3. Bài toán điều khiển tối ưu
3.1.3. Giả thiết cho lời giả
* Bài toán tối ưu không có giới hạn
- Nghiệm u* của bài toán tối ưu không có giới hạn là một điểm cực trị. Các điểm cực trị thoả mãn hệ phương trình vi phân ∂
∂ k u Q = 0 k=1,2…,r hay u Q ∂ ∂ = ( 1 u Q ∂ ∂ , 2 u Q ∂ ∂ ,…, r u Q ∂ ∂ )T = 0 - Tại mỗi điểm u của mặt cong Q tồn tại véc tơ đạo hàm riêng u Q ∂ ∂ , ký hiệu là gradQ= u Q ∂
∂ , véc tơđạo hàm riêng grad Q có các tính chất sau:
+ Có phương vuông góc với mặt cong Q.
+ Có hướng chỉ chiều tăng giá trị của các đường đồng mức.
+ Có độ lớn thể hiện tốc độ tăng hay giảm giá trị của Q. Do đó tại điểm cực trị
của mặt cong Q phải có grad Q = 0 (*). Hệ phương trình này chỉ là điều kiện cần để
tìm nghiệm tối ưu u*.
+ Hệ phương trình (*) là hệ phi tuyến, dẫn đến việc giải trực tiếp khó thực hiện
được.
+ Có nhiều điểm u* thoả mãn hệ phương trình (*) nhưng không phải là nghiệm tối ưu. Thực tế, các phương pháp gần đúng được sử dụng nhiều hơn, theo thuật toán tìm nghiệm từng bước.
Thuật toán tìm nghiệm từng bước. + Bước 1:
Cho ε > 0 bé tuỳ ý, chọn u0 bất kỳ. Thực hiện các bước sau với k = 1, 2 ... + Bước 2:
Xác định hướng tìm và khoảng cách bước tìm. + Bước 3:
Tìm uk theo hướng tìm và khoảng cách bước tìm. + Bước 4:
Kiểm tra điều kiện.
Nếu || uk - uk-1|| ≤ ε chuyển sang bước 5. Nếu || uk - uk-1|| > ε quay về bước 2. + Bước 5:
Nghiệm tối ưu gần đúng là u* = uk với độ chính xác là ε .
* Bài toán tối ưu có giới hạn
Bản chất là tìm nghiệm tối ưu u* gần đúng cho bài toán mà u bị giới hạn bởi miền thích hợp U. Thuật toán tìm nghiệm từng bước về cơ bản cũng giống như trên, nhưng cần phải chú ý các trường hợp sau:
+ Nếu nghiệm tối ưu u* không nằm trên biên của U thì grad Q = 0 vẫn là điều kiện cần để tìm u* .
+ Nếu trong miền thích hợp U không tồn tại nghiệm u* thoả mãn điều kiện gradQ = 0, khi đó nghiệm tối ưu u* nằm trên biên của U và tại điểm u* véc tơđạo hàm riêng grad Q phải có hướng vào trong miền U.
Thuật toán tìm nghiệm tối ưu u* cho bài toán tối ưu có giới hạn: + Bước 1:
Thực hiện các bước sau với k = 1, 2 ... + Bước 2:
Xác định hướng tìm và khoảng cách bước tìm thích hợp để cho uk∈ U.
+ Bước 3:
Tìm uk theo hướng tìm và khoảng cách bước tìm. + Bước 4:
Kiểm tra điều kiện.
Nếu || uk - uk-1|| ≤ ε chuyển sang bước 5. Nếu || uk - uk-1|| > ε quay về bước 2. + Bước 5:
Nghiệm tối ưu gần đúng là u*= uk với độ chính xác là ε .
3.1.4. Một số phương pháp tìm nghiệm a. Phương pháp không dùng đạo hàm riêng