I − được định nghĩa tốt và liên tục trên Ω
CHƯƠNG 2 TÍNH Rδ CỦA TẬP NGHIỆM
Năm 2006, trong [18] hai tác giả L.H.Hoa và L.T.P.Ngoc đã thu được tính continuum của tập nghiệm phương trình tích phân
( ) ( ( )) ( ( ))
0 0
, , , , 0
t t
x t =∫ f s x s ds+∫g t s x s ds t≥ ( )4 Để nhận được điều này hai tác giả đã sử dụng Định lý Krasnosel’skii-Perov về tính continuum của tập điểm bất động toán tử hoàn toàn liên tục xác định trên tập con đóng bị chặn của không gian Banach.
Trong chương này chúng tôi sử dụng kết quả của G.Gabor và kết quả của L.H. Hoa, K.Schmitt để chứng minh tập nghiệm phương trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0 0 , , , , , , 0. . t t t s r u t A t u t L t u V t u t u f t s u s u ds k t t T u ϕ C ′ = + + + + ≥ = ∈ ∫
là Rδ. Kết quả này đã được công bố trong [21].
Khi ta xét phương trình tích phân ( )4 cùng với các giả thiết mà [18] đưa ra thì ta thấy một điều thú vị là nếu lặp lại các kỹ thuật được sử dụng cho việc chứng minh tính Rδ
tập nghiệm phương trình ( )T vào phương trình tích phân ( )4 thì ta cũng nhận được tính Rδ
của tập nghiệm phương trình ( )4 . Chú ý là trong [18] hai tác giả chỉ chứng minh tập nghiệm của phương trình ( )4 là continuum.
Mục đầu tiên của chương này được dành để giới thiệu các khái niệm về tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ.
2.1. Khái niệm và tính chất của tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ.
Cho X là không gian metric và tập con khác rỗng A⊂ X .
Định nghĩa 2.1.1 ([9])
A được gọi là co rút tuyệt đối nếu với mọi không gian metric Y, mọi tập con đóng
Định nghĩa 2.1.2 ([9])
A được gọi là Rδ nếu A đồng phôi với giao của một dãy giảm các tập compact co rút tuyệt đối.
Chú ý 2.1.3
Ta thấy tính compact co rút tuyệt đối, tính continuum và tính Rδ là các bất biến tôpô, nghĩa là qua một phép đồng phôi thì tính compact co rút tuyệt đối, tính continuum và tính
Rδ được bảo toàn.
Định nghĩa 2.1.4 ([22])
A gọi là acyclicnếu nó có các nhóm đồng điều giống như không gian một điểm.
Chú ý 2.1.5 ([22])
Một ví dụ của tập acyclic là tập lồi.
Ta giới thiệu một số tính chất của tập Rδ.
Tính chất 1 ([28])
Tập Rδ là continuum (tức compact liên thông khác rỗng) và acyclic. Tồn tại tập continuum mà không là Rδ.
Tính chất 2 ([9])
Tồn tại tập Rδ không liên thông đường.