1 4 Cỏc bộ phận chớnh
2.1.3. Nội dung cơ bản của phương phỏp phần tử hữu hạn
Một trong những ưu điểm nổi bật của phương phỏp phần tử hữu hạn là dễ dàng lập chương trỡnh để giải trờn mỏy tớnh, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự động húa bằng hàng loạt kết cấu với những kớch thước, hỡnh dạng, mụ hỡnh vật liệu và điều kiện khỏc nhau.
Phương phỏp phần tử hữu hạn cũng thuộc loại bài toỏn biến phõn, song nú khỏc với cỏc biến phõn cổ điển như phương phỏp Ritz, phương phỏp Galerkin ở chỗ nú khụng tỡm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tỡm trong toàn miền nghiờn cứu, mà chỉ trong từng miền con thuộc miền nghiờn cứu đú. Điều này đặc biệt thuận lợi đối với những bài toỏn mà miền nghiờn cứu gồm nhiều miền con cú những đặc tớnh cơ lý khỏc nhau.
Trỡnh tự giải bài toỏn bằng phương phỏp phần tử hữu hạn:
Chia miền tớnh toỏn thành nhiều miền con gọi tắt là cỏc phần tử. Cỏc phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn cỏc điểm nỳt. Cỏc điểm nỳt này cú thể là đỉnh cỏc phần tử, cũng cú thể là một số điểm được quy ước trờn mặt (cạnh) của phần tử.
Cỏc phần tử thường được sử dụng là cỏc phần tử dạng thanh, dạng phẳng, dạng khối.
Trong phạm vi của mỗi phần tử, giả thiết một số dạng phõn bố xỏc định nào đú của hàm cần tỡm, cú thể là hàm chuyển vị, hàm ứng suất, cũng cú thể là cả hàm chuyển vị và cả hàm ứng suất.
Thụng thường giả thiết cỏc hàm này là những đa thức nguyờn mà cỏc hệ số của đa thức này gọi là cỏc thụng số. Trong phương phỏp phần tử hữu hạn, cỏc thụng số này được biểu diễn qua cỏc trị số của cỏc đạo hàm của nú tại cỏc điểm nỳt của phần tử.
Tựy theo nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong cỏc bài toàn kết cấu ta thường chia thành 3 loại mụ hỡnh:
- Mụ hỡnh tương thớch: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của chuyển vị trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập dựa trờn nguyờn lý biến phõn Lagrange.
- Mụ hỡnh cõn bằng: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập dựa trờn nguyờn lý biến phõn Castigliano.
- Mụ hỡnh hỗn hợp: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Ta coi chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riờng biệt. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập dựa trờn nguyờn lý biến phõn Reisner – Hellinger.
Trong ba mụ hỡnh trờn thỡ mụ hỡnh tương thớch được sử dụng rộng rói hơn cả, cũn hai mụ hỡnh sau chỉ sử dụng cú hiệu quả trong một số bài toỏn nhất định.
2.1.3.1 Thiết lập hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn
Để thiết lập phương trỡnh cơ bản của bài toỏn giải bằng phương phỏp phần tử hữu hạn ta dựa vào cỏc nguyờn lý biến phõn. Từ cỏc nguyờn lý biến phõn ta rỳt ra được hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn dựa trờn thuật toỏn của phương phỏp phần tử hữu hạn cú dạng hệ phương trỡnh đại số tuyến tớnh.
AX = B
2.1.3.2 Giải hệ phương trỡnh cơ bản
Giải hệ AX = B sẽ tỡm được cỏc ẩn số tại cỏc điểm nỳt của toàn miền nghiờn cứu.
cần tỡm khỏc ta dựa vào phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi.