HIỆU ỨNG HỒI CHUYỂN

8.1 Chuyển động của một vật rắn quanh một điểm cố định

- Vật rắn quanh một điểm cố định, ngoài tác dụng của các lực đặt vào, còn chịu tác

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 35 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua về biến thiên mômen động lƣợng. Mômen động lƣợng của vật rắn đối với điểm cố định O

sẽ là một véctơ đặt tại điểm ấy. Đạo hàm theo thời gian của cho ta vận tốc của

mũi S của . Mômen của phản lực đối với O triệt tiêu, ta chỉ xét mômen tổng hợp M của các lực đặt vào. Do đó:

- Vận tốc của mũi S của véctơ mômen động lƣợng đối với điểm cố định bằng mômen đối với điểm ấy của các lực đặt vào.

- Phƣơng trình này đủ giúp ta xác định hoàn toàn chuyển động của vật rắn, khi biết

các điều kiện đầu.[1]

8.2 Chuyển động của một vật nặng, tròn xoay quanh một điểm cố định

- Ta xét một con quay, tức là một vật nặng, có một trục đối xứng tròn xoay, chân là một mũi nhọn. Cho con quay quay thật nhanh quanh trục của nó, rồi đặt nó đứng thẳng lên mũi nhọn.

- Mômen của trọng lƣợng của nó đối

với điểm O triệt tiêu, và véctơ không đổi. con quay sẽ vĩnh viễn quay đều quanh trục thẳng đứng Oz nếu động năng của nó không bị tiêu hao dần vì ma sát điểm tựa (Hình 2.8).

- Nếu trục Ox của con quay đặt xiên, thì ta thấy rằng con quay từ từ quay quanh

trục thẳng đứng Oz, theo chiều quay riêng của nó. Chuyển động này đƣợc gọi là tiến động. Ngoài ra, ta con thấy trục quay hơi rung, góc θ giữa Ox và Oz không phải hằng số, mà dao động giữa hai trị số θ1 và θ2: đó là chƣơng động. Do hai chuyển động ấy, trục Ox của con quay vẽ thành một mặt nón phức tạp, gồm nhiều múi.

- Biên độ θ2 – θ1 của chuyển động phụ thuộc vào điều kiện đầu và nếu con quay quay nhanh thì biên độ chƣơng động nhỏ. Hơn nữa, chƣơng động giảm dần vì ma sát ở điểm tựa. Vì vậy, ở đây, chúng ta bỏ qua chuyển động này và coi rằng trục đối xứng Ox của con quay vẽ một mặt nón tròn xoay, trục Oz và gọi vận tốc góc của mặt phẳng XOz

là vận tốc tiến động .

Chú ý: Trái đất quay quanh trục của nó, với chu kì T = 24h, vậy cũng là một con

quay, do đó cũng có tiến động và chƣơng động. Chính tiến động của Trái đất là nguyên nhân sự dịch chuyển (chậm ) của điểm xuân phân trên Xích đạo trời, gọi là tuế sai của các điểm phân. Vì vậy tiến động của Trái Đất thƣờng đƣợc gọi là chuyển động tuế sai.[1]

Z

P = mg G

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 36 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua

8.3 Con quay hồi chuyển

- Con quay hồi chuyển là một vật nặng, có một trục đối xứng tròn xoay, quay nhanh

quanh trục của nó.

Thông thƣờng, nó là một cái đĩa kim loại nặng S, trục quay XX’ là một thanh nhỏ, cứng, hai đầu nhọn tựa vào hai cái cối cứng C, C’, để ma sát ở hai điểm tựa rất nhỏ.

- Trong đa số trƣờng hợp, ngƣời ta giữ cho trọng tâm của con quay cố định và khảo

sát chuyển động của nó quanh trong tâm ấy. Muốn thế có thể dùng hai cái cối của con quay đƣợc gắn ở hai đầu một đƣờng kính của một cái vành tròn nằm ngang. Vành đƣợc gắn ở đầu một thanh T quay dễ dàng quanh một trục DD’ nằm ngang. Trục DD’ là một thanh cứng, ngắn, hai đầu nhọn và đặt vào hai cái cối K, K’, gắn vào một cái khug nhỏ G. Khung G mang một thanh thẳng đứng R, lồng vào một ống hình trụ, đầu thanh nhọn và đặt vào một cái cói cứng U. Nhƣ vậy, toàn hệ có thể quay dễ dàng quanh trục thẳng đứng RU, để DD’ có thể hƣớng theo một phƣơng nằm ngang bất kì. Khi thanh T quay quanh DD’ thì trục X’X của con quay theo hƣớng bất kì phƣơng nào trong không gian. Thanh T còn mang một con chạy B, để điều chỉnh đúng thì mômen của trọng lƣợng P đối với O lúc nào cũng triệt tiêu và con quay có thể cân bằng ở bất kì vị trí nào (nếu ta bỏ qua ma sát ở điểm tựa ).[1]

8.4 Khảo sát chuyển động của con quay bằng thực nghiệm 8.4.1 Con quay hồi chuyển tự do

- Giữ thanh T cố định theo một hƣớng bất kì nào đó, cho con quay quay rất nhanh

quanh trục của nó, sau đó buông cho thanh T tự do. Ta thấy phƣơng của trục quay X’X, tức là phƣơng của T không thay đổi: khi buông con quay T ở vị trí nào thì nó vĩnh viễn ở nguyên vị trí ấy, mặc dù ta xoay hoặc nghiêng giá mang cối U.

- Con quay chịu tác dụng của trọng lực P đặt ở O, và phản lực ở hai điểm tựa C, C’ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

là rất nhỏ, ta có thể bỏ qua hai phản lực ấy, coi nhƣ con quay chỉ chịu tác dụng của P. Momen của đối với O bị triệt tiêu, do đó véctơ momen động lƣợng không đổi, nghĩa là có một hƣớng cố định, một độ dài không đổi. Ban đầu, trục X’X trùng với L, vì vậy trục đó vĩnh viễn có hƣớng không đổi trong không gian.

- Tuy nhiên, nếu con quay quay nhanh và chuyển động của nó đƣợc duy trì bằng một động cơ điện, thì quan sát trong một thời gian dài (vài tiếng đồng hồ ), ta thấy trục XX’ quay từ đông sang tây. Đó là vì phƣơng của véctơ là không đổi với hệ trục tọa độ Cô-péc-nic, chứ không phải đối với hệ trục tọa độ gắn với Trái Đất. Nếu ban đầu trục con

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 37 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua quay hƣớng về một vì sao nào thì con quay sẽ xoay đối với Trái Đất, sao cho trục của nó vẫn hƣớng về vì sao đó.[1]

8.4.2 Hiệu ứng hồi chuyển

- Con quay đang quay nhanh, ta tác dụng vào cối C một lực F hƣớng xuống dƣới.

Ta thấy trục XX’ từ từ quay ngang quanh trục thẳng đứng Oz. Khi ngừng tác dụng, thì trục quay cũng ngừng chuyển động một cách tức thời. Đổi chiều lực thì trục X’X quay theo chiều ngƣợc lại, và cũng ngừng ngay khi F ngừng tác dụng. Chuyển động của trục X’X là một chuyển động không quán tính.

- Cho tác dụng theo phƣơng nằm ngang, thì trục X’X quay quanh trục nằm ngang

DD’. Vậy trục con quay không chuyển động theo chiều lực nhƣ ta thƣờng thấy đối với

chất điểm mà chuyển động theo phƣơng vuông góc với .

- Ta cũng có thể tác dụng vào con quay một ngẫu lực thẳng đứng, bằng cách xoay

khung G quanh trục R, ta thấy trục X’X từ từ quay quanh DD’ và dừng ở vị trí thẳng đứng; nếu xoay khung G theo chiều ngƣợc lại, thì X’X cũng đổi chiều quay, nhƣng vẫn dừng ở vị trí thẳng đứng.

- Hiện tƣợng này dƣờng nhƣ trái với suy nghĩ thông thƣờng (chuyển động không quán tính, chiều chuyển động vuông góc với lực tác dụng ) gọi là hiệu ứng hồi chuyển. Và chính hiệu ứng hồi chuyển sẽ giúp chúng ta giải thích tiến động của con quay.[1]

8.4.3 Lý thuyết sơ cấp về hiệu ứng hồi chuyển

- Con quay có hai chuyển động chủ yếu: quay quanh trục X’X của nó với tốc độ góc

và quay quanh trục thẳng đứng Oz (hoặc trục nằm ngang DD’ ) với vận tốc góc ω’, dƣới tác dụng của lực . Chuyển động thứ hai này chính là tiến động, ω’ gọi là vận tốc tiến động.

- Gọi I là mômen quán tính của con quay đối với trục đối xứng X’X và Iz là momen

quán tính đối với trục Oz, và giả sử lực là thẳng đứng, hƣớng xuống. Mômen động

lƣợng của con quay là tổng hình học của hai mômen động lƣợng và , tức là:

- Trong thực tế Iz thƣờng nhỏ hơn I, và vận tốc tiến động ω’ thƣờng nhỏ hơn ω rất

nhiều. Chẳng hạn, ω thƣờng là vài chục hoặc vài trăm vòng/giây, còn ω’ thƣờng nhỏ hơn

1rad/s tức là chỉ vào cỡ 1/100ω. Do đó véctơ có mô-đun chỉ vào cỡ 1/100 mô-đun

của , và tổng của hai véctơ chỉ khác rất ít. Ta có thể coi nhƣ trùng với và tính vận tốc tiến động ω’.

- Ta có:

- Mômen tổng hợp gồm có mômen đối với O của trọng lƣợng và mômen đối

với O của lực . Mômen của triệt tiêu, do đó rút lại là mômen của  là một véctơ

vuông góc với . Đạo hàm là véctơ vận tốc v của mũi S của véctơ . Phƣơng trình

trên cho thấy rằng song song với tức là vuông góc với . Mômen động lƣợng lại

hƣớng theo trục X’X của con quay, vậy trục con quay chuyển động theo phƣơng vuông góc với (Hình 2.10).

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 38 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua

- Ta tính vận tốc tiến động trong trƣờng hợp lực là trọng lƣợng , đặt tại trọng tâm G của con quay, khi G không trùng với O, và trục X’X làm với trục thẳng đứng Oz một góc θ. Gọi α là khoảng cách OG, và giả sử chiều quay là chiều kim đồng hồ khi nhìn theo OG (Hình 2.11). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

- Khi đó, véctơ sẽ có chiều từ O đến G. Momen của đối với điểm O là véctơ

mômen lực hƣớng theo Oy và có mô-đun:

- Véctơ có độ dài Iω, điểm S chuyển động theo đƣờng tròn tâm H trên Oz và có

bán kính Iωsinθ, với vận tốc tiến động . Vậy:

. .sin . '

dL I

dt    

Isin . '  mgasin

 I mga  ' x v S F O Hình 2.10 Hình 2.11

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 39 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua Với a5cm,  200 rad, I mr2 mà r 3cm và g 9,8m/s2, ta đƣợc: s rad/ 87 , 0 03 , 0 . 200 05 , 0 . 8 , 9 ' 2    1 50 ' s 

- Ta thấy đúng là ω’ nhỏ hơn ω nhiều, và cách tính gần đúng của chúng ta (coi

trùng với ) là hợp lí.[1]

8.4.4 Ứng dụng của hiệu ứng hồi chuyển

- Hiệu ứng hồi chuyển giúp ta giải thích hiện tƣợng tuế sai. Trái Đất quay quanh trục của nó, nhƣ một con quay khổng lồ. Lực hấp dẫn do Mặt Trời tác dụng vào Trái Đất có một tổng hợp lực đặt tại một điểm M không trùng với trọng tâm G (vì Trái Đất dẹt ở hai cực. Mômen của đối với G là một véctơ vuông góc với mặt phẳng chứa trục quay của Trái Đất và tâm điểm S của Mặt Trời (Hình 2.12).

- Mũi của véctơ sẽ vẽ một đƣờng tròn, trục quay của Trái Đất sẽ vẽ một mặt nón

tròn xoay, mà trục là pháp tuyến của mặt phẳng Hoàng Đạo, giống nhƣ mặt nón mà mặt nón mà trục là đƣờng thẳng đứng, vẽ bởi con quay. Do tiến động ấy của Trái Đất, nên điểm xuân phân không cố định mà dịch chuyển chậm trên Hoàng Đạo. Do đó, mà có hiện tƣợng tuế sai của các điểm phân.

- Tuabin cuả máy hơi nƣớc đặt trên tàu thủy, của động cơ phản lực trên máy bay thƣờng có vận tốc khá lớn, và cũng là một con quay. Khi tàu thủy, hoặc máy bay lƣợn vòng, thì ổ trục của tua bin tác dụng vào tua bin một ngẫu lực, khuynh hƣớng bắt nó tiến động. Theo định luật III Niu-tơn, trục tua bin tác dụng trở lại vào ổ trục một ngẫu lực ngƣợc chiều. Moment của ngẫu lực ấy là I..'; với I, ω khá lớn, μ có thể có trị số

khá lớn, và hai thành phần của ngẫu lực có thể có cƣờng độ lớn. Do đó, vòng bi hay

cu-si-nê đỡ trục tua bin phải có độ bền để chịu nổi tác dụng của hai lực ấy.

- Tính chất bảo toàn phƣơng trục quay của con quay hồi chuyển đƣợc áp dụng trong

bộ phận tự động điều chỉnh đƣờng đi của ngƣ lôi, của tên lửa, của máy bay không ngƣời lái,… Nếu tên lửa mang con quay hồi chuyển đi chệch hƣớng thì con quay tác dụng vào hai ổ trục của nó một ngẫu lực, ngẫu lực này tác dụng vào một bộ phận điều chỉnh bánh lái, đƣa tên lửa trở lại hƣớng cũ. Khi tên lửa trở lại hƣớng cũ, ngẫu lực mới triệt tiêu, và bộ phận điều khiển lại tự động ngừng hoạt động. Trong trƣờng hợp này, con quay chỉ dùng để đóng, mở bộ phận điều khiển, nên không cần phải quá to.

G M

S

R

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 40 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua

- Trái lại trên tàu chiến, xe lửa một ray, ngẫu lực do con quay tác dụng nhờ hiệu ứng

hồi chuyển đƣợc dùng để trực tiếp triệt tiêu sự tròng trành, nên phải làm rất lớn (vài tấn hoặc vài chục tấn). Trục quay của con quay đặt thẳng đứng, nếu tàu tròng trành, thì ngẫu lực do con quay sinh ra khi tiến động sẽ hƣớng dọc theo tàu, và có trị số I.' . Nếu ngẫu lực này không đủ triệt tiêu ngẫu lực đã tác dụng khiến tàu tròng trành, thì một động cơ phụ lắp vào khung của con quay sẽ tăng thêm vận tốc tiến động. Do đó, tăng ngẫu lực hãm lên một trị số đủ làm tắt sự tròng trành.[1]

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 41 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua

CHƢƠNG 3. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT

- Mômen quán tính với một trục quay xác định dùng cho vật rắn gồm các chất điểm (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

phân bố rời rạc là:

- Thực tế thƣờng thì các chất điểm phân bố liên tục, khi đó ta thay phép tính tổng

bằng phép tính tích phân bằng cách chia vật rắn ra thành nhiều phần nhỏ với mỗi phần là

. là khoảng cách từ chất điểm đến trục, vậy

  m dm R I 2 (3.1)

1. MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA MỘT THANH

- Cho một thanh đồng chất AB có chiều dài L, có tỷ trọng dài (tức là khối lƣợng

trên một đơn vị độ dài ) và có khối lƣợng . Tìm mômen quán tính đối với

trục đi qua đầu A của thanh và vuông góc với thanh. (Hình 3.1)

- Gọi là một nguyên tố thanh, ta chia thanh thành các phần tử có độ dài là ,

có khối lƣợng dm.dxvà cách đầu A một khoảng là x .

- Khối lƣợng của phần tử độ dài là:

- Mômen quán tính của nguyên tố đối với trục sẽ là:

- Sử dụng tích phân để xác định mômen quán tính của thanh. Nếu cho phần tử dx

quét dọc thanh từ trái qua phải thì cận dƣới sẽ là 0 và cận trên sẽ là L, với chiều dƣơng từ trái qua phải.

Ta có:

Vậy mômen quán tính của thanh dài:

B dx Hình 3.1 A O z

GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn 42 SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua

2. MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA VÀNH TRÒN

- Cho vành tròn đồng tính C, độ dày không đáng kể có bán kính R, tỷ trọng dài

và khối lƣợng toàn phần là M .l. Tìm mômen quán tính của vành tròn đồng chất đối

với trục quay Oz qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng của vành tròn.(Hình 3.2)

- Gọi dl là một nguyên tố của vành, chia vành tròn ra thành các phần tử nhỏ có độ

dài dl, khối lƣợng của nguyên tố dl là dm.dl, vì ở trên vành tròn nên dmcách tâm O một khoảng bằng bán kính R. Độ dài của vành tròn là l 2R.

- Khối lƣợng của phần tử độ dài là:

- Các điểm trên phần tử đều cách đều trục quay. Do đó, mômen quán tính của

phần tử độ dài đối với trục là:

- Sử dụng tích phân để xác định mômen quán tính của vành. Nếu cho phần tử dl

quét một vành tròn, giả sử từ gốc O ứng với cận dƣới bằng 0 thì đến khi nó quét xong 1 vành tròn thì cận trên tƣơng ứng chính là chu vi đƣờng tròn, tức là 2R. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Vậy mômen quán tính của vành tròn: