3.2.1 Giới thiệu bài toán
Chất lưu có ở mọi nơi: nước chảy giữa các bờ sông, khói cuộn lên từ điếu thuốc đang cháy, hơi bốc lên từấm pha trà, hơi nước trong các đám mây hay sơn được pha trộn trong các thùng. Về cơ bản chúng đều là dòng chất lưu. Việc mô phỏng chất lưu có ý nghĩa to lớn trong việc mô phỏng các hiện tượng tự nhiên.
66
Để mô phỏng hoạt động của chất lưu, chúng ta cần phải có một biểu diễn toán học của trạng thái chất lưu ở thời gian bất kỳ cho trước. Đại lượng quan trọng nhất để biểu diễn chất lưu đó là vận tốc của chất lưu, bởi lẽ vận tốc sẽ xác
định cách di chuyển của chất lưu và những thứ khác trong nó. Vận tốc của chất lưu biến thiên theo cả thời gian và không gian, vì thế chúng ta sẽ biểu diễn nó dưới dạng một trường véc tơ.
Một trường véc tơ là một ánh xạ của một véc tơ – hàm sốđược xác định giá trị trên một không gian được biểu diễn bởi tham số, như lưới Đề các. Điều then chốt trong việc mô phỏng chất lưu đó là xác định một cách đúng đắn trường vận tốc hiện tại. Chúng ta có thể giải quyết điều này bằng cách giải một hệ phương trình miêu tả sự phát triển của trường vận tốc theo thời gian, dưới các lực tác động đa dạng. Khi chúng ta xác định được trường vận tốc, chúng ta có thể làm một sốđiều thú vị với nó, như việc sử dụng nó để di chuyển các đối tượng, mật độ khói thuốc và các đại lượng khác…
Hình 3.3. Lưới vận tốc của chất lưu. (Mô phỏng trạng thái chất lưu được biểu
diễn trên một lưới kích thước MxN. Các mũi tên thể hiện vận tốc).[13]
Trong vật lý học, việc đưa ra những giả định để đơn giản hóa khi mô hình hóa những hiện tượng phức tạp là điều phổ biển. Mô phỏng chất lưu cũng không phải là ngoại lệ. Ởđây, chúng ta giảđịnh rằng chất lưu là đồng nhất và
67 không nén được. Một chất lưu là không nén được nếu thể tích của nó không thay
đổi theo thời gian. Một chất lưu là đồng nhất nếu tỷ trọng ρ của nó không đổi trong không gian. Kết hợp của hai giả định này tức là tỷ trọng của chất lưu là không đổi theo cả thời gian và không gian. Những giảđịnh này là phổ biến trong
động lực học chất lưu, và nó không làm giảm việc ứng dụng các kết quả toán học để mô phỏng các chất lưu đích thực như nước và không khí. Chúng ta mô phỏng động lực học chất lưu trên một lưới Đề các với không gian các tọa độ x = (x,y) và biến thời gian t. Chất lưu được biểu diễn bởi trường vận tốc u(x,t) của nó và mộ trường áp suất vô hướng p(x,t). Các trường này đều biến thiên trong cả
không gian và thời gian. Nếu vận tốc và áp suất đã biết ở thời điểm khởi tạo t=0, sau đó trạng thái của chất lưu theo thời gian có thểđược miêu tả bởi các phương trình Navier – Stokes cho dòng chất lưu không nén được:
, (1) (2)
Trong đó, ρ là tỷ trọng của chất lưu (là hằng số), ν là độ nhớt động học, và
F=(fx, fy) biểu diễn các ngoại lực bất kỳ tác động lên chất lưu. Chú ý rằng phương trình 1 trên thực tế là hai phương trình, bởi vì u là một đại lượng véc tơ:
68 Trong đó: với trong trường hợp mô phỏng 2D;
là phép lấy gradient của p (một véc tơđạo hàm từng phần của p).
là phép toán lấy div (độ phân kỳ) của u.
là phép toán Laplace của p. Nếu các ô của lưới là ô vuông (tứ là nếu ), toán tử Laplace được đơn giản hóa thành:
Toán tử Laplace xuất hiện rất phổ biến trong vật lý học, nhất là trong các phương trình phản xạ. Các phương trình có dạng được biết đến là phương trình Poisson (Poát xông). Trong trường hợp b=0, nó gọi là phương trình Laplace, là nguồn gốc của toán tử Laplace.
Để giải các phương trình Navier - Stokes được đơn giản hơn, ta sử dụng
định lý phân tích Helmholtz – Hodge như sau:
69
∇2p=∇⋅w, đây chính là phương trình Poisson cho áp suất của chất lưu.
Ngoại lực tác động trong khoảng thời gian :
Dễ dàng tính toán w1 trên GPU khi giá trị w0 và f được biểu diễn dưới dạng ma trận kết cấu đầu vào.
Sự di chuyển của chất lưu:
70 Hình 3.5. Mô phỏng đám mây sử dụng động lực học chất lưu [13].