Việc thiếu tính chất dương của phân bố Wigner (chi tiết xem chương 2) và các vấn đề kế tiếp trong biểu diễn của nó đã dẫn tới việc tìm kiếm những dạng biểu diễn toàn phương thời gian - tần số khác. Để nghiên cứu có hệ thống những biểu diễn thời gian - tần số như vậy, người ta xét một lớp biểu diễn toàn phương thời gian - tần số, thu được bằng cách tích chập phân bố Wigner với một hàm hạt nhân σ.
1.5.1. Lớp Cohen
Định nghĩa 1.17. Ta gọi là lớp phân bố Cohen, họ mọi biểu diễn thời gian tần số toàn phương Qf có dạng
Qf = Qσf = W igf∗σ, (1.40) ở đây σ ∈ S0
R2d được gọi là hàm hạt nhân.
Những biểu diễn thời gian - tần số trong lớp Cohen thừa kế được các tính chất của phân bố Wigner và của hàm hạt nhân σ.
1.5.2. Ví dụ 1. Từ W ig(TxMwf) =T(x,w)W igf, chúng ta có Qσ(TxMwf) = W ig(TxMwf)∗σ = T(x,w)W igf∗σ = T(x,w)(W igf ∗σ) = T(x,w)Qσf.
Do đó tất cả các biểu diễn trong lớp Cohen là hiệp biến. 2. Đẳng thức
Z Z
R2d
Qσf (x, w)dxdw = kfk22
xảy ra khi và chỉ khi RR R2d
σ(x, w)dxdw = 1.
Điều này có được là do ta áp dụng Bổ đề ?? (chi tiết xem chương 2) và biến đổi Z Z R2d Qσf (x, w)dxdw = Z Z R2d W igf ∗σ(x, w)dxdw
= Z Z R2d W igf (x, w)dxdw Z Z R2d σ(x, w)dxdw = kfk22 Z Z R2d σ(x, w)dxdw. (1.41) Để có sự tính toán này thì chúng ta cần có σ ∈ L1(R2d) và hạn chế f
trên không gian con mà ở đóW igf ∈ L1(R2d).
Định lý 1.9. Giả sử rằng biểu diễn toàn phương thời gian tần số Qf là hiệp biến và liên tục yếu, nghĩa là, nó thỏa mãn
Q(TxMwf) =T(x,w)Qf (1.42) và
Q(f, g) (0,0)6 kfk2kgk2, (1.43) với mọi f, g ∈ L2(Rd) (hoặc một không gian con trù mật của L2(Rd)). Khi đó tồn tại một hàm suy rộng tăng chậm σ ∈ S0(Rd), sao cho