2. Biết rằng lưỡng cực điện và lưỡng cực hấp dẫn đều có thể quay tự do quanh một trục cố định qua tâm O của
TRƯỜNG TRỌNG LỰC HIỆU DỤNG
Cơ sở cơ bản của phần này là dựa trên sự giống nhau về mặt hiện tượng giữa chuyển động của vật dưới tác dụng của lực (hợp lực) 'Puur
không đổi và chuyển động của vật dưới tác dụng của trọng lực.
Ta xét các bài toán sau
Bài toán 4.1: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượng m được treo bởi sợi dây nhẹ, không dãn dài l. Con lắc có thể chuyển động tự do trong mặt phẳng thẳng đứng. Biết rằng trong suốt quá trình chuyển động con lắc còn chịu thêm tác dụng của một lực Fuur
không đổi, hợp với phương thẳng đứng góc β. CMR trong dao động điều hòa nhỏ của con lắc xung quanh vị trí cân bằng, chuyển động của con lắc giống như chịu tác dụng của một trọng lực hiệu dụng '.Puur
Lập biểu thức tính chu kỳ dao động khi đó. Bỏ qua ma sát và lực cản môi trường khi con lắc chuyển động
Bài giải
Chuyển động của con lắc khi có thêm ngoại lực Fuur
Chuyển động của con lắc khi chỉ chịu tác dụng của trọng lực
- Vị trí cân bằng:
0 0
P + F +τ =
uur uur uur
Đặt 'Puur uur uur= +P F
0 P'
τ
⇒ uur =−uur. Như vậy khi con lắc nằm cân bằng,
sợi dây có phương hợp lực 'Puur
.
Trong suốt quá trình chuyển động Puur
, Fuur
không đổi nên 'uurP
không đổi - Vị trí cân bằng: 0 0 P +τ = uur uur 0 P τ
⇒ uur =−uur. Như vậy khi con lắc nằm cân bằng, sợi dây có phương của Puur
, tức là phương thẳng đứng
Trong suốt quá trình chuyển động uurP
không đổi
- Chọn gốc O tại vị trí cân bằng, chiều dương như hình vẽ. Xét khi con lắc có li độ góc α ( so với vị trí cân bằng) P + F + =τ ma uur uur ur ur ' P τ ma ⇔ uur + =ur ur P + =τ ma uur ur ur
- Theo phương tiếp tuyến 'sin t " P α ma mlα − = = Ta chỉ xét dao động nhỏ, khi đó sinα α≈ . Thay vào
ta được " P' 0 ml α + α = Đặt ' 2 " 0 P ml ω = →α +ω α = → vật dao
động điều hòa với chu kì ' 2 2
' ml T P π π ω = = sin t " P α ma mlα − = = Ta chỉ xét dao động nhỏ, khi đó sinα α≈ . Thay vào
ta được " P 0 ml α + α = Đặt P " 2 0 ml ω = →α +ω α = → vật
dao động điều hòa với chu kì 2 2 ml T P π π ω = =
- Từ kết quả bài toán ta thấy chuyển động của con lắc khi có thêm một ngoại lực không đổi tác dụng giống như chuyển động trong trường trọng lực thực khi ta thay thế
P uur bằng uurP' là hợp lực của Puur và Fuur . Puur'
được gọi là trọng lực hiệu dụng.
Bài toán 4.2: Vật nặng có khối lượng m nằm trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối với một lò xo có
độ cứng k, lò xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A (hình vẽ). Vật m đang đứng yên và lò xo không biến dạng thì vật nặng bắt đầu chịu tác dụng của một lực không đổi Fuur
hướng theo trục lò xo như hình vẽ. Hãy tìm quãng đường mà vật nặng đi được và thời gian vật đi hết quãng đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất.
(Trích đề thi HSG lớp 12 THPT Tỉnh Nam Định năm 2012).
Bài giải
- Để giải bài toán này ta có nhận xét rằng, trong chuyển động của con lắc lò xo thẳng đứng, vật nặng luôn chịu tác dụng của trọng lực Puur
không đổi. Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng xác định bởi l mg
k
∆ = .
toàn tương tự như con lắc lò xo thẳng đứng và chịu tác dụng của “trọng lực hiệu dụng” 'Puur uur= F .
Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng xác định bởi ∆ =l F k/
(nói cách khác ta có thể hình dung như quay mặt phẳng dao động của con lắc đi 900, tính chất chuyển động của con lắc hoàn toàn không thay đổi).
- Bây giờ bài toán sẽ được hiểu đơn giản là từ vị trí cân bằng, đưa con lắc về vị trí mà lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả ra. Kết quả là con lắc sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng O với biên độ A l F
k
=∆ = , chu kì T 2 m
k
π
= .
- Quãng đường mà vật nặng đi được cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất đúng bằng khoảng cách giữa hai vị trí biên s 2A 2F
k
= =
- Thời gian vật đi hết quãng đường s kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất bằng khoảng thời gian giữa hai lần vật qua vị trí biên
2 T m t k π ∆ = = .
Cách giải này không những đúng cho trường hợp Fuur
không đổi trong suốt quá trình dao động mà còn áp dụng trong một giai đoạn nhỏ, miễn là trong giai đoạn đó, hiện tượng vật lý xảy ra tương tự. Ta hãy xét các bài toán sau
Bài toán 4.3: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu?
(Trích đề thi đại học Khối A năm 2010).
Bài giải
- Do trong quá trình chuyển động cơ năng của con lắc giảm dần chuyển thành công sinh ra để thắng công của lực ma sát nên vận tốc con lắc lớn nhất (tương ứng với động
năng cực đại) trong quá trình chuyển động sẽ xảy ra ở nửa chu kì đầu tiên. - Gọi ∆l: độ biến dạng của xo khi con
lắc ở vị trí cân bằng động. Ta có /
k l∆ =µmg ⇒ ∆ =l µmg k
- Trong nửa chu kỳ đầu tiên con lắc chịu tác
dụng của lực ma sát có phương, chiều và độ lớn Fms=µmg không đổi. Nếu so sánh với con lắc lò xo thẳng đứng ta thấy trong nửa chu kỳ này con lắc chịu tác dụng của “trọng lực hiệu dụng” F=µmg. Như vậy con lắc sẽ chuyển động giống như một dao
động tử điều hòa xung quanh vị trí cân bằng động với biên độ A=(10−∆l cm) , tần số
góc k
m
ω = .
Vận tốc lớn nhất khi con lắc qua vị trí cân bằng động
( ) ( ) ax 10 / 40 2 / m k v A l cm s cm s m ω = = − ∆ = .
Cần chú ý rằng trong nửa chu kỳ tiếp theo con lắc sẽ “dao động điều hoà” xung quanh VTCB O’ đối xứng với VTCB O đối với vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên.
Bài toán 4.4: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 100 g và lò xo nhẹ có độ cứng 10 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị dãn 3 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g=10 / .m s2 Xác định thời gian chuyển động của vật từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất
Bài giải
- Xét trong nửa chu kỳ đầu tiên, chuyển động của vật sẽ giống như một dao động tử điều hòa xung quang vị trí cân bằng O tương ứng với độ dãn của lò
xo l mg 1cm
k
µ
Biên độ dao động A= − =3 1 2cm, tần số góc k 10(rad s/ )
m
ω = = .
- Chọn trục Ox như hình vẽ, gốc O tại vị trí cân bằng. Gốc thời gian lúc con lắc bắt đầu dao động. Phương trình dao động của vật là x=2cos10t cm
- Khi lò xo không biến dạng lần thứ nhất, vật sẽ có li độ x=− ∆ =−l 1cm và đi theo chiều âm.
Dựa vào mối liên hệ giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều ta tìm được thời gian kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất bằng t α 2 / 3π10 15π ( )s
ω
CHƯƠNG IV