3.2.1. Hệ mã dùng đường cong elliptic theo mơ hình Elgamal.
Giả sử B, P là các điểm của đường cong elliptic E, k là một số nguyên và
P=kB. Khi đĩ ta nĩi k là logarit cơ sở B của P (lưu ý rằng ta chỉ xét trên trường
p
F với p là số nguyên tố).
Bây giờ giả sử cĩ một tập hợp n cá thể tham gia vào hệ thống trao đổi thơng tin mật với nhau: A A1, 2,...,An. Trước tiên người ta chọn ra một đường cong elliptic E trên trường p, với một điểm BE làm cơ sở. Những thơng tin này được thơng báo cơng khai. Dĩ nhiên p phải là số đủ lớn để việc giải bài tốn logarith là thực sự khĩ khăn.
Sau đĩ mỗi Aj chọn cho mình một khĩa ej là một số nguyên nào đĩ. Khĩa này được giữ bí mật nhưng Aj thơng báo cơng khai phần tử e Bj , điều này khơng làm lộ ej do độ phức tạp của việc giải bài tốn logarith.
Giả sử Ajcần gởi văn bản mật m cho Ai. Trước tiên, m được đặt tương ứng với điểm PmE, sau đĩ Aj chọn số ngẫu nhiên n và chuyển cho Ai cặp điểm
66
vì e Bi đã được cho cơng khai nên khi nhận được cặp điểm này, Ai chỉ việc lấy số sau trừ đi ei lần số trước để nhận được Pm cụ thể là:
( ) ( ).
m m i i
P P m e B e mB
Lưu ý, chỉ cĩ Ai làm được điều này vì ei được giữ bí mật và số m khơng thể tìm được trong khoảng thời gian chấp nhận được cho dù biết mB. Trong hệ mã này ta khơng cần biết chính xác số lượng các điểm của đường cong E.
3.2.2. Ví dụ. Thực hành mã hĩa sử dụng đường cong elliptic bằng phầm mềm Maple 13 dựa theo hệ mã Elgamal. Văn bản cần gởi là:
“Mathematics is my favorite subject”
>
Bảng tương ứng ký tự với số.
>
67
>
68
69
Chương trình con tìm điểm nghịch đảo của một điểm.
>
Chương trình con tính điểm cộng của hai điểm thuộc một đường cong.
70
Chương trình con tìm điểm nhân của một điểm với một số nguyên dương.
>
Ta chọn điểm B làm điểm cơ sở, văn bản được tương ứng với điểm P trên đường cong.
Tuấn chọn khĩa k1=2, Cường chọn khĩa k2=3, và số tự nhiên n=5.
71
72
Khĩa điểm cơng khai của Cường là k2B3 .B Tuấn tiến hành tính điểm 5(3 ),B
P+5(3P). Rồi gởi cặp điểm {5(3B),P+5(3B)} cho Cường.
73
Tuấn sẽ gởi cho cường cặp điểm {Q1,ĐiemMa}. Cường nhận được tiến hành giải mã như sau: Cường tính điểm 3Q1 Q,Cường lấy ĐiemMa trừ Q.
>
74
3.2.3. Hệ mã tương tự mã mũ.
Trong trường hợp này các cá thể chọn chung một đường cong elliptic E trên trường hữu hạn Fp với số lượng các điểm được biết chính xác là N.
Các tham số này được thơng báo cơng khai và hệ mã được xây dựng dựa trên mơ hình sử dụng hai chìa khĩa khác nhau (cĩ tính giao hốn được), nhưng khơng cĩ chìa nào được cơng khai mà chỉ được truyền theo một giao thức khơn ngoan.
Để xây dựng hệ mã này mỗi cá thể Ai chọn cho mình một chìa khĩa ei, là một số nguyên dương a nào đĩ a(1,N) sao cho ( ,e Ni ) 1 . Bằng thuật tốn Euclid, Ai tìm được di thỏa mãn d ei i 1 (mod N). Bây giờ, giả sử Ai cần gửi thơng báo m cho Aj, Ai tìm điểm Pm tương ứng trên đường cong, sau đĩ thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Ai gửi cho Aj thơng báo e Pi m. Dĩ nhiên, khi nhận được thơng báo này Aj chưa thể giải mã vì khơng biết ei và di.
Bước 2. Aj nhân kết quả nhận được với ej và gửi trả lại cho Ai với nội dung là (e e Pj i m).
Bước 3. Ai nhân thơng điệp vừa nhận được với di và gửi trả lại cho Aj
với nội dung d e e Pi( (j i m)).
Bước 4. Nhận được thơng báo cuối cùng này Aj nhân nĩ với khĩa dj của mình và nhận được d d e e Pj( ( (i j i m)))d d e e Pj i j i m d d e e Pj( i i) j m d e Pj j m Pm.
Thật vậy, do cách chọn e d e di, , ,i j j ta cĩ e d e di i j j 1 (mod N) tức là 1
i i j j
e d e d rN với r là số nguyên nào đĩ, N là số điểm của đường cong nên 0
m
75
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn này bao gồm:
1- Trình bày các kiến thức về Đại số và Số học cĩ liên quan, làm cơ sở cho việc tìm hiểu về đường cong elliptic và ứng dụng của chúng trong Lý thuyết mật mã. 2- Giới thiệu về đường cong elliptic trên trường hữu hạn và các phép tốn trên đường cong này. Đưa ra cấu trúc mơđun của tập điểm cĩ bậc n trên đường cong và ứng dụng nĩ trong mã hĩa thơng tin.
3- Giới thiệu một số khái niệm, ký hiệu, bài tốn và kết quả cơ bản của Lý thuyết mật mã.
4- Tìm hiểu ứng dụng của đường cong elliptic trong Lý thuyết mật mã.
5- Sử dụng phần mềm Maple 13, chúng tơi đã đưa ra một số bài tốn thực hành về mã hĩa cĩ sử dụng cơng cụ đường cong elliptic.
Luận văn cĩ thể tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về Lý thuyết đường cong elliptic và ứng dụng của chúng trong Lý thuyết mật mã.
76
TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT
[1] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, Lập trình và Giảng dạy Tốn học trên
Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[2] Hà Huy Khối, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật tốn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Trường Đại học Vinh. [4] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường và ứng dụng, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
TIẾNG ANH
[5] D. M. Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw - Hill Company Limited, New Delhi.
[6] N. Koblitz (1984), Introduction to Elliptic curves and modular forms,
Springer.
[7] N. Koblitz (1987), A curse in Number Theory and Cryptography,
Springer.
[8] J.H. Silverman (2009), Arithmetic Of Elliptic Curves, Springer Dordrecht Heidelberg London New York.
[9] S. G. Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw - Hill Company Limited, New Delhi.