Trong chương này chúng tôi trình bày một ví dụ nghiên cứu về nhómG(v,4) = hRvx, R2yπ/4i trong đó v là tích của một số vô tỉ cho trước với 2π. Sau đó có định lí nghiên cứu bước đầu về nhóm G(ω,4) = hRωx, Ry2π/4i với eiω là siêu việt.
3.1 Biểu diễn cho nhóm G(v,4)
Cho v = 2 tan−1(1/2) = tan−1(4/3). Trong không gian 3 chiều, xét nhóm G(v,4,4) sinh bởiT = Rvx, Rxπ/2 và Rπ/y 2. Xét nhóm con G(v,4,1) sinh bởi T = Rvx và Ryπ/2, và xa hơn là nhóm con G(v,1, v). Ta cũng có một số kết qủa tương tự như trường hợp số hữu tỉ.
3.1.1 Bổ đề. Một biểu thức dạng
W Sb1Ta1ã ã ãSbnTanE, (3.1) với W, E ∈ G(1,4,1), mỗi bi lẻ, mỗi ai 6= 0, và n > 0, không thể bằng đơn vị.
Chứng minh. Giống như trong bổ đề 2.1.3, ta xét các tích FaSTa, trong đó Fa là nhân tử số. Ta sẽ chỉ ra rằng tất cả phần tử của ma trận thuộc vành R, và chỉ ra các phần tử (1,2), (1,3), (2,2) và (2,3) không thuộc iđêan tối đại I. Trong bổ đề nàyR = Z, I là iđêan chính (5), R/I = Z5, và Fa = 5|a|.
Ta thấy vì tanv = 1/2 ⇒ cosv = 3/5, sinv = 4/5 nên cosnv và sinnv tương ứng là phần thực và phần ảo của(3 + 4i)n/5n. Nếun > 0thì phần thực
và phần ảo (3 + 4i)n theo thứ tự sẽ bằng 3 và 4 (mod 5) (Bằng cách sử dụng tính chất về đồng dư ta dễ dàng chứng minh điều này bằng quy nạp). Do đó, với mỗi số nguyên dươnga, 5acos(av)và5asin(av)là các số tự nhiên nhưng không chia hết cho 5. Ngược lại nếu a < 0, 5−acos(av) = 5−acos(−av) và
5−asin(av) = −5−asin(av) là các số nguyên nhưng không chia hết cho 5. Vì các SbiTai có dạng (2.7) và (2.8) nên FaiSbiTai có dạng 0 ε β 0 γ δ 0 0 0 ( mod 5), (3.2) với, β, γ, δ là các phần tử khác không củaZ5. Nhưng tích của hai hay nhiều phần tử dạng này lại có dạng này vì thế F Sb1Ta1Sb2Ta2 ã ã ãSbnTbn, trong đó
F = Qn
i=1Fai, lại có dạng này. Ma trận trong nhóm G(1,4,1) khi nhân với các ma trận khác thì ma trận đó trở thành ma trận đổi dấu hoặc hoán vị. Vì thế ma trận F W Sb1Ta1Sb2Ta2ã ã ãSbnTbnE có 4 phần tử khác không trong
Z5. Nhưng F nhân với một ma trận đơn vị sẽ là một ma trận 0 theo modulo 5, do đóF W Sb1Ta1Sb2Ta2ã ã ãSbnTbnE không thể bằng ma ttrận đơn vị.
3.1.2 Định lý. Nhóm G(v,4,1) sinh bởi S và T có biểu diễn là
hα, β|β4, β2αβ2αi với phép đồng nhất α → T, β →S.
Chứng minh. Ánh xạ cho tương ứng α →T và β → S là đồng cấu từ nhóm trừu tượng tới G(v,4,1) và nó là toàn cấu. Ta phải chỉ ra rằng nó là đẳng cấu. Sử dụng những hệ thức đã cho ( β2αa = α−aβ2, β4 = 1) , mỗi từ được viết theo α và β hoặc được viết dưới dạng như là một luỹ thừa của β hoặc được viết dưới dạngβbWαa1βαa2ã ã ãβαanβbE, trong đón > 0và mỗiai 6= 0. Theo bổ đề 3.1.1, ảnh của nó là một biểu thức trong G(v,4,1) là khác đơn vị. Chỉ có duy nhất luỹ thừa củaβ qua ánh xạ đó bằng đơn vị là β4 = 1. 3.1.3 Hệ quả. Nhóm con G(v,1, v) của nhómG(v,4,1) đẳng cấu với nhóm tự do sinh bởi 2 phần tử, với các phần tử sinh tương ứng là T và S−1T S. Chứng minh. Mỗi từ không tầm thường viết bằngT vàS−1T S có dạng (3.1), và vì thế nó không bằng đơn vị.
3.2 Nhóm G(ω ,4)
3.2.1 Định lý. Ta định nghĩa các phép quayX = Rωx vàV = S−1XS = Rzω, trong đó ξ = eiω (tương đương với cos(ω) ) là siêu việt. Thì nhóm sinh bởi X và V là nhóm tự do với hai phần tử sinh này.
Chứng minh. Mỗi từ trong nhóm sinh bởi X và V có dạng Xbe1Vde1Xbe2ã ã ã
hoặcVde1Xbe1Vde2ã ã ã, và ta có thể biểu thị dưới dạngXb1S3Xd1SXb2ã ã ã hoặc S3Xd1SXb1S3Xd2ã ã ã. Bằng cách sử dụng hệ thứcS2Xa = X−aS2 ta có thể đặt biểu thức trên dưới dạng
SaSXc1SXc2ã ã ãSXcnSb, (3.3) trong đó a, b, cj là những số nguyên. Theo định nghĩa nhóm tự do thì tất cả những gì ta phải làm là chỉ ra rằng n > 0 thì SaSXc1SXc2ã ã ãSXcnSb không phải là ma trận đơn vị.
Mỗi nhân tử SXcj có dạng 0 −sej cej 0 cej sej −1 0 0 , (3.4)
trong đó cej = cos(cjω) = (ξcj +ξ−cj)/2,sej = sin(cjω) = (ξcj −ξ−cj)/2i. Phần tử (2,2) của ma trận SXc1SXc2ã ã ãSXcn là tổng các số hạng. Mỗi số hạng là tíchQ
j cos(cjω) =Q
j((ξcj +ξ−cj)/2) của các phần tử (2,2) của tất cả các nhân tử SXcj, và là một đa thức bậc cao của ξ và ξ−1. Các số hạng còn lại mỗi số hạng chứa nhiều nhất một luỹ thừa của phần tử (3,1) là -1, và vì thế nó là một đa thức bậc thấp củaξ vàξ−1. Tổng là một đa thức với cùng số hạng đầu như là tích Q
jcos(cjω). Từ ξ là siêu việt, đa thức này không thể bằng 0 hoặc 1.
Nhân tửSa vàSb làm đối dấu, hoán vị ma trận, do đó một vài phần tử của ma trận SaSXc1SXc2ã ã ãSXcnSb phải bằng 0 hoặc 1, và vì thế SaSXc1SXc2ã ã ãSXcnSb không thể bằng đơn vị.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày sơ lược một số khái niệm về phép quay và ma trận phép quay; Nhóm tự do; Tích tự do của; Tích tự do với nhóm con chung. Sau đó chúng tôi đã trình bày và chứng minh một cách tỉ mỉ một phần bài báo [4] của Charles Radin và Lorenzo Sadun nghiên cứu về cấu trúc và dạng chính tắc nhóm G(p, q) là nhóm con của nhóm SO(3)
thông qua 3 định lí quan trọng là Định lí 2.1.2, Định lí 2.2.1 và 2.2.6. Cuối cùng luận văn còn trình bày một nghiên cứu về nhóm G(v,4) sinh bởi Rvx và R2yπ/4 trong đó v là tích một số vô tỉ với 2π. Sau đó trình bày một ví dụ nghiên cứu bước đầu về nhóm G(ω,4) = hRωx, Ry2π/4i với eiω là siêu việt. Nếu có điều kiện chúng tôi rất muốn nghiên cứu thêm về nhómG(p, l, q) với p, l, q là các số nguyên dương.