Trong ph¦n n y, ta x²t K l mët tr÷íng v R = K[x1, ..., xn] = K[x]. Vîi måi hå a thùc {fi}i∈A ta ành ngh¾a tªp nghi»m cõa hå a thùc n y l
°t I l i¶an sinh bði hå a thùc tr¶n, ta th§y tªp nghi»m tr¶n công ch½nh l tªp nghi»m cõa i¶anZ(I) n¶n tø nay ta ch¿ x²t ¸n tªp nghi»m cõa c¡c i¶an. Mët sè t½nh ch§t sau l hiºn nhi¶n.
M»nh · 2.3.14. (i) N¸u I ⊆ J th¼ Z(J) ⊆ Z(I). (ii) Z(I) =Z(√
I).
(iii) Z(I)∪Z(J) =Z(I ∩J). (iv) ∩Z(Ii) = Z(P
Ii) vîi måi hå i¶an {Ii}.
ành ngh¾a 2.3.15. Tªp nghi»m Z(I) cõa mët i¶an nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l mët tªp ¤i sè.
Tø M»nh · 2.3.14 ta th§y, hñp hai tªp ¤i sè v giao cõa mët hå c¡c tªp ¤i sè công l tªp ¤i sè n¶n ta câ thº trang bà mët tæ pæ cho khæng gian Kn b¬ng c¡ch coi c¡c tªp ¤i sè l c¡c tªp âng. Tæ pæ n y ÷ñc gåi l tæ pæ Zariski. Khæng gian Kn vîi tæ pæ Zariski ÷ñc gåi l khæng gian afin n chi·u, kþ hi»u l An. Ng÷ñc l¤i, x²t V l mët tªp iºm tòy þ trong An. Kþ hi»u
IV = {f ∈ K[x]|f(a) = 0,∀a ∈ V}.
Câ thº th§y ngay IV l i¶an v l i ¶an lîn nh§t câ tªp nghi»m chùa
V. Ta gåi IV l i¶an cõa tªp iºm V trong K[x]. Gåi V l giao cõa t§t c£ c¡c tªp ¤i sè chùa V, khi â V công l mët tªp ¤i sè v ÷ñc gåi l bao âng cõa V. Ta câ bê · sau
Bê · 2.3.16. Cho V l mët tªp tòy þ trong An. Ta câ (i) IV l mët i¶an c«n.
(ii) V = Z(IV). (iii) IV = IV.
X²t V l mët tªp ¤i sè, ta câ V = V n¶n V = Z(IV). Nh÷ vªy ta câ t÷ìng ùng 1−1 giúa c¡c tªp ¤i sè v c¡c i¶an c«n d¤ng IV. Ta th÷íng t¼m c¡ch ph¥n t½ch mët tªp ¤i sè th nh hñp c¡c tªp ¤i sè nhä hìn v nghi¶n cùu c¡c tªp ¤i sè n y. N¸u ta khæng thº ph¥n t½ch mët tªp ¤i sè kh¡c réng th nh hñp hai tªp ¤i sè nhä hìn th¼ ta gåi tªp ¤i sè â l tªp b§t kh£ quy. Kh¡i ni»m ¤i sè t÷ìng ùng vîi tªp b§t kh£ quy ch½nh l i¶an nguy¶n tè.
ành lþ 2.3.17. Tªp ¤i sè V l b§t kh£ quy khi v ch¿ khi IV l i¶an nguy¶n tè.
Quan h» giúa c¡c tªp ¤i sè v c¡c i¶an c«n ð tr¶n l mët song ¡nh do ành lþ khæng iºm nêi ti¸ng sau ¥y cõa Hilbert.
ành lþ 2.3.18. Cho K l tr÷íng âng ¤i sè. Vîi måi i¶an I ⊂ K[x]
ta câ IZ(I) = √
I.
Thæng qua ành lþ khæng iºm Hilbert ta câ
H» qu£ 2.3.19. Cho K l mët tr÷íng âng ¤i sè. Ta câ mët song ¡nh giúa c¡c tªp ¤i sè v c¡c i¶an c«n, v song ¡nh giúa c¡c tªp ¤i sè b§t kh£ quy v c¡c i¶an nguy¶n tè.
V¼ K[x1, ..., xn] l mët v nh Noether n¶n måi i¶an cõa nâ ·u câ ph¥n t½ch nguy¶n sì. Trong tr÷íng hñp I l mët i¶an c«n th¼ nâ ÷ñc ph¥n t½ch th nh giao cõa húu h¤n c¡c i¶an nguy¶n tè. T÷ìng ùng h¼nh håc cõa ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì nh÷ sau.
ành lþ 2.3.20. Trong khæng gian afin An måi tªp ¤i sè ·u ph¥n t½ch ÷ñc th nh hñp húu h¤n c¡c tªp ¤i sè b§t kh£ quy.
Vîi méi i ¶an I ta câ Z(I) = Z(√
I) v √I = ∩pi∈minAss(R/I)pi. Do â Z(I) = ∪Z(pi). N¶n c¡c th nh ph¦n nhóng cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì s³ khæng ÷ñc th§y rã trong ph¥n t½ch cõa tªp ¤i sè t÷ìng ùng. Ta câ thº th§y þ ngh¾a h¼nh håc cõa th nh ph¦n nhóng thæng qua v½ dö sau.
V½ dö 2.3.21. X²tR = K[x, y] v I = (x2, xy). Ta bi¸t I = (x)∩(x2, y). Nh÷ vªy tªp nghi»m cõa I l hñp cõa ÷íng th¯ng Oy (l tªp nghi»m cõa (x)) v gèc tåa ë (l tªp nghi»m cõa (x2, y)). Nh÷ng rã r ng gèc tåa ë ÷ñc nhóng trong Oy n¶n Z(I) =Oy l mët tªp b§t kh£ quy. 2.4. I¶an ìn thùc
Trong ph¦n n y chóng ta tr¼nh b y v· lþ thuy¸t ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc trong v nh Noether.
2.4.1. Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc
Trong möc n y, chóng ta xem x²t chi ti¸t hìn ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc trong v nh a thùc R = K[x1, ..., xn] cõa c¡c bi¸n x1, ..., xn tr¶n tr÷íng K. Cho vectì nguy¶n a = (a1, ..., an) ∈ Nn, khi â ph¦n tû xa1
1 ...xan
n l mët ìn thùc cõa R, kþ hi»u l xa. Bªc cõa ìn thùc xa l |a| = a1+...+an. Nh÷ vªy n¸u xb l mët ìn thùc kh¡c th¼ xaxb = xa+b, trong â a+ b l têng cõa hai vectì a v b. Cho xc l mët ìn thùc cõa R sao cho xc = xaxb th¼ ta nâi xa chia h¸t xc, hay nâi c¡ch kh¡c xc chia h¸t cho xa.
ành ngh¾a 2.4.1. I¶an I trong v nh a thùc R ÷ñc gåi l i¶an ìn thùc n¸u I câ mët h» sinh gçm to n c¡c ìn thùc.
Chóng ta bi¸t r¬ng,Rl v nh Noether theo ành lþ cì sð cõa Hilbert 2.1.10 n¶n méi i¶an ìn thùc I ·u húu h¤n sinh. Hìn núa, I câ mët h» sinh ch¿ gçm c¡c ìn thùc. N¸u xu§t ph¡t tø mët h» sinh gçm c¡c ìn thùc b§t ký cõa I v ch¿ giú l¤i c¡c ìn thùc khæng bà chia h¸t bði c¡c ìn thùc kh¡c trong h» â th¼ chóng ta câ duy nh¥t mët h» sinh tèi tiºu cõa
I. Tùc l , I ch¿ câ mët h» duy nh§t gçm c¡c ìn thùc sao cho khæng câ hai ìn thùc n o chia h¸t cho nhau. Kþ hi»u h» sinh â cõa I l G(I). C§u tróc cõa c¡c i¶an ìn thùc v nguy¶n tè r§t ìn gi£n, chóng ch¿ sinh bði tªp c¡c bi¸n.
Bê · 2.4.2. Cho I l mët i¶an ìn thùc kh¡c khæng. Khi â, I l i¶an nguy¶n tè khi v ch¿ khi I sinh bði c¡c bi¸n.
Chùng minh. Gi£ sû m ∈ G(I) khæng ph£i l mët bi¸n cõa R. Khi â ta câ thº ph¥n t½ch m th nh t½ch cõa hai ìn thùc thùc thüc sü cõa R
(kh¡c h¬ng) l m = m1m2. V¼ I l nguy¶n tè n¶n m1 ∈ I ho°c m2 ∈ I. Do â G(I) khæng ph£i l h» sinh tèi tiºu cõa I, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû I sinh bði tªp c¡c bi¸n th¼ chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng
I = (xr+1, ..., xn). Khi â, R/I ∼= K[x
1, ..., xr] l mët mi·n nguy¶n n¶n
I l i¶an nguy¶n tè.
Tø bê · tr¶n ta câ trong v nh a thùc ch¿ câ húu h¤n i¶an ìn thùc l nguy¶n tè. T÷ìng tü, ta câ thº chùng minh °c tr÷ng cõa i¶an ìn thùc b§t kh£ quy nh÷ sau.
Bê · 2.4.3. Cho I l mët i¶an ìn thùc kh¡c khæng. Khi â, I l i¶an b§t kh£ quy khi v ch¿ khi nâ sinh bði lôy thøa cõa c¡c bi¸n.
Ti¸p theo, chóng ta tr¼nh b y mët ph÷ìng ph¡p thüc h nh º ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc. Tr÷îc h¸t, chóng ta câ i¶an ìn thùc sinh bði lôy thøa c¡c bi¸n d¤ng (xn1
1 , ...., xnr
r ) l (x1, ..., xr)-nguy¶n sì, vîi n1, ..., nr l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. M»nh · sau ¥y cho ph²p chóng ta t½ch I th nh giao cõa c¡c i¶an nh÷ vªy.
M»nh · 2.4.4. Cho m1, ..., mr, u, v l c¡c ìn thùc cõa R. Gi£ sû u
v v l hai a thùc khæng câ chung bi¸n. Khi â,
(m1, ..., mr, uv) = (m1, ..., mr, u)∩(m1, ..., mr, v).
Chùng minh. D§u bao h m thùc”⊆ ”l hiºn nhi¶n. º chùng minh bao h m thùc ng÷ñc l¤i, ta l§y ìn thùc m ∈ (m1, ..., mr, u)∩(m1, ..., mr, v). Khi â, n¸u m chia h¸t cho mët trong c¡c ìn thùc mi, i= 1, ...r th¼ rã r ng m ∈ (m1, ..., mr, uv). Trong tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i, ta suy ra m chia
h¸t cho c£ u v v. M°t kh¡c, do u v v khæng câ bi¸n chung n¶n ta suy ra m chia h¸t cho uv. Nh÷ vªy ta câ m ∈ (m1, ..., mr, uv).
Thuªt to¡n ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc: Cho i¶an ìn thùc I cõa v nh a thùc R. º t¼m ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa I, chóng ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau:
B÷îc 1: Ph¥n t½ch I th nh giao cõa c¡c i¶an sinh bði lôy thøa c¡c bi¸n b¬ng c¡ch ¡p döng li¶n ti¸p M»nh · 2.4.4.
B÷îc 2: Lo¤i i c¡c i¶an chùa c¡c i¶an kh¡c trong giao. B÷îc 3: Nhâm c¡c i¶an câ còng c«n l¤i (Theo ành lþ 2.3.4).
Mët h» qu£ trüc ti¸p tø thuªt to¡n tr¶n â l : Måi i¶an ìn thùc ·u câ mët ph¥n t½ch nguy¶n sì gçm c¡c i¶an ìn thùc; v do â c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa c¡c i¶an ìn thùc ·u sinh bði c¡c bi¸n.
V½ dö 2.4.5. Cho i¶an ìn thùc I = (a2, b3, ab2c) cõa v nh a thùc
R = K[a, b, c]. Theo M»nh · 2.4.4 ta câ ph¥n t½ch sau:
I = (a2, b3, ab2c) = (a2, b3, a)∩(a2, b3, b2c) = (a, b3)∩(a2, b3, b2)∩(a2, b3, c)
= (a, b3)∩(a2, b2)∩(a2, b3, c).
Nh÷ vªy, ta câ ph¥n t½ch nguy¶n sì thu gån cõa I l :
I = [(a, b3)∩(a2, b2)]∩ (a2, b3, c) = (a2, ab2, b3)∩ (a3, b3, c2, a2b2).
Do â AssR(R/I) = {(a, b),(a, b, c)}.
èi vîi i¶an ìn thùc, chóng ta câ °c tr÷ng cõa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t nh÷ sau:
M»nh · 2.4.6. Cho i¶an ìn thùc I v i¶an nguy¶n tè p cõa R. Khi â p ∈ AssR(R/I) khi v ch¿ khi tçn t¤i mët ìn thùc m ∈ R sao cho
2.4.2. ç thà húu h¤n v i¶an c¤nh
ành ngh¾a 2.4.7. Mët ç thà húu h¤n, ìn v væ h÷îng G l mët c°p câ thù tü hai tªp hñp G = (V (G), E(G)), trong â tªp V(G)) húu h¤n cán tªp E(G) bao gçm mët sè tªp câ hai ph¦n tû cõa V(G).
Nhªn x²t 2.4.8. C¡c ph¦n tû cõa V(G) gåi l ¿nh, c¡c ph¦n tû cõa
E(G) gåi l c¤nh. N¸u e= {a, b} l mët c¤nh cõa G th¼ a v b gåi l c¡c ¿nh ¦u mót cõa c¤nh e hay c¡c ¿nh li¶n thuëc vîi e.
Ng÷íi ta th÷íng biºu di¹n ç thà G tr¶n m°t ph¯ng nh÷ sau: C¡c ¿nh cõa ç thà ÷ñc biºu di¹n bði c¡c iºm tr¶n m°t ph¯ng, cán c¡c c¤nh cõa ç thà ÷ñc biºu di¹n b¬ng mët ÷íng cong nèi hai iºm li¶n thuëc. V½ dö 2.4.9. Ngô gi¡c C5 = (V, E) vîi V = {a, b, c, d, e} v
E = {{a, b},{b, c},{c, d},{d, e},{e, a}} câ chu tr¼nh cõa ç thà C5 nh÷ sau:
Ti¸p theo, chóng ta ành ngh¾a i¶an c¤nh li¶n k¸t vîi mët ç thà. ành ngh¾a 2.4.10. Cho G = (V, G) l mët ç thà vîi V = {x1, ..., xn} v K l mët tr÷íng. Khi â i¶an c¤nh cõa G l
I(G) = (xixj|{xi, xj} ∈ E(G)) ⊂ R = K[x1, ..., xn].
Nhªn x²t 2.4.11. ¿nh xi gåi l ¿nh cæ lªp cõa G n¸u khæng câ c¤nh n o cõa G nèi v o xi. Theo ành ngh¾a cõa i¶an c¤nh, chóng ta câ
I(G) = I (G\ {xi}). Trong luªn v«n n y, chóng ta ch¿ x²t c¡c ç thà khæng câ iºm cæ lªp.
V½ dö 2.4.12. X²t chu tr¼nh C5 trong V½ dö 2.4.9 ta câ
I(C5) = (ab, bc, cd, de, ea) ⊂ R = K[a, b, c, d, e].
Ta câ ành ngh¾a v· i¶an ìn thùc khæng chùa b¼nh ph÷ìng nh÷ sau:
ành ngh¾a 2.4.13. °t R = K[x1,· · · , xd]. ìn thùc xn ∈ [[R]] ÷ñc gåi l khæng chùa b¼nh ph÷ìng n¸u vîi i = 1,· · · , d ta câ ni ∈ {0,1}. I¶an ìn thùc J ⊆ R ÷ñc gåi l khæng chùa b¼nh ph÷ìng n¸u nâ sinh bði c¡c ìn thùc khæng chùa b¼nh ph÷ìng.
ành ngh¾a 2.4.14. Cho V = {v1, ..., vd} v °t R = K[x1, ..., xd]. Vîi méi tªp con V0 ⊆ V, ành ngh¾a PV0 ⊆ R l i¶an v PV0 = ({xi|vi ∈ V0})R.
V½ dö 2.4.15. °t R = K[x, y, z]. C¡c ìn thùc khæng chùa b¼nh ph÷ìng trong R l
1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz.
Ta câ(xy, yz)l i¶an khæng chùa b¼nh ph÷ìng. I¶an(x2y, yz2)l i¶an chùa b¼nh ph÷ìng.
V¼ c¡c i¶an khæng chùa b¼nh ph÷ìng l i¶an c«n n¶n nâ l giao cõa c¡c i¶an nguy¶n tè.
M»nh · 2.4.16. Cho V = {v1,· · · , vd}, °t R = K[x1,· · · , xd]. I¶an ìn thùc J ( R l khæng chùa b¼nh ph÷ìng n¸u v ch¿ n¸u câ tªp con
V1,· · · , Vn ⊆ V sao cho J = Tn
i=1PVi.
ành ngh¾a 2.4.17. Cho G l ç thà vîi tªp ¿nh V = {v1,· · · , vd}. Mët phõ ¿nh cõa G l tªp con V0 ⊆ V sao cho méi c¤nh vivj trong G
ho°c vi ∈ V0 ho°c vj ∈ V0. Phõ ¿nh V0 l cüc tiºu n¸u nâ khæng thüc sü chùa mët phõ ¿nh kh¡c cõa G.
Bê · sau ch¿ ra quan h» giúa phõ ¿nh v ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån.
Bê · 2.4.18. Cho G l ç thà vîi tªp ¿nh V = {v1,· · · , vd} v cho
V0 ⊆ V. °t R = K[x1,· · · , xd], khi â IG ⊆ PV0 n¸u v ch¿ n¸u V0 l phõ ¿nh cõa G. Ta vi¸t V0 = {vi1,· · · , vin} khi â PV0 = (xi1,· · · , xin). Chùng minh. Gi£ sû IG ⊆ PV0 v V0 l mët phõ ¿nh cõa G. Gåi vjvk
l mët c¤nh cõa G. Vîi måi xjxk ∈ IG ⊆ PV0 = (xi1,· · · , xin), khi â tçn t¤i xjxk ∈ (xim) vîi måi m. Tø â suy ra j = im ho°c k = im v
vj = vim ∈ V0 ho°c vk = vim ∈ V0. Vªy V0 l phõ ¿nh cõa G.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sûV0 l phõ ¿nh cõa G. Ph¦n tû xixj ∈ IG l t÷ìng ùng vivj trong G. V¼ V0 l phõ ¿nh cõa G n¶n vi ∈ V0 ho°c vj ∈ V0. Tø â suy ra xi ∈ PV0 ho°c xj ∈ PV0. Vªy xixj ∈ PV0.
D÷îi ¥y l ành lþ quan trång v· ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an c¤nh.
ành lþ 2.4.19. Cho G l ç thà vîi tªp ¿nh V = {v1,· · · , vd} v
R = K[x1,· · · , xd]. Khi â i¶an c¤nh IG ⊆ R câ sü ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån nh÷ sau: IG = \ V0 PV0 = \ V0min PV0.
Trong â giao ¦u l§y tr¶n t§t c£ c¡c phõ ¿nh v giao sau l§y tr¶n phõ ¿nh cüc tiºu cõa G. Hìn núa giao sau l rót gån.
Chùng minh. Ta th§y r¬ng T
V0minPV0 l rót gån. Khi â hiºn nhi¶n:
\ V0 PV0 ⊆ \ V0min PV0 \ V0 PV0 ⊆ \ V0min PV0.
Mët phõ ¿nh V0 chùa phõ ¿nh cüc tiºu cõa V0. Ta câ IG ⊆ T
V0PV0 theo Bê · 2.4.18. Do â º chùng minh ng÷ñc l¤i ta l÷u þ r¬ng IG l khæng chùa b¼nh ph÷ìng. Theo M»nh · 2.4.16 tçn t¤i c¡c tªp con V1,· · · , Vn cõa V sao cho IG = Tn
j=1PVj, v ta câ IG ⊆ PVj. Theo Bê · 2.4.18 Vj l phõ ¿nh cõa G, ngh¾a l
IG = n \ j=1 PVj ⊇ \ V0 PV0. V½ dö 2.4.20. °t R = K[x1, x2, x3, x4]. T¼m ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån cõa c¡c i¶an J = (x1x2, x2x3, x2x4, x3x4). Tr÷îc h¸t, ta t¼m ç thà G vîi tªp ¿nh V = {v1, v2, v3, v4} thäa m¢n J = IG.
Ti¸p theo, ta t¼m c¡c phõ ¿nh cüc tiºu cõaG:{v1, v3, v4}{v2, v3}{v2, v4}.
Cuèi còng, theo ành lþ 2.4.19 ta câ
J = IG = (x1, x3, x4)∩(x2, x3)∩(x2, x4)
l ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån cõa c¡c i¶an cõa J.
V½ dö 2.4.21. X²t ç thà C5 trong V½ dö 2.4.9. Theo 2.4.12 ta câ R = K[a, b, c, d, e]. Khi â ç thà C5 câ ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån cõa c¡c i¶an c¤nh nh÷ sau: IG = (a, b, d)∩(a, c, d)∩(a, c, e)∩(b, c, e)∩(b, d, e).
KT LUN
Trong luªn v«n n y, chóng tæi thu ÷ñc mët sè k¸t qu£ nh÷ sau: • Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡n nh÷: V nh,
mæun, i¶an nguy¶n tè, àa ph÷ìng hâa, Bê · Nakayama.
• Ph¦n trång t¥m cõa luªn v«n nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· v nh, mæun Noether v ành lþ cì sð cõa Hilbert. Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y v· ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether v tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t.
• Ph¦n cuèi cõa luªn v«n, chóng tæi ÷a ra þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì v ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc, i¶an c¤nh º minh håa cho ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì.