm vô cùng đến dương vô cùng. Kết quả tuyến tính hoá trong trường hợp này cho giá trị khá chính xác khi độ phi tuyến của hệ không lớn.
Khi độ phi tuyến của hệ dao động ngẫu nhiên tăng, để tăng độ chính xác, Nguyễn Đông Anh và Di Paola đã phát triển phương pháp của Caughey bằng cách xác định được vùng phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên vật lý này không phải trên toàn miền xác định mà chỉ trong một phạm vi hẹp gọi là tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương khu vực (LOMSEC – Local Mean Square Error Criterion). Sau này, Lưu Xuân Hùng đã xác định chính xác phạm vi hẹp này cho từng hệ ngẫu nhiên và đề xuất giá trị áp dụng chung cho các hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên khi độ phi tuyến lớn.