5. Giới thiệu chung về đề tài thiết kế
2.1.3Giải pháp giải tích cho mô phỏng của các phương trình bảo toàn
Các giải pháp giải tích của các phương trình bảo toàn là một hệ thống kết nối của các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính, hiện có chỉ cho các trường hợp đặc biệt đơn giản.
Dưới đây diễn tả một đạo hàm của một giải pháp giải tích cho trường vận tốc và nhiệt độ sẽ được giải thích:
Xem xét một kênh dẫn khe (hình 1) với chiều cao H và chiều rộng B. H nhỏ hơn nhiều B. Vì thế sự tác động của góc có thể được được bỏ qua và một giả thiết của một dòng chảy không đổi có thể được tạo ra.
Một dòng chảy nóng chảy giả dẻo qua kênh này , khi dòng chảy là lớp, trạng thái tĩnh (ảnh hưởng đầu vào có thể bỏ qua). Dòng nóng chảy biểu lộ sự bám thành (vx=0 cho y= H/2) và chỉ có thành thành phần dòng chảy theo hướng x.
Tìm profile vận tốc vx(y) f(x) cũng như profile nhiệt độ T(y) f(x) trong dòng nóng chảy (mô phỏng kích thước một chiều, vì tất cả các thông số chỉ phụ thuộc trên tọa độ y). Điều này có nghĩa dòng nhiệt đối lưu theo hướng x không được đưa vào xem xét. Nhiệt độ của thành đầu đùn bằng TW; tất cả các thông số vật liệu nhiệt động là hằng số.
1. Cố định một hệ tọa độ
Thông thường, hệ tọa độ đề các và tọa độ trụ được chọn để thiết kế đầu đùn (xem hình 1 cho sự lựa chọn hệ tạo độ cho ví dụ).
2. Chọn các phương trình bảo toàn và sự rút gọn của chúng
Thông thường không phải tất cả ba thành phần của phương trình liên tục, chuyển động, và năng lượng đều được đòi hỏi, nhưng một hoặc hai phương tọa độ có thể được xem xét phiếm định. Trong trường hợp dưới sự xem xét chỉ có
các thành phần vận tốc trong hướng x, trong khi gradient vận tốc và nhiệt độ không bằng 0 trong hướng y. Bởi vậy, tất cả các thành phần của phương trình bảo toàn chứa vy và vz cũng như đạo hàm theo x và y bị bỏ qua,
1. Phương trình chuyển động
(22) 1 = 0: khi trạng thái tĩnh
2 = 0 khi vy =0 3 = 0 khi vz= 0
4=0 ứng suất pháp tuyến gây ra biến dạng có thể không để ý
5 = 0 khi B >> H, ảnh hưởng của ứng suất trượt tại bề mặt giới hạn bên của kênh dẫn ( ) có thể bỏ qua.
6 = 0 lực hấp dẫn thông thường có thể được bỏ qua với dòng chảy polymer. Sau khi đơn giản hóa, trở thành phương trình:
(23)
d) Phương trình liên tục (xem phương trình 2 và 3) (24)
1 = 0: mật độ là hằng số, thành ra không thay đổi với thời gian 2 = 0 khi vy = 0
3 = 0 khi vz = 0
(25)
Khi và dẫn đến (26)
Kết hợp phương trình (26) (phương trình liên tục) với phương trình (23) (phương trình chuyển động) và đơn giản hóa:
(27)
e) Phương trình năng lượng (xem phương trình 16 và 17)
(28)
1=0 khi điều kiện trạng thái tĩnh 2=0 khi T(y) cũng như vx f(x) 3=0 khi vy=0
4=0 khi vz=0
6=0 gradient nhiệt độ trong hướng z tổng bẳng 0 7=0 xem ở trên
Sau khi đơn giản hóa phương trình (28) ta được
(29) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Với áp dụng Fourier:
(30)
Để giải quyết bài toán này
f)Định luật về vật liệu
(31)
Nó chỉ ra rằng
(32)
3. Tính toán profile vận tốc
Giả thiết và m không phụ thuộc vào nhiệt độ, phương trình động lượng có thể tách rời từ phương trình năng lượng. Trong trường hợp này phương trình (26) và (23) đủ cho việc tính toán profile vận tốc v(y):
(32.1)
Với với y=0 suy ra C1=0, nghĩa là
(33)
Nó suy ra từ phương trình (32) và với kí hiệu đại số âm cho , khi vx giảm thiểu theo phương y:
(34)
Lấy tích phân được
(34.1)
Với vx=0 cho y=H/2
(34.2)
(35)
Kí hiệu đại số âm miêu tả rằng dòng chảy chiếm chỗ trong gradient áp suất âm, nghĩa là trong hướng của áp suất nhỏ hơn. Phương trình (35) phù hợp với mối quan hệ (vx(y)=vz(y) và = ).
Vận tốc dòng chảy lớn nhất vmax, vận tốc dòng chảy âm và tốc độ dòng chảy khối có thể được tính toán từ phương trình (4.35).
4. Tính toán profile nhiệt độ
Giả thiết rằng và m và không phụ thuộc vào nhiệt độ dòng nóng chảy cục bộ và áp suất (có nghĩa là , m, =const) profile nhiệt độ T(y) sẽ tính từ phương trình (30), (32) và (34):
(36)
Sau khi tính tích phân:
(37)
Với T=Tw cho y=H/2 (vì profile nhiệt độ trong kênh dẫn dòng chảy là đối xứng), nó dẫn tới C1=0
(38)
(38.1)
Profile nhiệt độ kết quả T(y) là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(39)
Giải pháp này cho profile nhiệt độ là giá trị với giả định rằng tổng năng lượng bị tiêu tan trong dòng chảy khi di chuyển bởi tính dẫn nhiệt trong hướng vuông góc với hướng dòng chảy, nghĩa là qua thành kênh dẫn dòng chảy. Bởi thế sự phát triển nhiệt độ dẫn tới sự triệt tiều và sự truyền nhiệt bị loại bỏ bởi tính dẫn nhiệt bằng nhau tại một vài điểm (xem phương trình 29).
Điều này thông thường không xảy ra trong đầu đùn tại các tốc độ dòng chảy đặc thù nên nhiệt di chuyển bởi dòng chảy, nghĩa là vận chuyển năng lượng đối lưu được xem xét đến. điều này có nghĩa rằng giới hạn trong phương trình (28) không trở thành bằng 0. Lúc này nó trở thành (so sánh phương trinh (29)):
(40)
Với định luật Fourier của sự truyền nhiệt
(41) Và
(42) Với
(43)
Từ phương trình (40) suy ra:
(44)
- I là truyền nhiệt đối lưu theo phương x - II là truyền nhiệt theo phương y
- III là sự phát sinh nhiệt bởi sự tiêu tan dẫn tới gradient vận tốc theo phương y.
Phương trình (44) làm rõ ràng rằng một quá trình dòng chảy của trường nhiệt độ bị gắn liền với trường nhiệt độ. Sự phối hợp này được mô tả bởi độ nhớt , từ đầu đến cuối
quá trình là hàm của nhiệt độ T, áp suất thủy tĩnh p và tốc độ cắt . Trường vận tốc tác động đến trường nhiệt độ, khi nhiệt độ được tạo ra trong dòng nóng chảy bởi ma sát bên trong cái mà phụ thuộc vào gradient vận tốc ( ) . Hơn nữa, số hạng trong phương trình (44) miêu tả sự truyền nhiệt đối lưu phụ thuộc hướng trong trường vận tốc.
Hệ thống ghép từ phương trình động lượng và năng lượng trong sự truyền nhiệt đối lưu được xem xét không thể được giải bằng giải tích cho dòng chảy được miêu tả ở đây. Các phương pháp xấp xỉ số được sử dụng cho điều kiện này như phương pháp phần tử hữu hạn.