2 Nghiệm suy rộng của phương trình ellipti cá tuyến tính cấp ha
2.8Tính giải được của bài toán Dirichlet
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu vấn đề về tính giải được của bài toán Dirichlet đối với các phương trình dạng
Lu≡ d
dxi(ai(x, u, ux)) +a(x, u, ux) = 0 (2.34) trong một miền túy ý Ω.
Các nghiệm của phương trình (2.34) mà chúng ta đang tìm phải thỏa trên biên S của miền Ω điều kiện sau
Xét bài toán L0u≡ n X i=1 ∂ ∂xi |∂u ∂xi|m−2 ∂u ∂xi = 0 (2.35) u|S = 0 hệ số,˚ai =|∂u ∂xi|m−2∂u ∂xi, ˚a = 0
Bài toán (2.35) được chỉ ra là luôn tồn tại hữu hạn nghiệm. Xét phương trình
Lτu≡ (1−τ)L0u+τ Lu, τ ∈[0,1]
Ở đây,
ai(x, u, ux, τ) = (1−τ)˚ai+τ ai a(x, u, ux, τ) =τ a
Tương ứng bài toán Dirichlet
Lτ(u) = 0 (2.36)
u|S =τ ϕ|S, τ ∈[0,1]
Ta sẽ chứng minh bài toán (2.36) có nghiệm với mọi τ ∈[0,1].
Việc chỉ ra điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (2.36) dựa vào nguyên lý Leray-Schauder.
Trong Leray-Schauder, trước hết ta đi xây dựng ánh xạ Φ(v, τ). Xét bài toán tuyến tính
∂ai(x, v, vx, τ)
với A(x, v, vx, τ) =a(x, v, vx, τ) + ∂ai(x, v, vx, τ)
∂v vxj + ∂ai(x, v, vx, τ)
∂xj , Tìm ánh xạ Φ(v, τ) bằng cách từ một hàm v(x) đã biết ta đi tìm w(x) là nghiệm của phương trình (2.37).
Tìm w(x) bằng cách giải bài toán Dirichlet cho phương trình (2.37).
Bài toán tuyến tính (2.37) đã được chỉ ra là có tồn tại nghiệm. ( Theo chương 3 của [1] )
Nó xác định một toán tử phi tuyến
Φ(v, τ) =w(x),
Các điểm bất động tương ứng với ánh xạ Φ(v, τ) là các nghiệm của bài toán (2.36). Bài toán (2.36)tương đương với việc xác định nghiệm của phương trình
u= Φ(v, τ). (2.38)
Các Định lý 2.4.1 và 2.6.1 chứng tỏ rằng, đối với các chặn tiên nghiệm như vậy cho u(x, τ), chúng ta cần yêu cầu rằng các hàm ai(x, u, p, τ) và a(x, u, p, τ)
thỏa các bất đẳng thức sau cho x∈Ω¯,|u| ≤M, τ ∈[0,1] và p tùy ý:
ν(1 +|p|2)m2−2 n X i=1 ξi2 ≤ ∂ai(x, v, p, τ) ∂pj ξiξj ≤ µ(1 +|p|2)m−22 n X i=1 ξi2, |a(x, v, p, τ)|+ |∂ai ∂u|+|ai| (1 +|p|2)12 +|∂ai ∂xj| ≤ µ(1 +|p|2)m2 (2.39) ở đây µ và ν là các hằng số dương và m > 1. Khi các điều kiện này được thỏa mãn, theo các Định lý 2.4.1 và 2.6.1 chúng ta có
max Ω |∇u(x, τ)| ≤M1, n X i=1 |uxi|β,Ω ≤M2, (2.40) ở đây các hằng số M1, M2 và β chỉ được xác định bởi các đại lượng n, M, m, ν và µ trong (2.39).
Định lý 2.8.1. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(a) Với x ∈ Ω¯,|u| ≤ M, τ ∈ [0,1] và p tùy ý, các hàm ai(x, u, p, τ) và
a(x, u, p, τ) đo được và các hàm ai(x, u, p, τ) là khả vi theo x, u, p và chúng thỏa các bất đẳng thức (2.39).
(b) Với x ∈ Ω¯,|u| ≤ M, τ ∈ [0,1] và |p| ≤ M1 (với M1 là hằng số trong
(2.40)), được xác định bởi Định lý 2.4.1), các hàm ai, ∂ai ∂pj, ∂ai ∂u, ∂ai ∂xj, và a
là liên tục theo x, u, p và τ, đồng thời thỏa mãn điều kiện Holder theo x, u, p với mũ α > 0 đều theo τ ∈[0,1]. (c) Các hàm ai(x, u, p, τ), a(x, u, p, τ) và ∂ai ∂pj, ∂ai ∂u, ∂ai ∂xj
với tư cách là các hàm của C0,α{x ∈ Ω¯,|u| ≤ M,|p| ≤ M1} là liên tục đều theo tham số τ ∈[0,1].
(d) S ∈C2,α( ¯Ω) và ϕ ∈C2,α( ¯Ω).
Các điều kiện này đảm bảo cho các đánh giá tiên nghiệm bên trên áp dụng được.
Nguyên lý Leray- Shauder
Chọn không gian Banach H =C1,β( ¯Ω)
Chọn M ⊂ H
Ánh xạ Φτ :M −→ M
v ∈ M 7−→w = Φ(v, τ) ∈M w(x) = Φ(v, τ)∈ C2,α( ¯Ω)
Khi đó,
(1) (2) Φ(v, τ) là hoàn toàn liên tục, là liên tục đều trên M¯1 (3) Ta mở rộngmax Ω |v(x)| ≤M+ε, max Ω |∇u(x, τ)| ≤M1+ε, n P i=1 |uxi|β,Ω ≤ M2+ε
với ε >0, khi đó biên của M không chứa nghiệm của phương trình (2.38). (4) Với τ = 0 bài toán (2.35) luôn có hữu hạn nghiệm
Ánh xạ Φ(v, τ) thỏa mãn các điều kiện của định lý Ledray - Shauder.
Do đó, Theo Nguyên lý Leray- Shauder Bài toán (2.36) có ít nhất một nghiệm u(x, τ) ∈C2,α( ¯Ω) với mọi τ ∈[0,1].
Kết luận
Luận văn đã trình bày các nghiên cứu về phương trình elliptic cấp hai, đặc biệt là lớp các phương trình á tuyến tính dạng bảo toàn.
Chương 1, chuẩn bị các kiến thức cơ bản về các không gian Banach, cụ thể là, không gian Sobolev , không gian Holder, không gian Bm(Ω, M, γ, δ,1q), Định lý Leray-Schauder và các kết quả cần thiết để làm cơ sở cho việc phát triển trong chương 2.
Chương 2, trình bày các kết quả về tính giải được (địa phương) của phương trình elliptic á tuyến tính dạng bảo toàn. Các kết quả được lần lượt trình bầy ở mục 2.1 đến 2.7, với các định lý về tính duy nhất nghiệm trong miền đủ nhỏ, các đánh giá về độ biến thiên của nghiệm bên trong miền và trên biên của miền
Ω. Bên cạnh đó, luận văn cũng đưa ra các đánh giá đối với đạo hàm cấp cao hơn của nghiệm, từ đó dẫn đến tính giải được của bài toán.
Luận văn đã trình bày những lí thuyết và kết quả quan trọng nhất về phương trình á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. Tuy nhiên, có một số kết quả vẫn chưa được đề cập hết trong luận văn. Điều này, một phần vì lượng tri thức về phương trình á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn là khá lớn, mà khả năng của em thì có hạn. Phần nữa, để đảm bảo tính ngắn gọn, súc tích của luận văn, em chỉ chọn lựa trình bày những vấn đề quan trọng và các kết quả nổi bật nhất. Mặc dù đã cố gắng hết sức, luận văn vẫn có thể còn nhiều sai sót. Em rất mong
Tài liệu tham khảo
[1] Ladyzhenskaya, Olga A. and Ural’tseva, Nina N, (1968) Linear and quasilinear elliptic equations. Academic Press, New York and London. [2] Leray J. and Schauder J. Topologie et equations fonctionnelles. Ann. Ec.
N. Sup., 51, 45-78 (1934).
[3] Ladyzhenskaya, O. A. and N. N. Ural’tseva. The variational problems and quasilinear elliptic equations with several independent variables. Doklady Akad. Nauk, USSR, 135, No.6, 1330-1334 (1960).
[4] Ladyzhenskaya, O. A. and N. N. Ural’tseva. Quasilinear elliptic equations variational problems with several independent variables. Upekhi matematicheskikh nauk, XVI, No.1 (97), 19-90 (1961).
[5] Ural’tseva, N. N. The regularity of solutions of many-dimensional elliptic equations and variational problems. Doklady Akad. Nauk, USSR, 130, No.6, 1206-1209 (1960).
[6] Sobolev, S. L. Applications of functional analysis in mathematical physics. Providence, Rhore Island, American Mathematical Society (1963).
[7] Smirnov, V. I. A course of higher mathematics. Vol 5, Reading, Mass., Addison and Wesley (1964).