Định nghĩa suy dẫn theo quan hệ

18. THỰC HÀNH HÀM KẾT HỢP VÀ GOM NHÓM

21.3. Định nghĩa suy dẫn theo quan hệ

Cho F là một tập các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính U, f là một phụ thuộc hàm trên U, (f có thể không thuộc F), nói rằng f đƣợc suy dẫn từ tập F theo quan hệ và kí hiệu F ╞f, nếu và chỉ nếu với mọi quan hệ R trên U, nếu R thỏa mãn F thì R cũng thỏa mãm f.

Ký hiệu F* là tập tất cả các phụ thuộc hàm đƣợc suy dẫn đƣợc từ tập F theo quan hệ. u.X=v.X (6)

u.Z=v.Z (7)

X Y XZ

F*={f: XY | X,YU, F╞f}

Nếu phụ thuộc hàm f không thỏa suy dẫn đƣợc từ tập phụ thuộc hàm F theo quan hệ thì ta ký hiệu F!╞f.

Tính chất của F*:

Cho F và G là hai tập phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính U khi đó ta có:

1. Tính phản xạ: Với  f  F thì F ╞f từ đây ta suy ra F  F*.

2. Tính đơn điệu: Nếu F G thì F*  G*.

3. Tính lũy đẳng: Với mọi tập phụ thuộc hàm F thì ta luôn có (F*)*=F*.

Chứng minh:

1. Lấy f là một phụ thuộc hàm bất kì thuộc F ta cần chứng minh f F*. Thật vậy do f  F nên nếu R(F) thì R(f) do vậy theo định ngĩa về suy dẫn theo quan hệ thì fF* (đpcm).

2. Lấy f là một phụ thuộc hàm bất kì thuộc F* ta cần chứng minh fG* nếu F  G. Thật vậy:

- Nếu R(G) thì R(F) do F  G (1). - R(f) do f F* (2).

Từ (1) và (2) suy ra R(G) và R(f) hay fG* (đpcm).

3. Để chứng minh (F*)* =F* ta cần chứng minh (F*)* F* (a) và F*  (F*)* (b) Chứng minh (b) Theo tính chất 1thì F F* đồng thời theo tính chất đơn điệu thì F*  (F*)* vậy (b) đƣợc chứng minh.

Chứng minh (a) để chứng minh (1) ta lấy một phụ thuộc f bất kì của (F*)* ta cần chứng minh f F*. Thật vậy do f(F*)* nên F*╞f tức là nểu R là một quan hệ bất kỳ mà R(F*) thì R(f) (1).

Mặt khác theo tính chất phản xạ thì FF* (2) Từ (1) và (2) suy ra R(F) (3)

Từ (1) và (3) suy ra F ╞f hay fF* vậy (a) đƣợc chứng minh. Từ (a) và (b) suy ra tính chất (3) đƣợc chứng minh.