- Ví dụ: Tính:
c. Bài tậptại lớp:
CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Chủ đề 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Một số kiến thức bổ trợ
a) Chứng minh quan hệ vuơng gĩc trong KG:
Ví dụ 1: Cho hình tứ diện S.ABC cĩ SA vuơng gĩc đáy (ABC) và cĩ ∆ABC vuơng tại B.
a. C/M: BC ⊥ (SAB) và BC ⊥ SB.
b. c/m: AH ⊥SC với AH là đường cao của tam giác SAB.
C
BA A
S
Bài giải:
a.Theo giả thiết:
SA⊥(ABC) nên SA⊥BC (1)
Mặt khác tam giác ABC vuơng tại B nên AB⊥BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥(SAB) suy ra BC ⊥ SB b.Theo chứng minh a. BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AH (3) Theo giả thiết AH ⊥ SB (4)
Từ (3) và (4) suy ra; AH ⊥ (SBC) suy ra AH ⊥ SC
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi tâm O và cĩ SA=SC; SB=SD. a. C/m SO ⊥ (ABCD).
b. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SB và SD. C/m MN ⊥ (SAC). Bài giải:
a.Vì SA=SC nên SO ⊥ AC (1) Tương tự SO ⊥BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)
b.Do M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD nên MN//BD Mặt khác: BD ⊥ AC (do ABCD là hình thoi) (3)
Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BD (4)
Từ (3) và (4) suy ra BD ⊥ (SAC) mà BD// MN nên MN ⊥ (SAC)
*Các dạng tốn tương tự:
1. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình vuơng. H và K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A lên SB và SD.
a. C/m: BC ⊥ (SAB); CD⊥(SAD) và BD ⊥ (SAC). b. C/m: SC ⊥(AHK) và HK ⊥ (SAC).
2. Cho tứ diện ABCD cĩ các mặt ABC và DBC là các tam giác đều; I là trung điểm của BC.
a. C/m BI ⊥ (AID).
b. Kẻ đường cao AH của tam giác AID. C/m AH ⊥ (BCD).
b) Ơn lại tính chất một số hình : chĩp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều. c) Kiến thức cần ghi nhớ về cơng thức tính thể tích khối đa diện: - Thể tích khối chĩp bằng 1. .
3
V = B h trong đĩ: B là diện tích đáy của chĩp h là chiều cao của chĩp
O N N M D C B A S
- Thể tích khối lăng trụ bằng V =B h. trong đĩ: B là diện tích đáy của chĩp h là chiều cao của chĩp Đặc biệt: Thể tích khối hộp cĩ 3 kích thước a,b,c là V=a.b.c
Thể tích khối lập phương cạnh a là V=a3 d) Bài tập:
Bài tập 1: Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Bài giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD).
Vì tứ diện ABCD đều nên H là trọng tâm tam giác BCD Tam giác BCD đều cạnh a nên diện tích tam giác BCD bằng S= 2 3 4 a Ta cĩ 3 3 a
BH = nên chiều cao 2 3 2 6 2
6
9 9 3
a a a
AH = a − = =
Thể tích khối tứ diện đều ABCD là 1 2 3. 6 3 2
3 4 3 12
a a a
V = =
Bài tập 2: Tính thể tích khối chĩp tứ giác đều SABCD cĩ đáy là tứ giác ABCD đều cạnh a, gĩc giữa (SAD) và đáy bằng 450
Bài giải:
+ Vì tứ giác ABCD đều nên ABCD là hình vuơng cạnh a SABCD=a2
+ Gọi I là trung điểm AD, gĩc giữa (SAD) và (ABCD) là SIH¶ =450 độ dài SH=IH.tan450= 2 a Thể tích khối SABCD là 1 2 3 . . 3 2 6 a a a = = V
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuơng cân ở A, AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuơng gĩc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuơng gĩc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a
Bài giải: Kẻ CF ⊥BD
kẻ CE⊥ AD
Theo giả thiết BD⊥(CEF) nên thể tích khối CDEF bằng 1. .DF 3 CEF
V = S
+ Tính diện tích tam giác CEF: ta cĩ : ⊥ ⊥ CA BA CD BA CE BA ADC BA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ( ) (1) H D C B A j I H D C B A S E F B A C D
Mà BD⊥(CEF) nên BD⊥CE (2) Từ (1) và (2) suy ra CE⊥DA
ADC
∆ vuơng cân tại C cĩ CE⊥AD ⇒E là trung điểm của AD ⇒ 2 2
a CE= Ta thấy CE ⊥(ABD) nên CE⊥EF ⇒ tam giác CEF vuơng tại E.
Mặt khác: BA⊥(ADC)⇒BA⊥ AD, tam giác ABD vuơng tại A
Xét 2 tam giác vuơng đồng dạng: DEF và DBA cĩ: EF .AB 6
DE DE a
EF
AB = DB ⇒ = DB =Diện tích tam giác CEF là SCEF=1.EF.CE Diện tích tam giác CEF là SCEF=1.EF.CE
2 = 2 3 12 a * ∆CDBvuơng tại C cĩ CF⊥BD ⇒DF DB DC. = 2 (4) 2 2 2 2 1 1 3 3 3 3 3 DF DC a a DF DB DB DB a ⇒ = = = ⇒ = = Thể tích khối CDEF bằng 1. .DF 1. 2 3. 3 3 3 CEF 3 12 3 36 a a a V = S = =
Bài tập4: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' cĩ AB=a; BC=b; AA'=c. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của A'B' và B'C'.Tính tỷ số thể tích của khối chĩp D'DMN và thể tích của khối hộp chữ nhật
Bài giải:
Gọi V là thể tích của khối D'DMN Ta cĩ diện tích của tam giác MND' là S=SA'B'C'D'-SA'MD' - SNC'D' - SB'M'N = a.b- 1 .. 2 4 a b -1 .. 2 2 a b -1 .. 2 2 a b = 3 . 8 a b Thể tích của khối DD'MN là V=1 3. 3 8 8 ab abc c =
* Thể tích của khối hộp chữ nhật là V1=a.b.c
Tỷ số thể tích của khối D'DMN và khối hộp chữ nhật là
1 1 1 8
VV = V =
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong đó ABC là tam giác đều cạnh a, A’H vuơng góc với mp(ABC).(H là trực tâm của tam giác ABC ), cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) một góc α.
a. Chứng minh răng: AA’⊥BC
b. Tính thể tích của khới lăng trụ theo a, α . Bài giải:
a. Gọi I là trung điểm của BC
Vì tam giác ABC đều nên AI⊥BC (1)
Theo giả thiết A’H⊥(ABC) nên A’H⊥BC (2) Từ (1) và (2) suy ra AA’ ⊥BC
b. Thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ là 1. ' .
3 ABC