m¤nh tr¡i
Cho C l mët tªp con lçi cõa int domf vîi f(x) = 1
pkxkp, 2≤p < ∞ v T l mët ¡nh x¤ tø C v o ch½nh nâ. Mët ph¦n tû p thuëc bao âng cõa C ÷ñc goi l iºm b§t ëng ti»m cªn cõaT (xem [8], [13]) n¸u C chùa d¢y{xn} hëi tö y¸u v·p sao cho lim
n→∞kxn−T(xn)k= 0. Tªp c¡c iºm b§t ëng ti»m cªn cõaT ÷ñc kþ hi»u l Fˆ(T). To¡n tûT ÷ñc gåi l Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i (vi¸t tt l L-BSNE) t÷ìng ùng vîi tªp iºm b§t ëng ti»m cªn Fˆ(T) kh¡c réng, n¸u
∆p(T x, p) ≤ ∆p(x, p), (1.18) vîi måi p ∈ Fˆ(T), x ∈ C v khi {xn} ⊂ C l mët d¢y bà ch°n, p ∈ Fˆ(T) thäa m¢n lim n→∞(∆p(xn, p)−∆p(T(xn), p)) = 0, (1.19) th¼ ta câ lim n→∞∆p(T(xn), xn) = 0. (1.20) B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i câ nhi·u ùng döng trong lþ thuy¸t tèi ÷u. Do â lîp b i to¡n n y ¢ thu hót sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi.
N«m 2016, Shehu et al. [16] x¥y düng mët ph÷ìng ph¡p l°p mîi º gi£i b i to¡n sau:
T¼m mët ph¦n tû x∗ ∈C ∩A−1(Q)∩F(T). (1.21) trong â T l mët ¡nh x¤ Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i tø C v o ch½nh nâ C. N¸u T =I, ¡nh x¤ çng nh§t, th¼ F(T) =C v trong tr÷íng hñp n y, B i to¡n (1.21) trð th nh b i to¡n (SFP). Hå ¢ chùng minh k¸t qu£ sau.
ành lþ 1.5.1. ChoE v F l hai khæng gian Banachp-lçi ·u v trìn ·u. Cho
C v Q l c¡c tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa E v F, t÷ìng ùng, A :E → F l mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n v A∗ : F∗ → E∗ l to¡n tû li¶n hñp cõa A. Gi£ sû b i to¡n SFP (SFP) câ tªp nghi»mS kh¡c réng. l mët ¡nh x¤ Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i tø C v o ch½nh nâ C thäa m¢n F(T) = ˆF(T) v F(T)∩S 6= ∅. Cho {αn} l mët d¢y sè trong kho£ng (0,1). Vîi méi u ∈ E1 cè ành, cho {xn}
l d¢y ÷ñc x¡c ành bði u1 ∈E1 xn = ΠCJq[Jp(un)−tnA∗Jp(I −PQ)A(un)] un+1 = ΠCJq[αnJp(u) + (1−αn)JpT(xn)], n ≥1. (1.22) Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n:
i) lim n→∞αn = 0, ii) ∞ X n=1 αn =∞, iii) 0< t≤ tn ≤ k < q CqkAkq 1/(q−1) .
Khi â, d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· mët ph¦n tû x∗ ∈ F(T) ∩ S, ð ¥y x∗ = ΠF(T)∩Su.
Ch֓ng 2
Mët ành lþ hëi tö m¤nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach
Trong ch÷ìng n y luªn v«n tªp trung tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p lai chi¸u t¼m nghi»m chung cõa b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v b i to¡n iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n to¡n tû Bregman khæng gi¢n tr¡i trong khæng gian Banach tø t i li»u tham kh£o [17].
2.1 Ph¡t biºu b i to¡n
Trong luªn v«n n y ta x²t b i to¡n t¼m mët ph¦n tû x† sao cho
x† ∈ S = N \ i=1 Ci \ M \ j=1 A−1(Qj) \ K \ k=1 F(Tk) 6=∅, (2.1) trong â Ci v Qj l c¡c tªp con lçi, âng v kh¡c réng cõa c¡c khæng gian Banach p-lçi ·u, trìn ·u E v F, t÷ìng ùng, F(Tk) l tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i Tk : E −→E thäa m¢n Fˆ(T
k) =F(Tk), v A: E −→ F l mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n.
Nhªn x²t 2.1.1.
a) N¸u E = F, Ci =Qj =E v A l ¡nh x¤ çng nh§t tr¶n E, th¼ B i to¡n (2.1) trð th nh b i to¡n t¼m mët iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n to¡n tû Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i.
b) N¸u Tk l ¡nh x¤ çng nh§t tr¶n E vîi måi k = 1,2, . . . , K, th¼ b i to¡n (2.1) trð th nh b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (MSSFP).