Vì với 3 máy thu nên ta chỉ nhận đƣợc 2 giá trị hiệu thời gian, hệ phƣơng trình (2 - 4) sẽ chỉ có 2 phƣơng trình. Do vậy, việc xác định đơn trị tọa độ z (độ cao) là không thể. Tuy nhiên, cũng không thể bỏ qua độ cao vì nó ảnh hƣởng đáng kể đến thời gian truyền tín hiệu. Xuất phát từ mâu thuẫn đó bài toán TDOA đối với 3 máy thu sẽ giải bằng phƣơng pháp nối tiếp – Ban đầu tìm nghiệm cho trƣờng hợp 2
chiều (nguồn bức xạ và các máy thu nằm trong mặt phẳng) và khảo sát độ chính xác của nghiệm tùy thuộc vào sự bố trí các máy thu và sai số đo hiệu thời gian. Sau đó xét độ cao đặt các máy thu (anten) và nguồn bức xạ nhƣ một yếu tố gây sai số dữ liệu đầu vào và đánh giá giới hạn ứng dụng của phƣơng pháp – tức là xác định điều kiện mà cùng các sai số ngẫu nhiên có thể tính tới độ cao hay bỏ qua ảnh hƣởng của độ cao.
Giải hệ thống phƣơng trình phi tuyến đối với trƣờng hợp 2 chiều
Nhƣ đã nêu trên, các phƣơng trình trong hệ (2 - 4) là phi tuyến, để giải chúng ở dạng tổng quát cần sử dụng các phƣơng pháp số. Trong trƣờng hợp 2 chiều ta xét bài toán TDOA nhƣ trƣờng hợp riêng thƣờng ứng dụng trong trắc địa thực tế khi thông qua một số phép đo gián tiếp (các góc, cạnh) có thể tính đƣợc tọa độ điểm không tiếp cận đƣợc. Trong trƣờng hợp của bài toán TDOA đó là hiệu khoảng cách r1 và r2. Cách giải ở đây dựa trên tìm kiếm nghiệm bài toán tam giác phẳng. Bản chất cách giải nhƣ sau: Phân tích biểu thức (2 - 4) có thể nhận thấy nếu nhƣ đại lƣợng √ (căn tổng các bình phƣơng tọa độ x, y, z) trong vế phải là biết trƣớc thì các phƣơng trình trở nên tuyến tính. Vì vậy, ta sẽ thử tìm khoảng cách R0 từ các công thức hình học. Đặc điểm phƣơng pháp này là tƣờng minh và dễ dàng trình bày bằng hình học đơn giản.
Ta bố trí các máy thu tại các đỉnh tam giác phẳng bất kỳ: - Trạm 0 tại điểm P0(x0, y0),
- Trạm 1 tại điểm P1(x1, y1), - Trạm 2 tại điểmP2(x2, y2)
- Và nguồn phát xạ M(x, y) ở một khoảng cách nhất định trên mặt phẳng đó. Sử dụng các ký hiệu:
R0- khoảng cách từ điểm M đến điểm P0, R1- khoảng cách từ điểm M đến điểm P1, R2- khoảng cách từ điểm M đến điểm P2, d01- khoảng cách từ điểm P0 đến điểm P1, d02- khoảng cách từ điểm P0 đến điểm P2,
d12- khoảng cách từ điểm P1 đến điểm P2 . P2(x2,y2) M(x,y) α β γ d01 d02 d12 R0 R1 R2 P1(x1,y1) P0(0,0)
Hình 2.3. Biểu diễn các góc trong tính toán tọa độ nguồn bức xạ đối với 3 trạm thu (trƣờng hợp 2 chiều)
Giả sử x0=0, y0=0. Vì tọa độ các điểm P0,P1,P2 đã biết nên có thể tính các cạnh tam giác cơ sở (ta chỉ cần bình phƣơng các cạnh):
(d01)2 =(X1-X0)2 +(Y1-Y0)2 =
(d02)2 =(X2-X0)2 +(Y2-Y0)2 =
(d12)2 =(X1-X2)2 +(Y1-Y2)2
Từ biểu thức (2 - 5), các cạnh R1, R2 có thể biểu diến dƣới dạng:
R1= R0 + r1
R2= R0 + r2.
Xét 3 tam giác MP0P1, MP0P2, MP1P2. Với mỗi tam giác ta có các biểu thức cho các cạnh của chúng. Từ các biểu thức đối với tam giác phẳng biết rằng khi biết 3 cạnh có thể xác định đơn trị các góc của tam giác. Vì vậy trong mỗi tam giác trên cạnh đáy và góc đối tại đỉnh M có quan hệ :
Từ trên, ta rút ra: (2 - 6) Từ các công thức trên thấy rằng mọi góc tại đỉnh M có thể biểu diễn qua một tham số duy nhất chƣa biết R0 – khoảng cách từ điểm M(x,y) đến điểm trung tâm P0.
Bây giờ để tìm nó chỉ cần lập duy nhất một phƣơng trình liên kết chúng. Từ hình học ta có tại giao điểm M tổng các góc α và β phải bằng góc γ, tức là điều kiện giao các đƣờng là biểu thức đơn giản sau:
α + β = γ Ta xây dựng phiếm hàm: [ ] Thay: √ √ Ta đƣợc: [ √ √ ] (2 - 7) Khảo sát phiếm hàm này, có các trƣờng hợp sau:
-Tính đƣợc phiếm hàm nhƣng không bằng 0 tại điểm nào – Không có nghiệm: Nghĩa là cách bố trí các điểm Pn và (hoặc) các giá trị r1 và r2 không thỏa hiệp đƣợc.
-Phiếm hàm bằng 0 – biến R0 tìm đƣợc là nghiệm và khi ấy các đƣờng cắt nhau tại một điểm M(x,y).
Vì phiếm hàm phụ thuộc vào nên có thể có 2 nghiệm, khi ấy có thể chọn nghiệm nào thuộc vùng các giá trị cho phép đối với vị trí M.
Lƣu ý một chi tiết quan trọng: Nếu phiếm hàm bằng 0, mặc dù các tọa độ còn chƣa biết nhƣng thực ra đã xác định đƣợc cự ly R0 từ trung tâm đến nguồn bức xạ M.
Từ cự ly R0 dễ dàng xác định đƣợc các tọa độ điểm M. Muốn vậy ta lập hệ phƣơng trình:
Lấy hiệu của hai phƣơng trình dƣới với phƣơng trình thứ nhất, ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính đối với x và y:
(2 - 8)
Hệ này tƣơng tự (2 - 4) đối với 2 biến, nhƣng khác ở chỗ biểu thức trong căn đã đƣợc xác định và là nghiệm phiếm hàm F(R0).
Giải hệ phƣơng trình (2-8) ta có các tọa độ mục tiêu - điểm M(x,y).
Phân tích nghiệm của phƣơng trình:
Trong trƣờng hợp tổng quát hệ phƣơng trình (2-8) cho hai nghiệm. Trong một số trƣờng hợp ta có thể loại đi một nghiệm bằng cách thay giá trị nghiệm x,y vào hệ phƣơng trình (2-8) để tính lại giá trị r1,, r2,, nếu nghiệm nào cho giá trị r1,, r2, cùng dấu với r1, r2 thì nghiệm đó đƣợc giữ lại.
Trên thực tế ta có thể loại một nghiệm bằng cách xác định nghiệm nằm phía trƣớc hay sau vùng quan sát của ra đa, nếu anten đài thu chỉ thu đƣợc vùng phía trƣớc vùng quan sát thì ta giữ lại nghiệm phía trƣớc, loại bỏ nghiệm phía sau, nếu anten đài thu có cánh sóng phụ thu đƣợc cả phía sau thì ta có thể giữ lại cả hai nghiệm. Trƣờng hợp hệ phƣơng trình cho hai nghiệm phân biệt đều cho các giá trị r1,, r2, bằng với giá trị gốc r1, r2 lúc đó sẽ khó phân biệt nghiệm nào là thật, nghiệm nào là giả.
Hình 2.4. Trƣờng hợp cho 2 nghiệm khó phân biệt mục tiêu thật, giả, 2 nghiệm đều cho r1,dƣơng và r 2,
dƣơng.
Khi vị trí các đài thu tạo thành hình tam giác không quá nhọn hoặc tù thì trong trƣờng hợp khó phân biệt có một nghiệm ở khá gần tâm tam giác, còn nghiệm kia ở rất xa tâm tam giác, ta có thể dựa vào tầm hoạt động của ra đa để loại nghiệm ở cách xa trung tâm hệ thống.
Nếu r1 > d01 hoặc r2 > d02 thì hệ phƣơng trình (2-8) vô nghiệm. Nếu r1 = r2 = 0, hệ phƣơng trình (2-8) cho một nghiệm duy nhất.
Cần phân tích kỹ hơn để tránh hệ thống ra đa có vùng mù (vô nghiệm) hoặc có hai nghiệm trong vùng quan sát của hệ thống. Đồ thị hình 2.5 là kết quả khảo sát nghiệm của hệ phƣơng trình (2-8) bằng cách cho r1 và r2 thay đổi liên tục trong khoảng: - d01 < = r1 < = + d01; - d02 < = r2 < = + d02. Có rất nhiều tổ hợp r1, r2 của hệ phƣơng trình cho 0 nghiệm, với các tổ hợp r1, r2 cho nghiệm thì tọa độ nghiệm x, y (tọa độ mục tiêu) đƣợc chấm trên đồ thị.
Nhìn trên đồ thị hình 2.5 nhận thấy:
- Có tồn tại một số vùng hẹp với số chấm rất thƣa dọc theo hai đầu đoạn thẳng nối hai đài thu với nhau, tại các vị trí này đƣờng hypebol bị suy biến thành một nửa đƣờng thẳng, các điểm nằm trên nửa đƣờng thẳng này luôn cho hiệu
khoảng cách đến hai đài thu là hằng số, tại các vị trí này độ phân giải tọa độ thấp, một thay đổi nhỏ thời gian trễ sẽ dẫn đến kết quả tính tọa độ mục tiêu sai số lớn.
Hình 2.5. Đồ thị khảo sát phân bố nghiệm của bài toán hypebolic.
- Tồn tại 3 vùng với diện tích khá lớn nằm bên ngoài phía các đỉnh tam giác (vị trí 3 đài thu) hệ phƣơng trình (2-8) cho hai nghiệm (vùng mầu xanh), còn vùng nằm trong và bên phía các cạnh của tam giác hệ phƣong trình cho một nghiệm (vùng mầu đỏ).
Dựa vào tính chất này ta sẽ lựa chọn vị trí đặt các đài thu thích hợp để quan sát hƣớng và khu vực theo yêu cầu.