và x X x , X.
y là nghiệm của (2.33) thì
y là nghiệm của (2.33) thì 2 * * * * * AAT T AAT T T T T T y y y y y y A y A y A y A y * 2 2 x x
được cực tiểu hóa lần lượt qua y0Kk.
Ưu điểm của phương pháp này là tất cả các lý thuyết đối với CG được thực hiện đơn giản cho cả CG và PCG. Có ba nhược điểm có thể có hoặc có thể không nghiêm trọng. Việc đầu tiên là, số điều kiện của ma trận hệ số A A T là bình phương số điều kiện của A. Thứ hai là, tích hai ma trận vectơ là cần
thiết cho CG vì w=ATAp ATAp trong CGNR và w=AATp A A p T
trong CGNE. Thứ ba là, phải tính toán các tác động của AT trên một vectơ như là một phần của tích - vectơ ma trận liên quan đến A AT .
Chúng ta xét trường hợp đối với CGNR, và đối với CGNE cơ bản là giống nhau. Giống như ở trên khi chúng ta xét các chuẩn A AT của các sai số, khi đó ta có 2 * * * T T T A A x x x x A A x x * 2 2 2 2 . A x x r
Do đó, với bất kì đa thức phần dư pkPk ta có (3.27) 2 0
2
T
k k
0 2 ax T k z A A r m p z
Chuẩn l của phần dư, tương ứng chính xác với chuẩn kết thúc. Vì vậy, 2
chúng ta không cần chứng minh kết quả như bổ đề 3.3.2. Quan trọng nhất là các đa thức phần dư được cực đại hóa trên các giá trị riêng của A A, đó là tập T hợp bình phương các giá trị riêng của A. Do đó, thực hiện CGNR và CGNE
KẾT LUẬN
Luận văn đã nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết phương pháp lặp dừng và phương pháp Gradient liên hợp. Với mục đích đề ra, luận văn đã thu được các kết quả như sau:
- Trình bày có hệ thống về kiến thức cơ sở của giải tích hàm: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert.
- Trình bày một cách có hệ thống “Phương pháp lặp dừng và phương pháp Gradient liên hợp”.
Do thời gian có hạn nên luận văn không thể trình bày đầy đủ các phương pháp lặp để giải các hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến. Vì vậy, tác giả của luận văn hy vọng rằng luận văn sẽ là cơ sở quan trọng cho những nghiên cứu tiếp theo về các phương pháp lặp cho hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số (1996), NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Chương, Giải tích số (2007), NXB giáo dục. [3] Lê Trọng Vinh, Giải tích số (2000), NXB Khoa học và kỹ thuật
[4] H.C. Elman (1982), Iterative Methods for Large, Sparse, Nonsymmetric Systems of Linear Equations, PhD thesis, Yale University, New Haven, CT. [5] C.T. Kelley (1995), Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, SIAM.
[6] C.T. Kelley (1999), Iterative Methods for Optimization, SIAM.
[7] Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation.
Addison Wesley.
[8] D.M. Young (1971), Iterative Solution of Large Linear Systems,