6. Cấu trúc khóa luận
2.6. Biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron
28
Để phù hợp với các nguyên lí chung của cơ học lƣợng tử, spin của electron phải đƣợc biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite. Chúng ta kí hiệu các toán tử hình chiếu spin lên các trục tọa độ là ̂ ̂ ̂ . Để có thể xác định đƣợc dạng của các toán tử này, chúng ta đòi hỏi rằng chúng phải thỏa mãn các quy tắc giao hoán, giống nhƣ các toán tử hình chiếu moment quỹ đạo ̂ ̂ ̂ . Nghĩa là:
̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ̂
} (2.24)
Hơn nữa, vết chiếu spin lên một phƣơng bất kì chỉ có thể nhận hai giá trị là ±ℏ/2, do đó những toán tử này phải đƣợc biểu diễn bằng những ma trận cấp 2, bởi vì chỉ có các ma trận cấp 2 mới có 2 giá trị riêng.
Đặt:
̂ ℏ ̂ ℏ ̂ ℏ (2.25)
Trong đó các là các ma trận cấp 2, có các giá trị riêng là ±1. Thay dạng của ̂ ̂ ̂ bởi (2.25) vào (2.24), ta có các hệ thức giao hoán cho :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
} (2.26)
Vì các giá trị riêng của ( ) bằng ±1, cho nên giá trị riêng của các toán tử phải bằng 1. Nhƣ vậy, dù dạng của các nhƣ thế nào chăng nữa, thì các toán tử cũng phải có dạng:
( ) ( ) ( ) (2.27) Xét tổ hợp
29 ( ) ( ) ( ) Tƣơng tự: } (2.28)
Ta nói rằng các toán tử thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán. Giả thiết các giá trị riêng của vết chiếu ±ℏ, tƣơng ứng với điều đó các giá trị riêng của ma trận bằng ±1. Muốn vậy ta đòi hỏi có dạng chéo.
( *
Trong biểu diễn chéo, ta sẽ đi tìm dạng của và . Giả sử
( * Chúng ta có: ( * ( * ( * ( * ( * ( * Từ (2.28) suy ra và ( * Sử dụng tính Hermite của ( * ( ) Ta phải có và ( )
30 Từ (1.21) ta có: ( * ( * ( | | | | ) ( *
Nên ( ) trong đó thực tùy ý. Vậy
( ) Tƣơng tự ( ) trong đó thực tùy ý.
Sau khi nhân với , nhân với , sử dụng hệ thức phản giao hoán (2.28)
( ) ( )
Rút ra . Vì và là thực và tùy ý cho nên nếu chọn thì
Còn ( )
Nhƣ vậy dạng của các toán tử trong biểu diễn chéo:
( * ( * ( *
Các ma trận trên gọi là các ma trận spin Pauli, còn dạng của các toán tử chiếu spin trong biểu diễn ̂ chéo
̂ ℏ ℏ( *
31
̂ ℏ ℏ( * ̂ ℏ ℏ(
*
Theo định nghĩa, toán tử bình phƣơng spin
̂ ̂ ̂ ̂ ℏ (
* ( )ℏ ̂
Trong đó ̂ là ma trận đơn vị cấp 2. Nhƣ vậy giá trị bình phƣơng spin
( )ℏ
Đƣa vào các số lƣợng tử và lần lƣợt xác định giá trị của bình phƣơng spin và chiếu spin
( )ℏ với
ℏ với
Ta thấy và tƣơng tự nhƣ các đại lƣợng chiếu moment quỹ đạo và bình phƣơng moment quỹ đạo và .
32
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2
Phƣơng pháp ma trận là phƣơng pháp rất hay và hữu ch trong cơ học lƣợng tử, giúp ta giải một số bài toán trong cơ học lƣợng tử một cách dễ dàng hơn. Trong phƣơng pháp này chúng ta đã đi tìm hiểu về: biểu diễn của toán tử; hệ phƣơng trình ma trận; tính chất của ma trận của các toán tử; spinor và ma trận Pauli và ví dụ về biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron.
33
CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN 3.1.Mở đầu
Trạng thái của hệ lƣợng tử có thể đƣợc mô tả bởi nghiệm của phƣơng trình
̂ (3.1)
Ở đây, ̂ là toán tử Hamilton (không phụ thuộc thời gian) và E là năng lƣợng của hệ. Đối với một số trƣờng hợp đơn giản (trƣờng Coulomb, trƣờng đàn hồi, trƣờng điện từ đều…) tƣơng ứng với các hệ đã l tƣởng hóa, phƣơng trình (3.1) có thể cho nghiệm chính xác. Khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phƣơng trình (3.1) không cho nghiệm chính xác. Bởi vậy cần phải đƣa vào các phƣơng pháp t nh gần đúng các hàm ri ng và trị riêng của toán tử ̂
trong (3.1)
Một trong các phƣơng pháp t nh gần đúng, đó là dựa vào các nghiệm chính xác của hệ đã l tƣởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để đƣợc nghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi nhƣ không khác nhiều so với hệ l tƣởng.
Phƣơng pháp t nh các hiệu chỉnh nhƣ thế, dƣới các điều kiện đặt ra đƣợc gọi là phƣơng pháp nhiễu loạn.
Phƣơng pháp nhiễu loạn là phƣơng pháp gần đúng để giải phƣơng trình Shrodinger, là phƣơng trình cơ bản của cơ học lƣợng tử
Để giải một cách gần đúng phƣơng trình Shrodinger
n n n
H E (3.2)
Tách toán tử Hamilton H thành 2 phần: 0 ˆ
H H V (3.3)
Trong đó H0 là toán tử Hamilton của bài toán đã có lời giải, tức là (0) (0) (0)
0 n n n
34 Với ( 0) n E và (0) n đƣợc coi là đã biết Còn (0) ln n
V E đƣợc coi là nhiễu loạn
Tr n cơ sở các giả thiết tr n ta tìm đƣợc các đại lƣợng En và n theo Vln , En(0) và (0)
n
một cách gần đúng.