Tø â, vîi måi n, p ∈ N, b¬ng c¡ch ¡p döng b§t ¯ng thùc tam gi¡c v b§t ¯ng thùc (2.23) ta ÷ñc d(T xn, T xn+p) ≤d(T xn, T xn+1) +d(T xn+1, T xn+2) +...+d(T xn+p−1, T xn+p) ≤ λn+ λn+1+ ...+λn+p−1d(T x0, T x1) ≤ λ n 1−λd(T x0, T x1). Tø λn
1−λ → 0 khi n → ∞ suy ra r¬ng, vîi méi c ∈ intP, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho
d(T xn, T xn+p) c
vîi måi n≥ n0 v vîi måi p ∈ N.
Theo ành ngh¾a 1.3.7, {T xn} l d¢y Cauchy. V¼ X l khæng gian m¶tric nân ¦y õ n¶n tçn t¤i y ∈ X sao cho T xn →y khi n → ∞.
(a) Gi£ sû T li¶n töc v l ¡nh x¤ hëi tö d¢y con. V¼ T xn →y khi n→ ∞ n¶n
lim
n→∞T f x2n = lim
n→∞T gx2n+1 = y. (2.24) Tø â suy ra {f x2n} (t÷ìng ùng {gx2n+1}) câ d¢y con hëi tö {f x2ni} (t÷ìng ùng {gx2mi+1}). Do â tçn t¤i u v v ∈ X sao cho f x2ni → u khi n → ∞ v
gx2mi+1 → v khi m → ∞. V¼ T l ¡nh x¤ li¶n töc n¶n ta câ
lim
n→∞T f x2ni = T u ; lim
n→∞T gx2mi+1 = T v. (2.25) Tø (2.24), (2.25) v sû döng t½nh ìn ¡nh cõa T suy ra tçn t¤i x ∈ X sao cho
(°t u = v = x) T x = y = lim
n→∞T xn.
(b) Gi£ sû T(X) âng trong X. Khi â v¼ T xn → y n¶n y ∈ T(X). Suy ra tçn t¤i x ∈ X sao cho T x = y = lim
n→∞T xn.
(c) Gi£ sû T l to n ¡nh. Khi â, tçn t¤i x ∈ X sao cho T x = y = lim
n→∞T xn. B¥y gií ta chùng minh x l iºm b§t ëng chung duy nh§t cõa f v g. Ta câ
d(T x, T f x) ≤ d(T x, T f x2n) +d(T f x2n, T gx2n+1) +d(T gx2n+1, T f x) = d(T x, T x2n+1) + d(T x2n+1, T x2n+2) +d(T f x, T gx2n+1) ≤ d(T x, T x2n+1) +d(T x2n+1, T x2n+2) +a1(x, x2n+1)d(T x, T x2n+1) +a2(x, x2n+1)d(T x, T f x) +a3(x, x2n+1)d(T x, T x2n+2) +a4(x, x2n+1)d(T x2n+1, T f x) +a5(x, x2n+1)d(T x2n+1, T x2n+2) ≤ d(T x, T x2n+1) +d(T x2n+1, T x2n+2) +a1(x, x2n+1)d(T x, T x2n+1) +a2(x, x2n+1)d(T x, T f x) +a3(x, x2n+1)d(T x, T x2n+2) +a4(x, x2n+1)[d(T x2n+1, T x) + d(T x, T f x)] +a5(x, x2n+1)d(T x2n+1, T x2n+2) vîi måi n= 0,1, ... . Tø â ta câ d(T x, T f x) ≤ 1 1−a2(x, x2n+1)−a4(x, x2n+1)[d(T x, T x2n+1)+d(T x2n+1, T x2n+2)+ +a1(x, x2n+1)d(T x, T x2n+1) +a3(x, x2n+1)d(T x, T x2n+2) +a4(x, x2n+1)d(T x2n+1, T x) +a5(x, x2n+1)d(T x2n+1, T x2n+2)] (2.26) vîi måi n= 0,1, ... . Tø (2.18) v (2.19) ta câ 0≤ a1(x, y) +a2(x, y) +...+a5(x, y) ≤ α +β 2 < 1 (2.27) vîi måi x, y ∈ X. Tø (2.26) v (2.27) suy ra d(T x, T f x) ≤ 2 2−α −β[3d(T x, T x2n+1)+2d(T x2n+1, T x2n+2)+d(T x, T x2n+2)] (2.28) vîi måi n= 0,1, ... .
Tø (2.28) v T xn → T x khi n → ∞ suy ra r¬ng vîi méi c ∈ intP, tçn t¤i
nc ∈ N sao cho vîi méi n > nc th¼
d(T x, T f x) c
p döng Bê · 1.2.4 (viii) ta ÷ñc d(T x, T f x) = 0 hay T x = T f x. V¼ T ìn ¡nh n¶n f x= x.
M°t kh¡c ta câ
+a2(x, x)d(T x, T x) +a3(x, x)d(T x, T gx) +a4(x, x)d(T x, T x) +a5(x, x)d(T x, T gx) = [a3(x, x) +a5(x, x)]d(T x, T gx)
≤ αd(T x, T gx).
p döng Bê · 1.2.4 (ix) ta câ d(T x, T gx) = 0, suy ra T x = T gx. V¼ T ìn ¡nh n¶n x = gx. Do â x l iºm b§t ëng chung cõa f v g.
Gi£ sû x0 công l iºm b§t ëng chung cõa f v g. Khi â,
d(T x, T x0) = d(T f x, T gx0) ≤ a1(x, x0)d(T x, T x0)
+a2(x, x0)d(T x, T f x) +a3(x, x0)d(T x, T gx0) +a4(x, x0)d(T x0, T f x) +a5(x, x0)d(T x0, T gx0) = [a1(x, x0) +a3(x, x0) +a4(x, x0)]d(T x, T x0)
≤ λd(T x, T x0).
Do λ ∈ [0,1) n¶n theo Bê · 1.2.4 (ix) ta câ d(T x, T x0) = 0, suy ta T x = T x0. V¼ T ìn ¡nh n¶n x = x0. Vªy f v g câ iºm b§t ëng chung duy nh§t.
B¥y gií, gi£ sû f T x = T f xv gT x = T gx. Khi â f T x= T x v gT x = T x. Ngh¾a l T x công l iºm b§t ëng chung cõa f v g. Tø t½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng chung cõa f v g ta câ T x = x. Do â x l iºm b§t ëng chung duy nh§t cõa T, f v g.
2.2.2. H» qu£ ([9], Theorem 2.2). Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ; T : X →X l ìn ¡nh v li¶n töc; f v g : X →X l hai ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n sau
d(T f x, T gy) ≤ q(x, y)d(T x, T y) +r(x, y)d(T x, T f x) +s(x, y)d(T y, T gy) +t(x, y)[d(T x, T gy) + d(T y, T f x)]
vîi måi x, y ∈ X, trong â q, r, s v t l c¡c h m khæng ¥m thäa
sup
x,y∈X
{q(x, y) +r(x, y) +s(x, y) + 2t(x, y)} ≤ λ <1.
Khi â,
(1) Tçn t¤i iºm zx ∈ X º lim
n→∞T f x2n = lim
n→∞T gx2n+1 = zx.
(2) N¸u T l ¡nh x¤ hëi tö d¢y con th¼ {f x2n} v {gx2n+1} câ d¢y con hëi tö. (3) Tçn t¤i duy nh§t iºm wx ∈ X sao cho f wx = gwx = wx, ngh¾a l f v g câ iºm b§t ëng chung duy nh§t.
Chùng minh. °t a1(x, y) = q(x, y), a2(x, y) = r(x, y), a3(x, y) = a4(x, y) =
t(x, y), a5(x, y) = s(x, y) vîi måi x, y ∈ X. Khi â c¡c k¸t luªn cõa h» qu£ ÷ñc suy ra tø sü chùng minh v k¸t luªn cõa ành lþ 2.2.1.
2.2.3. H» qu£. Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ; T, f v
g : X →X l c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n
(i) d(T f x, T gy) ≤ α1d(T x, T y) + α2d(T x, T f x) +α3d(T x, T gy) +α4d(T y, T f x) +α5d(T y, T gy)
vîi måi x, y ∈ X; trong â α1, α2, ..., α5 l c¡c h¬ng sè khæng ¥m sao cho
α1 +α2 + 2α3 + α5 < 1
v
α1 +α2 + 2α4 + α5 < 1
(ii) T l ìn ¡nh v câ mët trong c¡c t½nh ch§t sau (a) T li¶n töc v l ¡nh x¤ hëi tö d¢y con,
(b) T(X) âng trong X, (c) T to n ¡nh.
Khi â, f v g câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung trong X. Hìn núa n¸u
f T x = T f x v gT x = T gx, vîi måi x ∈ F ix(f)T
F ix(g) trong â F ix(f)
(t÷ìng ùng F ix(g)) l tªp iºm b§t ëng cõa f (t÷ìng ùng g) th¼ T, f, g câ iºm b§t ëng chung duy nh§t trong X.
Chùng minh. H» qu£ n y ÷ñc suy ra tø ành lþ 2.2.1 b¬ng c¡ch °taj(x, y) =
αj,∀x, y ∈ X,∀j = 1,2, ..,5.
2.2.4. ành ngh¾a ([4]). Gi£ sû T v f l hai ¡nh x¤ tø X v o X. (T, f)
÷ñc gåi l c°p ¡nh x¤ Banach n¸u mët trong c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n
(i) T(F ix(f)) ⊂F ix(f); (ii) f T x = T x,∀x∈ F ix(f); (iii) f T x = T f x,∀x ∈ F ix(f);
trong â F ix(f) l tªp c¡c iºm b§t ëng cõa f.
2.2.5. H» qu£ ([4], Theorem 2.1). Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ; T, f v g l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø X v o X. Khi â, n¸u T ìn
¡nh v
d(T f x, T gy) ≤ αd(T x, T f x) +βd(T y, T gy) + γd(T x, T y)
vîi måi x, y ∈ X, trong â α, β, γ l c¡c h¬ng sè khæng ¥m sao cho α+β+γ < 1
th¼ f v g câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung. Hìn núa, n¸u (f, T) v (g, T)
l hai c°p ¡nh x¤ Banach th¼ T, f v g câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung. Chùng minh. H» qu£ n y ÷ñc suy ra tø ành lþ 2.2.1 b¬ng c¡ch °t
a1(x, y) =γ, a2(x, y) =α, a5(x, y) = β, a3(x, y) = a4(x, y) = 0, vîi måi (x, y) ∈
X ×X.
Trong ành lþ 2.2.1, n¸u °t a1(x, y) =γ, a2(x, y) =a5(x, y) = 0, a3(x, y) =
α, a4(x, y) =β, vîi måi (x, y) ∈ X ×X th¼ ta nhªn ÷ñc h» qu£ sau.
2.2.6. H» qu£ ([4], Theorem 2.2). Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ; T, f v g l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø X v o X. Khi â, n¸u T ìn ¡nh v
d(T f x, T gy) ≤ αd(T x, T gy) + βd(T y, T f x) +γd(T x, T y) (2.29) vîi måi x, y ∈ X, trong â α, β, γ l c¡c h¬ng sè khæng ¥m sao cho α+β+γ < 1
v α = β th¼ f v g câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung. Hìn núa, n¸u (f, T)
v (g, T) l hai c°p ¡nh x¤ Banach th¼ T, f v g câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung.
Trong ành lþ 2.2.1, n¸u l§y T : X →X l ¡nh x¤ çng nh§t (tùc T x = x
vîi måi x ∈ X) th¼ ta nhªn ÷ñc h» qu£ sau.
2.2.7. H» qu£. Cho (X,d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v f, g :X →X
l hai ¡nh x¤ sao cho
d(f x, gy) ≤ a1(x, y)d(x, y) +a2(x, y)d(x, f x) +a3(x, y)d(x, gy) +a4(x, y)d(y, f x) +a5(x, y)d(y, gy)
vîi måi x, y ∈ X, trong â ai : X ×X → [0,∞) (i = 1,2, ...,5) l c¡c h m thäa m¢n sup x,y∈X {a1(x, y) +a2(x, y) + 2a3(x, y) +a5(x, y)} ≤ α <1 v sup x,y∈X {a1(x, y) +a2(x, y) + 2a4(x, y) +a5(x, y)} ≤ β < 1
Khi â, f v g câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung trong X. Trong ành lþ 2.2.1, n¸u l§y g = f ta nhªn ÷ñc h» qu£ sau.
2.2.8. H» qu£. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ; T v f : X →
X l hai ¡nh x¤ thäa c¡c i·u ki»n sau
(i) d(T f x, T f y) ≤ a1(x, y)d(T x, T y)+a2(x, y)d(T x, T f x)+a3(x, y)d(T x, T f y) +a4(x, y)d(T y, T f x) +a5d(T y, T f y)
vîi måi x, y ∈ X; trong â ai : X ×X → [0,∞) i = 1,2, ..,5 l c¡c h m sao cho sup x,y∈X {a1(x, y) +a2(x, y) + 2a3(x, y) +a5(x, y)} ≤ α <1 v sup x,y∈X {a1(x, y) +a2(x, y) + 2a4(x, y) +a5(x, y)} ≤ β < 1
(ii) T l ìn ¡nh v câ mët trong c¡c t½nh ch§t sau (a) T li¶n töc v l ¡nh x¤ hëi tö d¢y con,
(b) T(X) âng trong X, (c) T to n ¡nh.
Khi â, f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng trong X. Hìn núa, n¸u f T x = T f x
vîi x l iºm b§t ëng cõa f th¼ T v f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng chung.
2.2.9. H» qu£. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ; T v f : X →
X l hai ¡nh x¤ thäa c¡c i·u ki»n
(i) d(T f x, T f y) ≤α1d(T x, T y) +α2d(T x, T f x) +α3d(T x, T f y)
+α4d(T y, T f x) + α5d(T y, T f y) (2.30) vîi måi x, y ∈ X, trong â α1, α2, ..., α5 l c¡c h¬ng sè khæng ¥m sao cho
α1 + α2 +...+ α5 < 1
(ii) T l ìn ¡nh v câ mët trong c¡c t½nh ch§t sau (a) T li¶n töc v l ¡nh x¤ hëi tö d¢y con,
(b) T(X) âng trong X, (c) T to n ¡nh.
Khi â, f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng trong X. Hìn núa, n¸u f T x = T f x
Chùng minh. p döng (2.30) cho c°p (y, x) ∈ X ×X ta câ
d(T f y, T f x) ≤ α1d(T y, T x) +α2d(T y, T f y) +α3d(T y, T f x)
+α4d(T x, T f y) +α5d(T x, T f x) (2.31) vîi måi y, x ∈ X. Tø (2.30) v (2.31) suy ra
d(T f x, T f y) ≤ α1d(T x, T y) + α2 +α5 2 d(T x, T f x) +α3 + α4 2 d(T x, T f y) + α4 +α3 2 d(T y, T f x) + α5 +α2 2 d(T y, T f y) vîi måi x, y ∈ X. °t a1(x, y) =α1, a2(x, y) = a5(x, y) = α2 +α5 2 , a3(x, y) =a4(x, y) = α3 +α4 2 vîi måi x, y ∈ X.
D¹ d ng kiºm tra ÷ñc t§t c£ c¡c i·u ki»n cõa H» qu£ 2.2.8 ÷ñc thäa m¢n. Do â, theo H» qu£ 2.2.8, f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng. Hìn núa n¸u x
l iºm b§t ëng cõa f v f T x = T f x th¼ x l iºm b§t ëng chung duy nh§t cõa T v f.
Trong H» qu£ 2.2.9, l§y T : X →X l ¡nh x¤ çng nh§t, ta nhªn ÷ñc h» qu£ sau.
2.2.10. H» qu£. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v f :X →X
l ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n
d(f x, f y) ≤α1d(x, y) + α2d(x, f x) + α3d(x, f y) +α4d(y, f x) +α5d(y, f y)
vîi måi x, y ∈ X; trong â α1, α2, ..., α5 l c¡c h¬ng sè khæng ¥m sao cho
α1 + α2 +...+ α5 < 1. Khi â, f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng trong X.
2.2.11. Nhªn x²t. C¡c ành lþ 2.1.4 v 2.1.5 l c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa H» qu£ 2.2.9.
V½ dö sau ¥y chùng tä ành lþ 2.2.1 l mð rëng thªt sü cõa Theorem 2.1 v Theorem 2.2 trong [4].
2.2.12. V½ dö. Gi£ sû X = {1,2,3,4} v d : X ×X → R l h m ÷ñc x¡c ành bði d(x, y) = 0 n¸u x = y 1 n¸u (x, y) ∈ {(1,2),(2,1)} 2 n¸u (x, y) ∈ {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} 3 n¸u (x, y) ∈ {(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3.4),(4,3)} Ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc d l m¶tric tr¶n X v (X, d) l khæng gian m¶tric ¦y õ. Gi£ sû T, f, g : X → X l c¡c h m ÷ñc cho bði
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 4, T4 = 3;f1 = f2 = f3 = 1, f4 = 3;g1 =g3 = 1, g2 = g4 = 3.
D¹ th§y c¡c i·u ki»n trong ành lþ 2.2.1 ÷ñc thäa m¢n trø i·u ki»n (i). B¥y gií ta chùng tä c¡c h m T, f, g thäa m¢n i·u ki»n (i) trong ành lþ 2.2.1. °t
a1(x, y) +a2(x, y) + 2a3(x, y) +a5(x, y) =ϕ(x, y)
v
a1(x, y) +a2(x, y) + 2a4(x, y) +a5(x, y) =ψ(x, y)
vîi måi (x, y) ∈ X×X, trong â c¡c h m aj : X ×X →[0,∞) (j = 1,2, ...,5) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: aj(1,1) = aj(1,3) = aj(2,1) = aj(2,3) = aj(3,1) = aj(3,3) = aj(4,2) = aj(4,4) = 0 ∀j = 1,2, ...,5 aj(1,2) = 0 ∀j = 1,2,3,4;a5(1,2) = 2 3 ; aj(1,4) = 0 ∀j = 2,3,4,5;a1(1,4) = 2 3 ; aj(2,2) = 0 ∀j = 1,2,3,4;a5(2,2) = 2 3 ; aj(2,4) = 0 ∀j = 1,2,3,4;a5(2,4) = 2 3 ; aj(3,2) = 0 ∀j = 1,2,3,4;a5(3,2) = 2 3 ; aj(3,4) = 0 ∀j = 1,2,3,4;a5(3,4) = 2 3 ;
aj(4,1) = 0 ∀j = 2,3,4,5;a1(4,1) = 2 3 ; aj(4,3) = 0 ∀j = 2,3,4,5;a1(4,3) = 2 3. Ta câ sup x,y∈X ϕ(x, y) = sup x,y∈X ψ(x, y) = 2 3 < 1 Ta câ d(T f1, T g1) = d(T f1, T g3) = d(T f2, T g1) = d(T f2, T g3) = d(T f3, T g1) = d(T f3, T g3) = d(T f4, T g2) = d(T f4, T g4) = 0.
Do â, b§t ¯ng thùc (2.17) óng cho c¡c c°p iºm (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4).
Ta câ
d(T f1, T g2) = d(1,4) = 2 = a5(1,2)d(T2, T g2)
Do â, b§t ¯ng thùc (2.17) óng cho c°p iºm (1,2). T÷ìng tü ta công chùng minh ÷ñc b§t ¯ng thùc (2.17) óng cho c¡c c°p iºm (x, y) cán l¤i trong X ×X.
Nh÷ vªy, c¡c i·u ki»n trong ành lþ 2.2.1 ·u ÷ñc thäa m¢n. Do â ành lþ 2.2.1 ¡p döng ÷ñc cho T, f v g. Ta th§y 1 l iºm b§t ëng chung duy nh§t cõa T, f v g.
Ti¸p theo, ta chùng tä Theorem 2.1 v Theorem 2.2 trong [4] (tùc l H» qu£ 2.2.5 v H» qu£ 2.2.6) khæng ¡p döng ÷ñc cho T, f v g. Gi£ sû T, f v
g thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa Theorem 2.1 [4]. Khi â, tçn t¤i α, β, γ ∈ [0,1)
sao cho α +β +γ < 1 v
d(T f x, T gy) ≤ αd(T x, T f x) +βd(T y, T gy) + γd(T x, T y)
vîi måi x, y ∈ X. Khi â, ta câ
d(T f1, T g2) = d(1,4) = 2≤ αd(1,1) +βd(2,4) +γd(1,2) = 3β +γ
tùc l
2≤ 3β + γ (2.32)
T÷ìng tü, ta câ
d(T f4, T g1) = 2 ≤ 3α + 3γ, (2.34) Tø (2.32), (2.33) v (2.34) suy ra
6≤ 4α+ 6β + 4γ ≤ 6(α+β +γ) < 6
¥y l mët i·u væ l½. Do â c¡c i·u ki»n cõa Theorem 2.1 [4] khæng ÷ñc thäa m¢n.
Gi£ sû c¡c i·u ki»n cõa Theorem 2.2 [4] ÷ñc thäa m¢n. Khi â, t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ¡p döng b§t ¯ng thùc (2.29) cho (x, y) = (2,2) v (x, y) = (3,4) ta câ
2≤ 3α +β; 2 ≤ 3γ + 3β.
Tø â suy ra
4≤ 3α+ 4β + 3γ ≤ 4(α+β +γ) < 4
Ta câ i·u m¥u thu¨n. Do â i·u ki»n (2.29) trong Theorem 2.2 [4] khæng ÷ñc thäa m¢n.
KT LUN
Luªn v«n ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ ch½nh sau ¥y:
1. Tr¼nh b y v chùng minh chi ti¸t mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian m¶tric nân v mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân.
2. ÷a ra mët sè k¸t qu£ mîi v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng v iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân v ch¿ ra c¡c k¸t qu£ n y l sü mð rëng thªt sü mët sè k¸t qu£ trong c¡c t i li»u tham kh£o [4, 8, 9], â l ành lþ 2.2.1, c¡c H» qu£ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.10 v V½ dö 2.2.12. C¡c k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc vi¸t th nh mët b i b¡o gûi «ng tr¶n T¤p ch½ khoa håc tr÷íng ¤i håc Vinh.
T i li»u tham kh£o
[1] Nguy¹n V«n Khu¶ v L¶ Mªu H£i (2002), Cì sð lþ thuy¸t h m v gi£i t½ch h m T2, NXB Gi¡o döc.
[2] J. Kelley (1973), Tæpæ ¤i c÷ìng, H Huy Kho¡i, Hç Thu¦n v inh M¤nh T÷íng (dàch), NXB ¤i håc v Trung håc chuy¶n nghi»p, H Nëi.
[3] M. Abbas, B. E. Rhoades (2009), Fixed and periodic point result in cone m¶tric spaces, Appl. Math. Lett, 22 511-515.
[4] A. K. Dubey, Reena Shukla, R.P.Dubey (2013), Cone m¶tric spaces and common fixed point theorems for certain contractive mappings, I. J. Pure Appl. Math, Vol 87 No.3, 431-441.
[5] M. Filipovi´c, L. Paunovic´, S. Radenovi´c, M. Rajovic´ (2011), Remarks on "Cone m¶tric spaces and fixed point theorems of T-Kannan and T- Chatterjea contructive mappings", Math. Comput. Modelling, 54, 1467- 1472.
[6] G. E. Hardy, T. D. Rogers (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canad. Math. Bull. 16 , 201-206.
[7] L. G. Huang, X. Zhang (2007), Cone m¶tric spaces and fixed point theo- rems of contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 322, 1467-1475. [8] J. R. Morales, E. Rojas (2010), Cone m¶tric spaces and fixed point theo-
rems of T-Kannan contructive mappings, Int. J. Math. Anal, Vol.4, 175- 184.
[9] Hamidreza Rahimi, B. E. Rhoades, Stojan Radenov´c, Ghasem Soleimani Rad (2013), Fixed and periodic point theorems for T-contractions on cone m¶tric spaces, Filomat 27:5, 881-888, DOI 10.2298/FIL 1305881R.
[10] S. Rezapour, R. Hamlbarani (2008), Some note on the paper cone m¶tric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 345, 719-724.