kú ba ợoÓn thÒng nÌo còng cã mét ợ êng thÒng c¾t cộ ba ợoÓn thÒng Êy. Chụng minh rững tạn tÓi mét ợoÓn thÒng c¾t cộ ba ợoÓn thÒng ợỈ cho.
Chụng minh.Vỹ hơ trôc toÓ ợé 0xy bÊt kú sao cho trôc tung // li (∀i) (H.1)
Khỡng mÊt tÝnh tăng quĨt, cã thố giộ thiỏt cĨc li nữm trởn cĨc ợ êng song songkhĨc nhau.
Vắi mçi li xƯt tÊt cộ cĨc ợ êng thÒng c¾t li, cĨc ợêng thÒng ợã cã dÓng y= αix+βi. Mçi ợêng thÒng nh vẹy
ợîc ợậc trng bẽi hai sè (αi, βi) (H.2) Nỏu gải Ai(x , 1), ( , 2) i i i i i y Β x y thÈ ụng vắi
mçi giĨ trẺ bÊt kú α cĨc ợêng thÒng
song song y=α +x β vắi β∈[y1i −αx,yi2 −αxi] sỹ c¾t li .
Biốu diÔn sè (αi,βi)trởn mét hơ trôc toÓ 26 x y y2 i Bi y1 i Ai 0 x v βi Hi (H.3) (H.2) y l1 l2 l n 0 (H.1) x
ợé khĨc.
Theo nhẹn xƯt trởn ụng vắi
mçi giĨ trẺ α thÈ ta cã mét tẹp hîp giĨ trẺ cĐa β vÌ ợé dÌi cĐa tẹp hîp nÌy lÌ 2 1
i i y
y − . Cho α thay ợăi tõ (-∞,+∞)
thÈ ta ợîc mét dội song song vỡ hÓn (chiồu ngang cĐa dội lÌ 2 1
i i y
y − ). Gải dội nÌy lÌ Hi vÌ thÊy ngay lÌ Hi vÌ thÊy ngay Hi lÌ hÈnh lại (H.3)
Nh vẹy cụ ụng vắi mçi ợoÓn thÒng li, trong mật phÒng 0uv ta cã mét hÈnh lại Hi(i = 1,2,Ẩ..,n). Mçi ợiốm (αi,βi) ∈ Hi ợÓi diơn cho ợ êng thÒngy= αix+
i
β c¾t ợoÓn li.
Theo giộ thiỏt bÊt kú 3 ợoÓn li, lj , lk nÌo còng cã mét ợêng thÒng c¾t cộ 3 ợoÓn Êy suy ra cĨc hÈnh Hi, Hj , Hk cã ợiốm chung vắi mçi bé ba i,j,k. Theo ợẺnh lý Helly thÈ cộ n hÈnh H1, H2
,Ẩ.., Hn cã ợiốm chung (α*,β*).ớêng thÒng y = α +*x β* lÌ ợêng thÒng c¾t cộ n ợoÓn l1, l2 , ẨẨ, ln . Vẹy tạn tÓi mét ợêng thÒng c¾t cộ 3 ợoÓn thÒng ợỈ cho.
Kỏt luẹn
Cĩng vắi sù hắng dÉn cĐa TS. TÓ Kh¾c C, luẹn vÙn nÌy ợỈ hoÌn thÌnh. KhoĨ luẹn ợỈ giội quyỏt ợîc cĨc vÊn ợồ sau:
a. Nởu ra ợîc ợẺnh lý Helly
b. ớa ra vÌ chụng minh ợîc cĨc ợẺnh lý cĩng kiốu vắi ợẺnh lý Helly
27
αi u
c. Nởu lởn ợîc cĨc ụng dông cĐa ợẺnh lý kiốu Helly trong khỡng gian.
Sau khi hoÌn thÌnh khoĨ luẹn , tĨc giộ thÊy cã mét vÊn ợồ ợîc ợật ra nh sau: NgoÌi nhƠngợẺnh lý kiốu HellyợỈ ợîc nghiởn cụu thÈ cßn cã thởm nhƠng ợẺnh lý ợậc trng, nhƠng Ĩp dông nÌo khĨc nƠa? VÊn ợồ nÌy tĨc giộ sỹ tiỏp tôc nghiởn cụu trong thêi gian tắi.