Gi£ sû A l to¡n tû èi xùng, khæng ¥m trong khæng gian Hilbert H,
A−1 l to¡n tû compact th¼ b i to¡n gi¡ trà ¦u l °t ch¿nh trong H. N¸u φ1, φ2, ... l d¢y trüc chu©n ¦y õ c¡c vectì ri¶ng cõa A th¼ nghi»m
u vîi dú ki»n ¦u ÷ñc biºu di¹n
u(t) = ∞ X k=1 a(λkt) k φk,
vîi ak = hf, φki, v λk l gi¡ trà ri¶ng cõa φk. Ph²p l§y ¤o h m cõa
hu(t), u(t)i chùng täku(t)k ≤ kfk. V¼ vªy vîi to¡n tû A nh÷ tr¶n th¼ theo ành lþ 2.2.1 b i to¡n gi¡ trà cuèi l °t khæng ch¿nh. Do dú ki»n f
khæng thäa m¢n t½nh phö thuëc li¶n töc. Thªt vªy, nghi»m duy nh§t un
cõa b i to¡n (2.11)-(2.12) vîi dú ki»n cuèi gn = φn
λn ÷ñc biºu di¹n bði
un(t) = e
λn(t−T)
λn φn.
Tø λn → ∞, kgnk → 0 nh÷ng t < T, th¼ kun(t)k → ∞
N¸u u thäa m¢n u0(t) =Au(t) v A l to¡n tû èi xùng, th¼ logku(t)k l h m lçi. Do â n¸u r < s < t th¼
logku(s)k ≤ s−r
t−r logku(t)k+ t−s
t−r logku(r)k. (2.13) i·u n y chùng tä r¬ng n¸u vn thäa m¢n b i to¡n (2.11)-(2.12) th¼ dú ki»n cuèivn(T) =gn v kgnk → 0k²o theokvn(t)k → 0vîi måit ∈ (0, T),
n¸u câ h¬ng sè M sao cho kvn(0)k ≤ M, n = 1,2, .... Trong tr÷íng hñp n y chóng ta câ thº kh¯ng ành b i to¡n (2.11)-(2.12) phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n d÷îi mët gi£ thi¸t bà ch°n t¤i thíi iºm ban ¦u.
Gi£ sû A l to¡n tû âng, ¡nh x¤ [u, Au] → u cõa ç thà A trong X
l compact.
2.3.1 ành lþ. N¸u b i to¡n gi¡ trà ban ¦u l °t ch¿nh trong H v b i to¡n gi¡ trà cuèi câ duy nh§t nghi»m trong H th¼ b i to¡n gi¡ trà cuèi phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n d÷îi mët gi£ thi¸t bà ch°n t¤i thíi iºm ban ¦u.
2.3.2 Bê ·. Gi£ sû X, Y, Z l c¡c khæng gian Banach, X ph£n x¤ v
T : X → Y l to¡n tû compact, S : Y → Z l to¡n tû bà ch°n. Gi£ sû
ST : X → Z l nëi x¤. Khi â vîi méi > 0 tçn t¤i h¬ng sè C = C()
sao cho
kT xk ≤ kxk+CkST xk
vîi ∀x ∈ X.
Chùng minh. Gi£ sû bê · tr¶n l sai. Khi â tçn t¤i > 0 v d¢y (xn)
trong X sao cho
kT xnk > kxnk+nkST xnk.
B¬ng sü chu©n hâa trong X chóng tæi câ thº gi£ sû r¬ng kxnk = 1. Do â (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
kT xnk> +nkST xnk ≥ > 0. (2.14) Tø kxnk = 1 v X ph£n x¤, th¼ (xn) câ d¢y con hëi tö y¸u [3, p30]. Gi£ sû x l giîi h¤n y¸u cõa d¢y n y. Tø T compact suy ra T xn → T x trong
Y. Do â ST xn →ST x trong Z. Nh÷ng (2.14) ch¿ ra r¬ng ST x = 0. Do â x = 0; v¼ th¸ T x = 0. M¥u thu¨n vîi (2.14). Vªy i·u gi£ sû l sai chùng tä bê · tr¶n l óng.
Chùng minh. Gi£ sû b i to¡n (2.9)-(2.10) °t ch¿nh trong H. K½ hi»u
U(t) l to¡n tû nghi»m vîi 0< t < T. Tø U(t) = P J(t) v P l compact suy ra U(t) l to¡n tû compact. Chó þ r¬ng U(T) = U(T −t)U(t). N¸u (2.11)-(2.12) câ duy nh§t nghi»m trong H th¼ U(t) l ìn ¡nh. Tø bê ·
2.3.2 suy ra vîi ∀ > 0 tçn t¤i h¬ng sè C sao cho
kU(T)fk ≤ kfk+CkU(T)fk.
Tùc l
ku(t)k ≤ ku(0)k+Cku(T)k (2.15) vîi u l nghi»m cõa b i to¡n u0(t) = Au(t), ∀t ∈ (0, T) li¶n töc tr¶n
[0, T].
B¥y gií gi£ sû (un) l mët d¢y nghi»m cõa b i to¡n (2.11)-(2.12) vîi dú ki»n cuèi un(t) =gn. Tø (2.15) suy ra
kun(t)k ≤ kun(0)k+ Ckgnk;
Do â n¸u kgnk → 0 v kun(0)k ≤ M, th¼ lim supkun(t)k ≤ M. Cho
nhä tòy þ th¼ limkun(t)k = 0. Tø t∈ (0, T) tòy þ, suy ra limkun(t)k = 0
KT LUN K¸t qu£ ¤t ÷ñc trong Khâa luªn n y l :
+ Ph¡t biºu c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m nh÷ khæng gian Banach, khæng gian Hilbert, to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n v khæng bà ch°n, to¡n tû èi xùng v to¡n tû tü li¶n hñp.
+ Ph¡t biºu v chùng minh chi ti¸t ành lþ ç thà âng.
+ Tr¼nh b y kh¡i ni»m ¡nh x¤ kh£ vi giúa c¡c khæng gian Banach v chùng minh chi ti¸t c¡c t½nh ch§t, quy tc l§y ¤o h m m trong t i li»u cán chùng minh vn tt ho°c khæng chùng minh.
+ Tr¼nh b y kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh, °t khæng ch¿nh v c¡c v½ dö minh håa.
+ Tr¼nh b y kh¡i ni»m ¡nh gi¡ ên ành.
+ Ph¡t biºu v chùng minh c¡c ành lþ 2.2.1, 2.3.1, bê · 2.3.2m trong t i li»u tham kh£o cán chùng minh vn tt.
Ti¸ng Vi»t
[1] Ph¤m Minh Hi·n (2007), B i to¡n Cauchy cho mët sè ph÷ìng tr¼nh elliptic c§p hai, Luªn ¡n ti¸n s¾ To¡n håc, Vi»n To¡n håc, H Nëi.
Ti¸ng n÷îc ngo i
[2] Baumeister J. (1987), Stable Solution of Inverse Problems, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig.
[3] Denisov A. M. (1999), Elements of the Theory of Inverse Problems, Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter.
[4] Engl H. W., Hanke M. and Neubauer A. (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht.
[5] Isakov V. (1998), Inverse Problems for Partial Differential Equa- tions, Springer-Verlag, New York.
[6] Tikhonov A. N. (1943), "On the stability of inverse problems", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 39, No. 5, pp. 195-198. (Russian)
[7] Lavrent'ev M. M. , Romanov V. G. and Shishat-skii S. P. (1986), Ill-Posed Problems of Mathematical Physics, Amer. Math. Soc. Prov- idence. Rhode Island.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});