Trong mô hình này chúng ta xét virut bán kính a và bề dày lớp vỏ d thì điện thế 𝜓(𝑥) là nghiệm của phương trình Poison
∇2𝜓 = −𝜌𝑒𝑙+𝜌𝑠
𝜀𝑟𝜀0 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑑 đối với vỏ, (3.1)
∇2𝜓 = − 𝜌𝑒𝑙
𝜀𝑟𝜀0, 𝑎 + 𝑑 < 𝑥 đối với bên ngoài virut. (3.2) Trong đó ∇2 là toán tử Laplace, 𝜀 0 hằng số điện môi của chân không, 𝜀 𝑟 là hằng số điện môi của dung dịch khối; 𝜌𝑒 𝑙 là mật độ điện tích của dung dịch, 𝜌𝑠 là mật độ điện tích của bề mặt. Ta bỏ qua sự đóng góp của điện tích của lõi vào sự hình thành điện thế.
Ở bài báo 14 Ohshima đã coi virut như hạt hình cầu đối xứng có bán kính rất nhỏ (cỡ nano mét). Đối với hạt hình cầu đối xứng, các ion có nồng độ n và hoá trị z thì thế bề mặt thoả mãn phương trình
𝑑2𝜓
𝑑 𝑥2=2𝜀𝑧 𝑛 𝑒
𝑟𝜀0𝑠 𝑖 𝑛ℎ 𝑧 𝑒 𝜓𝑘 𝑇 ; 𝑥 >0 . (3.3)
Hình 3.4: Độ linh động điện chuyển của MS2 chưa xử lí và MS2 mất ARN trong dung dịch NaCl (a) và CaCl2 (b) có nồng độ pH 5.9 không đổi.
Khi thế 𝜓(𝑥) thấp, phương trình (3.3) trở thành
𝑑2𝜓
𝑑 𝑥2=𝜅2𝜓. (3.4)
Khi phương trình (3.4) thoả mãn điều kiện biên
𝑑 𝜓 𝑑 𝑥 𝑥=−𝑑+ = 0, 𝜓 −0− =𝜓 −0+ , 𝑑 𝜓 𝑑 𝑥 𝑥=−0− = 𝑑 𝜓𝑑 𝑥 𝑥=−0+, 𝜓 𝑥 →0 𝑘 ℎ 𝑖 𝑥 → ∞, 𝑑 𝜓(𝑥) 𝑑 𝑥 → 0 𝑘 ℎ 𝑖 𝑥 → ∞, (3.5) thì thế bề mặt quả cầu là 𝜓 𝑥 = 𝑍 𝑁𝑘 𝑇 4𝑧2𝑛 𝑒 1−𝑒−2𝜅 𝑑 𝑒−𝜅 𝑥, 𝑥 >0. (3.6) Khi 𝑥 =0 thế bề mặt 𝜓0 =𝜓 0 thu được bằng
𝜓 0 = 𝑍 𝑁𝑘 𝑇
4𝑧2𝑛 𝑒 1−𝑒−2𝜅 𝑑 = 𝑍 𝑒 𝑁
2𝜀𝑟𝜀0𝜅2 1−𝑒−2𝜅 𝑑 . (3.7)
Xét giới hạn (3.7) khi 𝑑 → 0, giữ tích Nd không đổi, tức là giữ cho tổng các điện tích cố định 𝜍 =𝑍 𝑒 𝑁𝑑 không đổi, thì
𝜓0 =𝜀 𝜍
𝑟𝜀0𝜅. (3.8)
Biểu thức (3.8) là thế bề mặt của bề mặt cứng có mật độ điện mặt 𝜍.
Khi hạt có kích thước nano có bán kính dần đến không, tỉ lệ giữa diện tích bề mặt và thể tích tiến đến vô cùng và hiệu ứng thể tích giảm nhanh hơn hiệu ứng bề mặt. Khi bán kính rất nhỏ (cỡ 10 nanomet) hiệu ứng bề mặt trở thành trội hơn so với hiệu ứng thể tích và làm thay đổi tính chất vật lí của hạt.
Kết quả của hiện tượng hầu như không thấy đóng góp của phần bên trong virut. Khi bán kính virut nhỏ, điện tích bề mặt virut có thể được biểu diễn bằng sự tăng lên của hằng số điện môi hiệu dụng của bề mặt (𝜀 𝑆∗). Sự gia tăng đó có thể tăng đến vô cùng khi không còn sự đóng góp của lõi.
Một số tác giả đã đưa ra mô hình mật độ điện mặt hiệu dụng. Coi như virut là quả cầu rỗng có bán kính nhỏ (cỡ nanomet), bề mặt tích điện đặt trong môi
trường có hằng số điện môi hiệu dụng 𝜀 ∗. Mọi hiệu ứng chắn hay hiện tượng hiệu ứng bề mặt trội hơn hiệu ứng khối sẽ được thể hiện rõ trong hàm điện môi hiệu dụng sau đây, ta có 𝐸 𝜅𝐻 =𝐸𝑆 𝜅𝐻 +𝜅𝑊 𝐻 ≡𝜅𝑊′ 𝐻 , (3.9)
Trong đó 𝑊′ =𝜀𝐴∗𝑅 là năng lượng cho mô hình hiệu dụng khi đưa thêm vào đại lượng hằng số điện môi hiệu dụng. Thay biểu thức năng lượng vào phương trình trên ta được
𝐴
𝜀∗𝑅 =𝑒 −𝛼2𝐶0𝑅 𝐷 0 −8𝜋 𝐶0𝑅 +2𝜋 𝐶02𝑅2 +𝜀 𝑅𝐴 . (3.10) Biểu thức hằng số điện môi hiệu dụng thu được
𝜀 ∗ = 𝐴 𝑅 𝑒−𝛼2𝐶0𝑅 𝐷 0 −8𝜋 𝐶0𝑅+2𝜋 𝐶02𝑅2 +𝜀 𝑅𝐴 , (3.11) Hay 𝜀∗ 𝜀 = 1 𝜀 𝑅 𝐴 𝑒−𝛼2𝐶0𝑅 𝐷 0 −8𝜋 𝐶0𝑅+2𝜋 𝐶02𝑅2 +1 (3.12) Nhận thấy, khi 𝑅 →∞ thì 𝜀 ∗ → 𝜀 hay 𝜀
∗
𝜀 → 1 . Điều đó tương đương với việc bán kính virut là rất lớn thì bài toán trở về với điều kiện bình thường, hằng số điện môi bình thường, các hiện tượng của hiệu ứng bề mặt là hầu như không rõ.
Hình 3.5: Kết quả tính toán cho truờng hợp năng lượng điện tích lõi rất nhỏ so với vỏ capsid. Đường đứt nét là thế năng của vỏ, đường liền nét là hằng số điện môi hiệu dụng 𝜀∗
Trong trường hợp điện tích lõi rất nhỏ thì năng lượng điện do lõi cung cấp không làm thay đổi nhiều đến lớp vỏ nhưng vị trí năng lượng thấp nhất cũng lớn hơn năng lượng cực tiểu khi chỉ có vỏ capsid.
Kết quả đã được tính toán trong 2 . Đường liền nét là đường vẽ tỷ lệ 𝜀 ∗
𝜀
theo bán kính r của virut (hình 3.5). Tỷ lệ này tiến đến 1 khi bán kính đủ lớn và có vị trí R* lớn hơn rất nhiều so với vị trí năng lượng cực tiểu Rmin của virut và ở đó hằng số điện môi hiệu dụng tiến đến vô cùng. Điều đó chứng tỏ rằng khi hiệu ứng bề mặt trội hơn hiệu ứng khối, tức là bán kính virut đủ nhỏ và không khác nhiều so với bán kính virut đã rút lõi thì hai loại virut phản ứng như nhau. Nói cách khác sự có mặt của các điện tích trong lõi không làm thay đổi các tính chất điện động và tĩnh điện của virut.