Mandelbrot đã định nghĩa fractal là "một tập hợp mà trong đó số đo Hausdorff (hay đo Hausdorff-Besicovitch) lớn hơn số đo tô pô học". Số đo Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo kích thước của phân dạng và thường không phải là một số tự nhiên. Một hình fractal trên tờ giấy 2 chiều có thể bắt đầu có những tính chất của vật thể trong không gian 3 chiều và có thể có số đo Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một fractal hoàn toàn tự tương tự, số đo Hausdorff sẽ đúng bằng số đo Minkowski-Bouligand.
Trong toán học, số đo Hausdorff là một số thực không âm mở rộng ứng với một không gian metric nào đó. Số đo Hausdorff tổng quát hóa khái niệm số đo của một không gian vectơ thực. Số đo Hausdorff của một không gian tích trong n-chiều bằng n. Ví dụ như số đo Hausdorff của một điểm là 0, số đo Hausdorff của một đường thẳng là 1 và số đo Hausdorff của mặt phẳng là 2. Tuy nhiên, có rất nhiều tập kì dị có số đo Hausdorff không phải là số nguyên. Khái niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán học Felix Hausdorff. Nhiều sự phát triển mang tính kĩ thuật để tính số đo Hausdorff cho những tập hợp có tính kì dị cao do Abram Samoilovitch Besicovitch đề xuất.
Việc đưa ra số đo Hausdorff nhằm khắc phục những nhược điểm của số đo topo. Chẳng hạn như số đo topo không thể nói lên được bất cứ điều gì về kích thước của vật. Đường cong phủ không gian là một ví dụ điển hình cho nhược điểm này. Những đường như đường Peano hay đường Hilbert có thể phủ toàn bộ hình vuông đơn vị có số đo topo là 2 mặc dù chúng chỉ có số đo topo là 1. Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert xử sự như có số đo topo là 2.
Tuy nhiên, việc xác định số đo Hausdorff là rất phức tạp. Xuất phát từ định nghĩa này, Mandelbrot đã đưa ra số đo fractal tổng quát với ba dạng đặc biệt là số đo tự tương tự (hay số đo Hausdorff – Besicovitch), số đo compa và số đo box – counting. a. Số đo tự tương tự: Xét hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Chia hình chữ nhật
thành N phần. Khi đó diện tích mỗi phần bằng ab/N và độ dài mỗi cạnh tỉ lệ với tỉ số tương tự . Tương tự, trong d chiều thì
log 1 log N d r = (2.1) Định nghĩa số đo tự tương tự phù hợp với định nghĩa thông thường của hình học Euclide.
b. Số đo compa: Áp dụng cho các đường cong không tự tương tự hoàn toàn như đường
bờ biển, dòng sông,… Chiều dài của đường bờ biển có thể đo được bằng cách sử dụng một bản đồ và một compa với độ mở r (Hình 2.1). Ta đếm số lần đo cần thiết để đo hết đường bờ biển. Khi đó chiều dài của đường bờ biển là L(r) = N(r).r. r
càng nhỏ thì L(r) càng lớn. Biểu diễn mối quan hệ giữa L(r) vào r trên đồ thị lnL -
lnr thì lnL phụ thuộc tuyến tính vào lnr nhưng nghịch biến, nghĩa là nếu lnr tăng thì
lnL giảm và ngược lại. Từ đó, ta có mối quan hệ như sau:
1
( ) ons . DR
L r =c tr −
, trong đó DR là hệ số được xác định từ độ dốc của đường thẳng trên Hình 2.2.
Suy ra:
DR = 1 + d (2.2)
với DR là số chiều com-pa.
Hình 2.1 Hình 2.2
c. Số đo box-counting: Cách làm tương tự số đo compa và chỉ khác một điều là ở đây người ta sử dụng lưới các ô vuông để bao phủ bờ biển (Hình 2.3). Số đo box- counting áp dụng cho mọi cấu trúc trong mặt phẳng không gian.