a a là phân số tối giản. Cần chứng minh rằng + ++
++ + k k 2 k 1 k 3 a a a a là
phân số tối giản.
(ak+ 1 + a k+ 3) – (ak + ak + 2) chia hết cho d ⇒ (ak+ 1 - a k) + (ak + 3 - ak + 2) chia hết cho d ⇒ ak - 1 + ak + 1 chia hết cho d. Như vậy d là ước chung của ak + ak+2 + và ak- 1 + ak + 1, do đó d = 1.
d) Ta sẽ chứng minh rằng ak 3+ < ak +ak 1+ +ak 2+ < a .k 4+ Bất đẳng thức này sẽ tương đương với:
ak 2+ +ak 1+ < ak +ak 1+ +ak 2+ <ak 3+ +ak 2+
+ + + + + +
⇔ ak 2 +ak 1 < ak +ak 1+ak 2 < ak 3 +ak 1 +ak
+ + +
⇔ ak 2 <ak +ak 2 < ak 3 +ak
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.
e) Gọi an là một só hạng bất kì của dãy. Ta sẽ chứng minh rằng mọi số nguyên dương A không vượt quá an đều bằng một số hạng hoặc bằng tngr bình phương của một số só hạng khác nhau của dãy ( ta gọi tính chất này là tính chất α).
Mệnh đề đúng với n bằng 1, 2, 3, 4 (chẳng hạn với n = 4 ta có an = a4 = 3; rõ ràng các số 1, 2, 3, đều có mặt trong dãy).
Giả sử mệnh đề đúng với k ≥ 4, tức là mọi số nguyên dương A không vượt quá ak đều có tính chất α. Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với k+ 1, tức là mọi số nguyên dương A không vượt quá ak+ 1 cũng có tính chất α. Xét hai khoảng giá trị của A:
- Nếu A ≤ ak thì A có tính chất α theo giả thiết quy nạp.
- Nếu ak < A ≤ ak + 1 thì 0 < A – ak ≤ ak + 1 – ak. Theo quy luật dãy thì ak + 1 – ak. Đặt A – ak = d thì A = ak + d và 0 < d ≤ ak – 1. Do d ≤ a k-1 nên d < ak, do đó theo giả thiết quy nạp, d có tính chất α, do đó A có tính chất α.