Trong chương này , chúng ta áp dụng các kết quả của chương I để nghiên cứu các vấn đề về sự tồn tại và duy nhất nghiệm có dấu không đổi của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất. Cụ thể, trên đoạn [ ]a b, , ta xét bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc nhất:
( ) ( )( ) ( )
u t′ = u t +q t (2.1)
( ) ( )
u a −λu b =c (2.2)
trong đó :C a b([ ], ;)→L a b([ ], ;) là toán tử tuyến tính bị chặn ,
[ ]
( , ; ),
q∈L a b + λ∈+, có nghiệm duy nhất và nghiệm này không thay đổi dấu. Nghiệm của phương trình (2.1) là một hàm u∈C a b([ ], ;)thỏa phương trình (2.1) hầu khắp nơi trên đoạn [ ]a b, . Nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) là nghiệm của phương trình (2.1) và thỏa điều kiên biên (2.2). Trường hợp đặc biệt của phương trình (2.1) là phương trình vi phân với đối số lệch :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( )
u t′ = p t u τ t −g t u µ t +q t , (2.3)
trong đó: p g, ∈L a b([ ], ;+),q∈L a b([ ], ;), ,τ µ∈Mab
Cùng với bài toán (2.1), (2.2) hoặc (2.3), (2.2) ta xét các bài toán thuần nhất tương ứng sau: ( ) ( )( ) u t′ = u t , (2.1 0) ( ) ( ) 0 u a −λu b = (2.20) Hay ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) u t′ = p t u τ t −g t u µ t (2.30) ( ) ( ) 0 u a −λu b = (2.20) Kết quả sau được trích dẫn trong tài liệu [9]
Định nghĩa 2.1
Ta nói toán tử ∈Lab thuộc vào tập V+( )λ ( tương ứng V−( )λ ) nếu bài toán thuần nhất (2.1 , 2.20) ( 0)chỉ có nghiệm tầm thường và ∀ ∈q L a b([ ], ;+),c∈+thì bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm không âm (tương ứng nghiệm không dương). Khi đó, theo định lý 1.2 ở chương 1, ta suy ra nếu∈V+( )λ (tương ứng
( )
V− λ
∈
) khi và chỉ khi bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất nghiệm không âm (tương ứng nghiệm không dương)
*Chú ý:
Từ định nghĩa 2.1 có thể suy ra rằng nếu∈V+( )λ (tương ứng ∈V−( )λ ) thì đối với phương trình (2.1) xảy ra bất đẳng thức vi phân, tức là:
với mọi u v, ∈C([ ]a b, ;)thỏa các bất đẳng thức:
( ) ( )( ) ( ),
u t′ ≤ u t +q t ν′( ) ( )( ) ( )t ≥ ν t +q t với mọi t∈[ ]a b, ,
( ) ( ) ( ) ( ),
u a −λu b ≤ν a −λν b
thì u t( ) ( )≤v t (tương ứng u t( ) ( )≥v t ) với mọi t∈[ ]a b, .
( )( ) ( )( ) ( )( )w t = ν t − u t =( )( ) ( )ν t +q t −(( )( ) ( )u t +q t ) ( )t u t( ) ν′ ′ ≤ − Mà ν′( )t −u t′( )=w t′( )
Vậy w t′( ) ( )( )≥ w t , hơn nữa do giả thiết và cách đặt w t( ) nên w a( )−λw b( )≥0. Do đó tồn tại q t( )∈L a b([ ], ;+)và c≥0 sao cho:
( ) ( )( ) ( )
w t′ = w t +q t , w a( )−λw b( )=c. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do ∈V+( )λ nên suy ra w t( )≥ ∀ ∈0, t [ ]a b, hay ν( ) ( )t ≥u t ,∀ ∈t [ ]a b, . Trường hợp ∈V−( )λ được chứng minh tương tự.
* Cần chú ý rằng nếu ∈Pabvà ∈V+( )λ thì λ<1và nếu − ∈ Pab và ∈V−( )λ thì 1.
λ > Thật vậy:
- Nếu ∈Pab và ∈V+( )λ thì:
Tích phân hai vế (2.1) từ ađến bta được :
( ) ( ) b ( )( ) b ( ) a a u b −u a =∫ u s ds+∫q s ds. Vì ∈Pab và ∈V+( )λ nên: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 b b b a a a u a −u b = −∫ u s ds−∫q s ds≤ −∫ u s ds< . Do đó từ (2.2) ta có: ( ) ( ) 0 c+λu b −u b < Từ đây suy ra:
( ) ( ) ( )
u b c u b u b
λ ≤ +λ <
Vậy λ<1 (do u b( )>0 ).
- Chứng minh tương tự cho trường hợp − ∈ Pab và ∈V−( )λ ta cũng có λ >1.
- Nếu λ =1 thì toán tử ∈Lab được mặc định là không tầm thường.