Tiếp theo, trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh rằng Định lí 2.1 vẫn đúng khi C là nón lồi đóng tổng quát với phần trong khác rỗng miễn là hàm f là C-lồi. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.6. Giả sử rằng f là C- lồi. Khi đó, tồn tại y1∗, ..., yq∗ ∈ C+\ {0}
sao cho Sw là đồng nhất với tập của tất cả các nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc sau
Rq+−minfo(x)với x ∈ Γ, (2.15) trong đó, fo(x) = hy1∗, f (x)i, ...,yq∗, f (x)với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Với mỗi y∗ ∈ Y∗ bất kì, đặt
λy∗ := inf x∈Γhy∗, f(x)i và L(y∗) := {x ∈ Γ : hy∗, f(x)i = λy∗}. (2.16) Khi đó, theo [10, Định lí 5.13] ta có Sw = [ y∗∈C+\{0} L(y∗). (2.17)
Đặt I := {1, ..., m} (trong đó, m được xét như trong (2.1)) và với mỗi
i ∈ I, đặt Ci+ := y∗ ∈ C+\ {0} : L(y∗)∩Pi 6= ∅ và Si := [ y∗∈C+ i Pi ∩L(y∗). (2.18) Theo (2.17) và đẳng thức đầu tiên của (2.1)thì
Sw = [
i∈I
Lấy i ∈ I và y∗ ∈ C+i . Do (2.1), (2.16)và (2.18) ta có
Pi ∩L(y∗) = {x ∈ Pi ∩Γ : hy∗, Ti(x) +bii = infu∈Pi∩Γhy∗, T (u) +bii}.
Từ Pi ∩Γ là đa diện trong X, suy ra Pi ∩L(y∗) là một mặt của Pi∩Γ.
Lưu ý rằng, một đa diện có hữu hạn các mặt nên tồn tại một tập con hữu hạn Di ⊂Ci+ sao cho Si = S
y∗∈DiPi∩L(y∗). Do đó, theo (2.17) và (2.19) thì tồn tại y1∗, ..., yq∗ ∈ C+ \ {0} sao cho
Sw =
q
[
k=1
L(yk∗). (2.20)
Đặt fo : X → Rn với fo(x) = hy1∗, f (x)i, ...,yq∗, f(x) với mọi x ∈ X.
Từ mỗi hàm số x 7→ hyk∗, f (x)i là lồi và tuyến tính từng khúc, suy ra fo
là Rn+ - lồi và tuyến tính từng khúc. Lấy x ∈ Γ và gọi Swo là tập nghiệm Pareto yếu của (2.15). Khi đó, từ [10, Định lí 5.13] suy ra x ∈ Swo nếu và chỉ nếu tồn tại (t1, ..., tq) ∈ Rq+\ {0} sao cho
h(t1, ..., tq), fo(x)i = inf {h(t1, ..., tq), fo(u)i : u ∈ Γ}, tức là, q X k=1 tkhyk∗, f (x)i = inf ( q X k=1 tkhyk∗, f (u)i :u ∈ Γ ) . Do đó x ∈ Sωo ⇔ x ∈ L q X k=1 tk, yk∗ ! với (t1, ..., tq) ∈ Rq+\ {0}.
Từ (2.17) và (2.20) suy ra Sw = Swo. Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.2. Giả sử f là C- lồi. Khi đó, Sw là hợp của hữu hạn các đa diện trong X.
Mệnh đề 2.1. Giả sử f là C - lồi và Y là không gian hữu hạn chiều. Khi đó, Vw là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y.
Chứng minh. Theo Định lí 2.2, tồn tại hữu hạn các đa diện E1, ..., Ep
trong X sao cho Sw = Sp
k=1Ek. Do đó, Vw = Sp k=1f (Ek). Từ (2.1) suy ra Vw = p [ k=1 n [ i=1 f (Pi∩Ek) ! = p [ k=1 n [ i=1 (Ti(Pi ∩Ek)) +bi ! .
Điều này cùng với Bổ đề 2.5 chứng tỏ rằng Vw là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y. Mệnh đề được chứng minh.
Theo Ví dụ 2.1, có thể thấy rằng cả Định lí 2.1 và Mệnh đề 2.1 đều không đúng nếu không có giả thiết về tính C- lồi của f.
Sau đây là các kết quả liên thông đường của Sw và Vw.
Định lý 2.3. Giả sử f là C-lồi. Khi đó, Sw và Vw là liên thông đường. Để chứng minh Định lí 2.3, chúng ta sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 2.7. Cho Z là không gian định chuẩn và K ⊂ Z là một nón đa diện với int(K) 6= ∅. Giả sử A ⊂Z là một đa diện. Khi đó, W E(A, K)
là liên thông đường.
Chứng minh. Lấy z∗1, ..., zm∗ , zm+1∗ , ..., zn∗ ∈ Z∗ và c1, ..., cm ∈ R sao cho
và
K = {z ∈ Z : hzi∗, zi ≤ 0, i = m+ 1, ..., n}.
Đặt Z1 := Tn
i=1ker(zi∗). Khi đó, tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Z2 của Z sao cho Z = Z1 +Z2 và Z1 ∩ Z2 = {0}. Đặt
Ao = {z ∈ Z2 : hzi∗, zi ≤ ci, i= 1, ..., m}
và
Ko = {z ∈ Z2 :hzi∗, zi ≤ 0, i= m+ 1, ..., n}.
Khi đó, A = Z1 + Ao, K = Z1 + Ko, Ao là một đa diện trong Z2 và Ko
là một nón đa diện trong Z2. Ngoài ra, int(K) = intZ2(Ko) + Z1. Ta chứng minh rằng,
W E (A, K) =W E(Ao, Ko) +Z1. (2.21) Từ điều này cùng với Định lí ABB chứng tỏ rằng, W E(Ao, Ko) là liên thông đường suy ra W E(A, K) là liên thông đường. Ta còn phải chứng tỏ (2.21) là đúng.
Lấy x ∈ W E (A, K). Khi đó, (x−int(K))∩A = ∅.
Cho ao ∈ Ao và z1 ∈ Z1 với x = ao +z1, suy ra
(ao +z1 −intZ2(Ko)−Z1)∩(Ao +Z1) =∅.
Do z1 −Z1 = −Z1 nên điều này có nghĩa là
(ao −intZ2(Ko))∩Ao = ∅,
do đó, ao ∈ W E(Ao, Ko) suy ra x = ao+z1 ∈ W E (Ao, Ko) +Z1. Vì vậy,
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử phản chứng tồn tại
zo ∈ W E(Ao, Ko) và z1 ∈ Z1 sao cho zo +z1 ∈/ W E(A, K).
Từ int(K) = intZ2(Ko) + Z1 và A = Ao + Z1, tồn tại e ∈ intZ2(Ko),
u, v ∈ Z1 và ao ∈ Ao sao cho zo+z1−e−u = ao+v, hay là zo−e−ao = u + v − z1. Chú ý rằng với zo − e − a0 ∈ Z2, u + v − z1 ∈ Z1 và từ
Z1 ∩Z2 = {0} thì zo −e = ao. Vì vậy, ao ∈ zo −intZ2(Ko), mâu thuẫn với zo ∈ W E(Ao, Ko). Điều này chứng tỏ rằng (2.21) là đúng. Bổ đề đã được chứng minh.
Chứng minh Định lý 2.3. Giử sử fo và q giống như trong Bổ đề 2.6. ĐặtK = X×Rq+. Khi đó,K là một nón đa diện trong X×Rq. Ta chứng minh rằng, Sw = n x : (x, y) ∈ W E epiRq +(fo)∩(Γ×Rq), K o . (2.22) Lấy x ∈ Sw. Khi đó, theo Bổ đề 2.6, x là một nghiệm Pareto yếu của (2.15). Do đó,
(fo(x)−fo(Γ))∩int(Rq+) =∅.
Điều này có nghĩa là,
(x, fo(x))−(u, fo(u)) ∈/ X ×int(Rq+) = int(K)với mọi u ∈ Γ.
Lưu ý rằng, int(K) + h ⊂ int(K) với mọi h ∈ K, điều này suy ra
(x, fo(x))−(u, fo(u) +c) ∈/ int(K) với mọi u ∈ Γ và c ∈ Rq+. Tức là,
(x, fo(x)) ∈ W E epiRq +(fo)∩(Γ×Rq), K . Vì thế, Sw ⊂ nx : (x, y) ∈ W E epiRq + (fo)∩(Γ×Rq), K o . (2.23)
Ngược lại, cho (x, y) ∈ W E epiRq + (fo)∩(Γ ×Rq), K . Khi đó, x ∈ Γ
và tồn tại c ∈ Rq+ sao cho y = fo(x) +c, hơn nữa,
(x, fo(x) +c)−epiRq
+(f0)∩(Γ×Rq)
∩(X ×int(Rq+)) = ∅.
Do đó, (fo(x) +c−(f (Γ) +Rq+))∩ int(Rq+) =∅, và như vậy
(fo(x)−fo(Γ))∩int(Rq+) =∅.
Vì vậy, x là một nghiệm Pareto yếu của (2.15). Theo Bổ đề 2.6 thì
x ∈ Sw. Điều này cùng với (2.23) chứng tỏ (2.22) đúng. Chú ý rằng từ (2.1) và Bổ đề 2.2 ta có
hyk∗, f (x)i = max
1≤i≤mhyk∗, Ti(x) +bii với 1≤ k ≤ q,
ta có epiRq
+(fo) là một đa diện trongX×Rq. Do đó, epiRq
+ (fo)∩(Γ×Rq)
là một đa diện trong X ×Rq. Theo Bổ đề 2.7 thì
W E epiRq
+(fo)∩(Γ×Rq), K
là liên thông đường.
Điều này cùng với (2.22) chứng tỏ Sw cũng là liên thông đường. Lưu ý rằng, một ánh xạ tuyến tính từng khúc là liên tục. Từ tính liên thông đường của Sw, dễ dàng kiểm tra được Vw = f (Sw) cũng là liên thông
đường. Định lí được chứng minh. 2
Trong Định lí 2.3, giả thiết C lồi không thể bỏ được. Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.2. Cho X = Y = R và C = R+. Lấy f (x) = 0 nếu x ∈
R\(−1; 1) và f (x) = 1− |x| nếu x ∈ [−1; 1]. Khi đó, Sw = R\(−1; 1)
Nhận xét 2.2. Định lí 2.1, 2.2 và 2.3 cải tiến và tổng quát hóa các kết quả của Arrow, Barankin và Brackwell, nó là sự mở rộng từ trường hợp tuyến tính đến trường hợp tuyến tính từng khúc và tổng quát từ trường hợp hữu hạn chiều sang vô hạn chiều.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp f là tuyến tính.
Định lý 2.4. Giả sử tồn tại T ∈ L(X, Y) và b ∈ Y sao cho f (x) = T (x) +b với mọi x ∈ X. Khi đó, tồn tại y1∗, ..., y∗m ∈ C+ \ {0} sao cho
L yj∗ là một mặt của Γ, (j = 1, ..., m) và Sw = Sm
j=1L yj∗, trong đó,
L(y∗) giống như trong (2.16).
Chứng minh. Theo (2.20) trong phần chứng minh của Bổ đề 2.6 thì tồn tại y∗1, ..., ym∗ ∈ C+ \ {0} sao cho Sw = Sm
j=1L yj∗. Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi L yj∗ là một mặt của Γ. Do tính tuyến tính của
f và định nghĩa của L yj∗, dễ dàng chứng minh được rằng,
L yj∗ = x ∈ Γ : yj∗, T (x) = min u∈P hy∗, T (u)i .
Điều này chứng tỏL yj∗là một mặt củaΓ.Định lí được chứng minh. Nhận xét 2.3. Nếu bỏ giả thiết về tính tuyến tính của f thì Định lí 2.4 không còn đúng. Ví dụ sau chứng tỏ điều này.
Ví dụ 2.3. Cho X = Y = R, C = [0,+∞),Γ = [−1,1] và f (x) = |x|
Kết luận
Khóa luận trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết tối ưu vector và một số dạng mở rộng của Định lý ABB. Cụ thể:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết tối ưu vector như: Tập lồi, nón, quan hệ thứ tự, các điểm hữu hiệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu vector.
Chương 2: Mục 2.1 trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc và một số tính chất cơ bản được sử dụng trong phần sau. Mục 2.2 nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong hai trường hợp: Mục 2.2.1 khảo sát cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong trường hợp nón sinh thứ tự là một đa diện. Mục 2.2.2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của lớp bài toán này với trường hợp nón sinh thứ tự tổng quát của hàm mục tiêu là lồi theo nón. Các ví dụ được đưa ra để phân tích các kết quả được trình bày trong khóa luận.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Giải tích lồi, Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, NXB Khoa học kỹ thuật, 2000.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[2] P. Armand, Finding all maximal efficient faces in multiobjecture linear programming, Math. Program., 61 (1993), pp.357-375.
[3] K. J. Arrow, E. W. Barankin and D. Blackwell, Admissible points of convex sets, Contribution to the Theory of Games, Edited by H. W. Kuhn and A. W. Tucker, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1953, pp.87-92.
[4] H. P. Benson and E. Sun, Outcome space partition of the weight set in multiobjecture linear programming, J. Optim. Theory Appl., 105 (2000), pp. 17-36.
[5] G. R. Bitran and T. L. Magnanti, The structure of admissible points with respect to cone dominance, J. Optim. Theory and Appl., 29 (1979), pp.573-614.
[6] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York, 1983
[7] S. I. Gass and P. G. Roy, The compromise hypersphere for multi- objecture linear programming, European J. Oper. Res., 144 (2003), pp.1105-479.
[8] X. H. Gong, Connectedness of the efficient solution sets of a convex vector optimzation problem in normed spaces, Nonlinear Anal, 23 (1994), pp.1105-1114.
[9] H. W. Hamacher and S. Nickel, Multiobjecture planar location prob- lems, Europea J. Oper. Res., 94 (1996), pp.66-86.
[10] J. Jahn, Vector Optimization: Theory, Applications and Extensions, Springer - Verlag 2004.
[11] B. Jimenez, Strict efficiency in vector optimzation, J. Math. Anal. Appl., 265 (2002), pp.264-284.
[12] B. Jimenez, Strict minimality conditions in nondifferentiable multi- objective programming, J. Optim. Theory Appl., 116 (2003), pp.99- 116.
[13] D. T. Luc, Theory of Vector Optimization, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1989.
[14] D. T. Luc, Contractibilty of efficient point sets in normed spaces, Nonlinear Anal., 15(1990), pp.527-535.
[15] E. K. Makarov and N. N. Rachkovski, Efficient sets of convex com- pacta are arewise connected, J. Optim. Theory Appl., 110 (2001), pp.159-172.
[16] S. Nickel and M. M. Wiecek, Multiple objective programming with piecewise linear functions, J. Multi-Crit. Decis. Anal., 8 (1999), pp.322-332.
[17] G. Perez etal, Management of surgical waiting lists through a pos- sibilistic linear multiobjective programming problem, App. Math. Comput., 167 (2005), pp.477-495.
[18] B. T. Polyak, Introduction to Optimization, Optimization Software, inc., Publications Division, New York, 1987.
[19] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princenton Univ. Press, Prin- centon, New Jersey, 1970.
[20] W. Song, Connectibility of efficient solution sets in vector optimiza- tion of set-valued mappings, Optimization, 39 (1997), pp.1-11. [21] E. J. Sun, On the connectedness of efficient set for strictly quasi-
convex vector optimization problems, J. Optim. Theory Appl., 89 (1996), pp.475-481.
[22] L. V.Thuan and D. T. Luc, On sensitivity in linear multiobjective programming, J. Optim. Theory Appl., 107 (2000), pp.615-626. [23] M. Zelenny, Linear Multiobjecture Programming, Lecture Notes in
Econimics and Mathematical Systems, Vol.95, SPringer-Verlag, New York, 1974.
[24] X. Y. Zheng, Contractibilty and connectedness of efficient point sets, J. Optim. Theory Appl., 104 (2000), pp.717-737.
[25] X. Y. Zheng and K. F. Ng, metric regularity and constraint qualifi- cations for convex inequalities on Banach sapces, SIMAM J. Optim. 14 (2003), pp.757-772.
[26] X. Y. Zheng, X. M. Yang and K.L. Teo, Sharp minima for multiob- jective optimization in Banach Spaces, Set-Valued Anal., In press. [27] X. Y. Zheng and X. Q. Yang, The structure of weak Pareto solu-
tion sets in piecewise linear multiobjective optimization in normed spaces, Science in China Series A: Mathematics 51.7 (2008), 1243– 1256.