6 Phƣơng pháp nghiên cứu
2.2 Các bài toán về đại lƣợng tỉ lệ nghịch
Hai đại lƣợng gọi là tỉ lệ nghịch nếu giá trị của đại lƣợng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lƣợng kia giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
Đối với học sinh tiểu học, tƣ duy của các em lại thiên về chiều thuận, nghĩa là: Đã tăng thì cùng tăng hoặc đã giảm thì cùng giảm. Vì thế với các em, việc giải các bài toán về tỉ lệ thuận thƣờng dễ dàng hơn so với việc giải các bài toán về tỉ lệ nghịch.
Thực tế cho thấy khi gặp các bài toán về tỉ lệ nghịch có rất nhiều học sinh lúng túng chƣa tìm đƣợc cách giải và có cách giải sai. Do đó, khi hƣớng dẫn học sinh giải các bài toán về tỉ lệ nghịch giáo viên cần lƣu ý: Phải hƣớng dẫn cụ thể, chi tiết để học sinh hiểu và nắm chắc kĩ năng phân tích, kỹ năng giải toán.
Ví dụ 8. 15 ngƣời làm xong công việc phải hết 5 ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong 3 ngày thì cần bao nhiêu ngƣời? Biết rằng mức làm của mỗi ngƣời trong một ngày là nhƣ nhau.
Tóm tắt
Làm 5 ngày cần: 15 ngƣời Làm 3 ngày cần: … ngƣời ?
Phân tích. Với bài toán trên, để học nắm đƣợc bản chất mối quan hệ giữa các đại lƣợng trong bài toán, giáo viên thƣờng phải giảng giải gắn với suy luận thực tiễn: Cùng một công việc, nếu càng đông ngƣời thì làm càng nhanh. Do đó, thời gian hoàn thành công việc càng sớm. Nhƣ vậy, quan hệ giữa số ngƣời tham gia làm việc và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lƣợng biến thiên theo tƣơng quan tỉ lệ nghịch. Nếu số ngƣời làm việc càng đông thì số ngày hoàn thành công việc càng ít. Trong ví dụ này, nếu giải theo phƣơng pháp rút về đơn vị, học sinh dễ nhầm lẫn với bƣớc rút về đơn vị trong dạng toán tỉ lệ thuận và tiến hành thực hiện phép chia theo kiểu 15 : 5 để tìm xem 1 ngày cần mấy ngƣời làm. Vì thế không tìm ra hƣớng giải của bài toán.
Bài toán này chỉ giải đƣợc theo phƣơng pháp rút về đơn vị và trong bƣớc rút về đơn vị ta lại làm phép tính nhân. Ở đây, định mức công việc của một ngƣời trong 1 ngày là đại lƣợng không đổi. Giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh thực hiện bƣớc rút về đơn vị theo hai cách.
Rút về đơn vị theo 1 ngƣời: Theo bài ra 15 ngƣời làm xong công việc trong 5 ngày. Nếu 1 ngƣời làm thì số ngƣời đã giảm đi 15 lần, do đó số ngày sẽ tăng lên 5 lần và bằng
15 5 75 (ngày)
Rút về đơn vị theo 1 ngày: 15 ngƣời làm xong công việc trong 5 ngày. Nếu làm xong trong 1 ngày thì số ngày đã giảm đi 5 lần, do đó số ngƣời phải tăng lên 5 lần và bằng
5 15 75 (ngƣời)
Nếu làm trong 3 ngày thì số ngày đã tăng lên 3 lần, do đó số ngƣời đã giảm đi 3 lần và bằng
75 : 3 25 (ngƣời)
Từ sự phân tích và hƣớng dẫn nhƣ trên, học sinh sẽ đƣa ra cách giải Cách 1
Lời giải Một ngƣời làm xong công việc đó trong số ngày là
5 15 75 (ngày) (1) Muốn làm xong công việc đó trong 3 ngày cần số ngƣời là 75 : 3 25 (ngƣời)
Đáp số: 25 ngƣời. Cách 2
Lời giải
Để làm xong công việc trong 1 ngày cần số ngƣời là 15 5 75 (ngƣời) Để làm xong công việc trong 3 ngày cần số ngƣời là
75 : 3 25 (ngƣời)
Đáp số: 25 ngƣời. Đƣa ra đƣợc lời giải chính xác nhƣ trên chứng tỏ học sinh đã nắm chắc kỹ năng thực hiện phép tính và kỹ năng đặt lời giải trong phép tính rút về đơn vị. Điều này sẽ rèn cho học sinh sự linh hoạt trong cách đặt lời giải cho bài toán.
Ví dụ 9. Một đội công nhân gồm 8 ngƣời đƣợc giao đắp một đoạn mƣơng trong 20 ngày. Sau khi đắp đƣợc 5 ngày đội đó đƣợc bổ sung thêm 16 ngƣời về cùng làm. Hỏi đơn vị đó đắp xong đoạn mƣơng đƣợc giao trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc của một ngƣời trong một ngày là nhƣ nhau.
Phân tích. Khó khăn lớn và thƣờng gặp nhất đối với học sinh khi gặp các bài toán về dạng này là không tóm tắt đƣợc nên không tìm đƣợc cách giải.
Để hƣớng dẫn học sinh giải đƣợc bài toán này, giáo viên cần gợi ý cho học sinh biến đổi các dữ kiện để có thể đƣa về bài toán phụ đơn giản: Sau khi đắp đƣợc 5 ngày thì số ngày phải làm còn lại là 15 ngày. Nhƣng thực tế có thêm 16 ngƣời về cùng làm nên tổng số ngƣời cùng làm sẽ là 24 ngƣời. Ta có thể tóm tắt bài toán nhƣ sau
8 ngƣời đắp trong: 15 ngày 24 ngƣời đắp trong: … ngày?
Giải đƣợc bài toán phụ dƣới dạng quen thuộc này học sinh sẽ có đƣợc đáp số của bài toán ban đầu. Từ sự phân tích đó, học sinh sẽ đƣa ra cách giải
Lời giải
Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là 20 5 15 (ngày)
Số ngƣời của đội đó sau khi đƣợc bổ sung thêm là 8 16 24 (ngƣời)
Thời gian để một ngƣời làm xong công việc còn lại là 15 8 120 (ngày)
Thời gian để đội công nhân đó sau khi đƣợc bổ sung thêm ngƣời làm xong công việc còn lại là
120 : 24 5 (ngày)
Thời gian để đội công nhân đó hoàn thành toàn bộ công việc đƣợc giao là 5 5 10 (ngày)
Đáp số: 10 ngày.
Ví dụ 10. Một đơn vị bộ đội chuẩn bị một số gạo đủ cho 50 ngƣời ăn trong 10 ngày. 3 ngày sau đơn vị đƣợc tăng thêm 20 ngƣời. Hỏi số gạo còn lại đủ để đơn vị ăn trong bao nhiêu ngày nữa? Biết rằng khẩu phần ăn của mỗi ngƣời trong một ngày là nhƣ nhau.
Phân tích. Để giải bài toán này, học sinh cần biến đổi các dữ kiện để đƣa bài toán về bài toán phụ đơn giản hơn: Sau khi ăn đƣợc 3 ngày thì số gạo còn lại đủ cho 50 ngày trong 7 ngày. Nhƣng đơn vị đã bổ sung thêm 20 ngƣời nên tổng số ngƣời ăn lên tới 70 ngƣời. Bài toán có thể tóm tắt nhƣ sau
50 ngƣời ăn trong: 7 ngày
70 ngƣời ăn trong: … ngày?
Giải bài toán bằng cách rút về đơn vị theo ngày ăn hết số gạo còn lại của một ngƣời ta có thể có lời giải bài toán nhƣ sau
Lời giải
Sau 3 ngày, số gạo còn lại đủ cho 50 ngƣời ăn trong số ngày là 10 3 7 (ngày)
Tổng số ngƣời hiện có trong đơn vị là
50 20 70 (ngƣời) Một ngƣời ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là 7 50 350 (ngày)
70 ngƣời ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là: 350 : 70 5 (ngày)
Đáp số: 5 ngày.
Ví dụ 11. Ngƣời thứ nhất hoàn thành công việc trong 6 ngày. Ngƣời thứ hai hoàn thành công việc đó trong 12 ngày. Hỏi cả hai ngƣời cùng làm công việc đó thì trong bao lâu sẽ hoàn thành?
Tóm tắt
Ngƣời thứ nhất làm xong công việc trong: 6 ngày Ngƣời thứ hai làm xong công việc trong: 12 ngày Cả hai ngƣời làm xong công việc trong: … ngày?
Phân tích. Để giải đƣợc bài toán này, giáo viên gợi ý cho học sinh xác định bƣớc rút về đơn vị: Muốn tìm đƣợc số ngày cả hai ngƣời cùng làm để hoàn thành xong công việc thì trƣớc hết ta phải tính đƣợc một ngày hai ngƣời làm đƣợc mấy phần công việc. Nghĩa là phải tính đƣợc một ngày ngƣời thứ nhất làm đƣợc mấy phần công việc, ngƣời thứ hai làm đƣợc mấy phần công việc. Ở đây coi toàn bộ công việc bằng 1.
Ngƣời thứ nhất làm trong 6 ngày xong công việc. Vậy một ngày ngƣời thứ nhất làm đƣợc mấy phần công việc? (1
6 công việc)
Ngƣời thứ hai làm trong 12 ngày xong công việc. Vậy một ngày ngƣời thứ hai làm đƣợc mấy phần công việc? ( 1
12 công việc)
Từ những phân tích trên, học sinh có thể đƣa ra lời giải bài toán Lời giải
Một ngày ngƣời thứ nhất làm đƣợc số phần công việc là 1
1 : 6
6 (công việc)
Một ngày ngƣời thứ hai làm đƣợc số phần công việc là 1
1 : 12
12 (công việc)
Một ngày cả hai ngƣời làm đƣợc số phần công việc là 1 1 1
6 12 4 (công việc)
1
1 : 4
4 (ngày)
Đáp số: 4 ngày. Qua việc giải các bài toán này, sẽ giúp học sinh nắm đƣợc cách vận dụng phƣơng pháp nhanh gọn dễ hiểu nhất để giải một bài toán, cụ thể là phƣơng pháp rút về đơn vị để giải các bài toán tỉ lệ. Học sinh hiểu đƣợc nội dung bài toán, nắm đƣợc cái đã cho và cái cần tìm, nắm đƣợc mối tƣơng quan giữa các dữ kiện để học sinh không chỉ tìm ra một lời giải mà còn có thể tìm ra nhiều lời giải, cách giải hấp dẫn khác.
Hơn thế, việc giải toán sẽ giúp bồi dƣỡng cho các em những kiến thức cần thiết, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, phát triển đƣợc tƣ duy và óc linh hoạt. Và từ đây các em sẽ biết mang những tri thứ lý luận cần thiết ứng dụng vào cuộc sống thực tế, xây dựng sự vững tin, niềm tự hào và hứng thú say mê trong học Toán.