Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 7.5 12.6 19 12 . 5 12.6 19.25 12.25 12.6 19.25 12. 25 6 19 ì 25 6 19 n n n n n n n n n n n n V + = − + = − + = − − − M M
Dạng 12.
Dạng 12. Áp dụng vào số họcÁp dụng vào số học
Phương pháp giải: Phương pháp giải:
•
• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a =b.k
nếu có số nguyên k sao cho a =b.k •
• Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia
hiện số chia
Bài 3:
Bài 3: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh
tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh
rằng tổng các bình phương của hai số a và rằng tổng các bình phương của hai số a và
b chia hết cho 5 b chia hết cho 5
Dạng 12.
Dạng 12. Áp dụng vào số họcÁp dụng vào số học
Bài 4:
Bài 4: Biết số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n Biết số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n22 chia cho 7 dư bao nhiêu? n
chia cho 7 dư bao nhiêu? n33 chia cho 7 dư bao chia cho 7 dư bao nhiêu?
nhiêu? Bài 5:
Bài 5: Cho a , b là các số nguyên. Chứng minh Cho a , b là các số nguyên. Chứng minh a
a3 3 + b+ b33 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a+b chia chia hết cho 3 khi và chỉ khi a+b chia hết cho 3.
hết cho 3. Bài 6:
Bài 6: a+b =1. Tính giá trị M = 2( a a+b =1. Tính giá trị M = 2( a3 3 + b+ b33) – ) – 3( a
Dạng 7.
Dạng 7. Áp dụng vào số họcÁp dụng vào số học
Bài 8:
Bài 8: Chứng minh rằng tổng các lập Chứng minh rằng tổng các lập
phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
hết cho 9 Giải: Giải:
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. tổng lập phương của chúng là:
tổng lập phương của chúng là:
Vì: trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia Vì: trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia
hết cho 3 nên 3n(n
hết cho 3 nên 3n(n22-1) chia hết cho 9, lại có 9n -1) chia hết cho 9, lại có 9n chia hết cho 9. chia hết cho 9. A = (n-1) A = (n-1)33 + n + n33 + (n+1) + (n+1)33 = n = n3 3 -3n-3n22 +3n -1 + n +3n -1 + n33 + n + n3 3 +3n+3n22 +3n +1 +3n +1 = 3n = 3n33 + 6n = 3n( n + 6n = 3n( n22 -1) + 9n = 3 (n-1)n(n+1) -1) + 9n = 3 (n-1)n(n+1) + 9n 9 + 9n 9 M
Bài 9:
Bài 9: Chứng minh rằng tổng các lập Chứng minh rằng tổng các lập
phương của ba số nguyên liên tiếp thì
phương của ba số nguyên liên tiếp thì
chia hết cho 9
1 2
( )x n n n 1 n n 2 n ... 1 0
F = a x + a x− − + a x− − + + a x a+
Bài 9:
Bài 9: Chứng minh không có đa thức F(x) Chứng minh không có đa thức F(x) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và
nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9. F(15) = 9. Giải: Giải: 1 (15) n15n n 115n ... 115 0 9 F = a + a − − + + a + =a 1 (7) n 7n n 17n ... 17 0 5 F = a + a − − + + a + =a ( )15 ( )7 n(15n 7 )n n 1(15n 1 7 ) ...n 1 1(15 7) 4 F − F = a − + a − − − − + + a − =
Vế trái chia hết cho 15 -7 = 8, vế phải là
Vế trái chia hết cho 15 -7 = 8, vế phải là