Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie
Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của
G thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi:
( )g , , ( )1 , , , *
g
K F X F Ad − X g G X F
< >=< > ∀ ∈ ∀ ∈G ∀ ∈G
Khi đó, ứng với mỗi F trong G* , K-quỹ đạo ΩF của G qua F được xác định bởi:
{ ( ) / }
F K g F g G
Ω = ∈
Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K- quỹ đạo ΩF của G, với mỗi F∈G* . Vì rằng, khi nghiên cứu về nhóm Lie thì thường thông tin chúng ta thu được rất ít và khó nghiên cứu do luật nhóm của G chưa được cho một cách tường minh. Lý thuyết biểu diễn cho phép ta chuyển từ nghiên cứu nhóm Lie sang nghiên cứu đại số Lie thông qua một công cụ là ánh xạ mũ exp.
Ký hiệu expG : G→G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG→AutRG
là ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG_các tự đẳng cấu -tuyến tính của G.
Nhắc lại rằng vi phân Ad∗= ad : G→EndRG của biểu diễn phụ hợp của G trong G được xác định bởi công thức:
( ) [U,X], U,X
U
ad X = ∀ ∈G.
Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau:
G Ad → AutRG
G → ad EndRG
Tức là ta có đẳng thức: Ad.expG = exp.ad
Với mỗi U∈G, mỗi F∈G* , ta xác định phần tử FU trong G* như sau:
, , exp( ) ,
U U
F X F ad X X
< >=< > ∀ ∈G.
Bổ đề 2.3.1
Nếu gọi ΩF là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức
F
Ω ⊃{FU/U∈G} (2.1.2) Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh:
Với mỗi U∈G, đặt g=exp (G −U)∈G. Khi đó ta có:
U G 1 , ,exp(ad ) , (exp ( )) , ( ) ( ) , , U F X F X F Ad U X F Ad g− X K g F X X < > = < > = < > = < > = < > ∀ ∈G Do đó, FU =K g F( ) và FU ∈ΩF (theo công thức 2.1.1) Tức là Ω ⊃F {FU /U∈G}.
Nếu giả thiết thêm expG là toàn ánh thì khi đó với mỗi g∈G, luôn tồn tại U0∈G để 1 ( ) 0 exp U g− = . Khi đó ta có: 0 0 1 G 0 U ( ) , , ( ) , (exp ( )) ,exp(ad ) U , , K g F X F Ad g X F Ad U X F X F X X − < > = < > = < > = < > = < > ∀ ∈G Do đó FU0 =K g F( ) và Ω ⊂F {FU/U∈G}. Nghĩa là ta có đẳng thức: Ω =F {FU/U∈G}.■
Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập {FU/U∈G} là F( )
Ω G . Như thế, bao hàm thức 2.1.2 có thể được viết là: F( ) F, F
Ω G ⊂ Ω ∀ ∈G*
Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh. Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức ΩF(G)⊂ ΩF. Cụ thể ta có khẳng định dưới đây:
Bổ đề 2.3.2
Giả sử G liên thông. Nếu họ các ΩF(G),F∈G* lập thành một phân hoạch của G* và mọi ΩF'(G),∀ ∈F' G* đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong ΩF,F∈G*. Khi đó: ΩF(G)= ΩF, ∀ ∈F G*.
Chứng minh:
Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo ΩF cũng liên thông (trong G*). Chú rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* . Giả thiết rằng có F∈G* để ΩF(G)≠ ΩF. Khi đó tồn tại họ { }Fi i I∈ các phiếm hàm trong G*
chứa F và có nhiều hơn một phần tử sao cho F Fi( )
i I∈
Ω =Ω G . Vì hợp này gồm các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong ΩF nên không thể liên thông. Mâu thuẩn này chứng tỏ ΩF(G)= ΩF, ∀ ∈F G*.
Mệnh đề 2.3.1
Giả sử G là nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G là đại số Lie của nó. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:
(i) Ánh xạ expG : G→G là vi phôi giải tích (hay G là nhóm
(ii) ∀ ∈X G, adX không có giá trị riêng (trong ) thuần ảo nào.
Hệ quả 2.3.1
Nếu G là nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số
Lie G của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề 2.3 thì ánh xạ mũ expG : G→G là toàn ánh.
Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-
NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN