2 Các phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ các dạng
2.5 Lời giải một số bài tập liên quan
Trong mục này chúng ta giả sử a, b, c ∈ Z, abc khác không và abc không có ước chính phương.
Bài tập 1: ( xem [2, Ex 1, trang 164]) Cho p là một số nguyên tố. Gọi (x0, y0, z0) là một bộ ba p−tập trung nếu nhiều nhất một trong các thành phần
x0, y0, z0 chia hết cho p. Chỉ ra rằng bất kì nghiệm nguyên thủy của phương trình
aX2+bY2+cZ2 ≡ 0 (mod p2) (2.18)
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng tồn tại nghiệm nguyên thủy (x0, y0, z0) của phương trình (2.18) không là p−tập trung, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p|x0, p| y0. Khi đó từ phương trình (2.18) suy ra
cz0 ≡ 0 (mod p2)
doabc không có ước chính phương, suy ra ckhông có ước chính phương, mà plà số nguyên tố nên p|z0, điều này mâu thuẫn với điều kiện (x0, y0, z0) là nghiệm nguyên thủy.
Bài tập 2: (xem [2, Ex 2, trang 5]) Cho p| a và phương trình
aX2+bY2+cZ2 ≡ 0 (mod p) (2.19)
có nghiệm p-tập trung. Chứng minh rằng −bc là một bình phương modulo
p. Từ đó suy ra nếu aX2 +bY2+cZ2 ≡ 0 modulo p có nghiệm p-tập trung với mọi p| a, thì −bc là bình phương modulo |a|.
Chứng minh. Giả sử (x, y, z) là nghiệmp-tập trung của phương trình (2.19), suy ra y hoặc z khả nghịch modulo p. Giả sử y khả nghịch ta có
aX2 +bY2+cZ2 ≡ 0 (mod p)
⇒ by2+cz2 ≡ 0 (mod p)
⇒ by2 ≡ 0−cz2 (mod p)
⇒ −bc ≡ (czy)2 (mod p),
hay −bc là bình phương modulo p.
Vì abc không có ước chính phương nên giả sử |a| =p1. . . pn với pi là các số nguyên tố phân biệt. Chứng minh tương tự như trên suy ra −bc là bình phương modulo pi. Áp dụng Định lý thặng dư Trung Hoa (Z/|a|Z ∼= Qn
i=1Z/piZ), suy ra −bc là bình phương modulo |a|.
Nhắc lại định lý Legendre:
Cho a, b, clà các số nguyên khác không, không có ước chính phương, nguyên tố cùng nhau từng đôi một và không cùng dấu. Khi đó phương trình
aX2+bY2+cZ2 = 0 (2.20)
−bc là bình phương modulo a.
−ac là bình phương modulo b.
−ab là bình phương modulo c.
Ta sẽ dùng kết quả này để chứng minh bài tập sau.
Bài tập 3: (xem [2, Ex 3, trang 614]) Nếu phương trìnhaX2+bY2+cZ2 = 0 modulo p có nghiệm p−tập trung với mọi số nguyên tố lẻ p | abc, và phương trình aX2+bY2 +cZ2 = 0 có nghiệm không tầm thường trong R thì phương trình aX2+bY2+cZ2 = 0 có nghiệm nguyên không tầm thường.
Chứng minh. Áp dụng chứng minh tương tự trong Bài tập 2 ta suy ra−bclà bình phương moduloa, −ac là bình phương modulob, −ablà bình phương moduloc. Mặt khác phương trìnhaX2+bY2+cZ2 = 0 có nghiệm trongRnêna, b, c không cùng dấu. Áp dụng Định lý Legendre suy ra phương trìnhaX2+bY2+cZ2 = 0 có nghiệm nguyên không tầm thường.
Bài tập 4:(xem [2, Ex 4, trang 614]) Từ Định lý Legendre hãy suy ra nguyên lý Hasse đối với phương trình aX2+bY2+cZ2 = 0.
Chứng minh. Ta có thể giả sử a, b, c không có ước chính phương và do phương trình là thuần nhất nên có thể giả sử a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau. Từ Mệnh đề 1.1.6 ta chỉ cần chứng minh: Nếu phương trình
aX2+bY2+cZ2 = 0 (mod pm)
có nghiệm nguyên nguyên thủy (x, y, z) với mọi lũy thừa pm của số nguyên tốp
tùy ý, phương trình có nghiệm thực, thì có nghiệm nguyên không tầm thường. Vì phương trình có nghiệm thực không tầm thường nên a, b, c không cùng dấu Với m = 2, giả sử p | a. Từ Bài tập 1 suy ra mọi nghiệm nguyên thủy (x, y, z) của phương trình
aX2+bY2+cZ2 = 0 (mod p2)
đều là p−tập trung. Mặt khác (x, y, z) cũng là nghiệmp−tập trung của phương trình aX2 +bY2 +cZ2 = 0 (mod p). Từ Bài tập 2 suy ra −bc là bình phương modulo a. Chứng minh tương tự suy ra −ac là bình phương modulo b, −ab là bình phương modulo c. Vậy cùng với điều kiện a, b, c không cùng dấu áp dụng Định lý Legendre suy ra phương trình có nghiệm nguyên không tầm thường.
Bài tập 5 (xem [2, trang 619]) Chứng minh hệ u2+ 3w2 = 7z2, uw =v2. (2.21)
có nghiệm (u, v, w, z) = (1,1,1,2) modulo 2 (thậm chí modulo 23) nhưng không có nghiệm nguyên thủy modulo 24, nói riêng C(Q2 =∅).
Chứng minh. Xét modulo 16, giả sử (u, v, w, z) là một nghiệm nguyên thủy, một số chính phương nhận các giá trị 0,1,4,9 modulo 16.
Mặt khác vì (u, v, w, z) là một nghiệm nguyên thủy, nên u, w không đồng thời chẵn.
Trường hợp 1: u2 ≡0 (mod 16)⇒ w2 ≡ 1 hoặc 9 (mod 16) ⇒ u2+ 3w2 ≡3 hoặc 27 (mod 16) không có dạng 7z2 (mod 16).
Trường hợp 2: u2 ≡ 1 (mod 16) ⇒ w2 ≡ 0,1,4,9 (mod 16) ⇒ u2 + 3w2 = 1 + 3w2 ∈ {1,4,13,28}modulo 16. Nhận thấy 7z2 ∈ {0,7,12,15} modulo 16⇒
loại.
Trường hợp 3: u2 ≡ 4 (mod 16)⇒ w2 ≡ 1 hoặc 9⇒ u2+ 3w2 ≡7 hoặc 15 (mod 16). Từu2+ 3w2 = 7z2 kéo theo u2+ 3w2 = 7 hoặc u2+ 3w2 = 15 modulo 16
Trường hợp 3a: u2+ 3w2 ≡7⇒ u2 = 4, w = 1⇒ uchẵn,wlẻ⇒ uw 6=v2 ⇒
mâu thuẫn ⇒ loại.
Trường hợp 3b: u2 + 3w2 ≡ 15 (mod 16) ⇒ u2 ≡ 4, w2 ≡ 9, z2 ≡ 9 (mod 16) ⇒ u2w2 ≡ 4.9 ≡ 4 (mod 16) ⇒ v4 ≡ 4 (mod 16). Điều này vô lý vì v2 ≡0,1,4,9 (mod 16)⇒ v4 ≡ 0,1 (mod 16)⇒ loại.
Trường hợp 4:u2 ≡9 (mod 16) ⇒ w2 ∈ {0,1,4,9} ⇒u2+3w2 ≡ {9,12,5,4}
(mod 16). Vì 7z2 ∈ {0,7,12,15}, nênu2+ 3w2 = 7z2 kéo theou2+ 3w2 = 7z2 = 12⇒ u2 = 9, w2 = 1, z2 = 4 modulo 16,⇒ u2w2 ≡9 (mod 16) và uw lẻ.
Mặt khác, uw = v2 lẻ,⇒ uw = 1 hoặc 9 modulo 16 ⇒ u2w2 ≡ 1 (mod 16), mâu thuẫn với u2w2 ≡9 (mod 16) ⇒ đpcm.
Bài tập 6: (xem [2, Ex 5, trang 619]) Xét hệ phương trình: au2+cw2 =dz2, uw = v2, (2.22)
trong đó a, c, d ∈ Z là các số lẻ. Chứng minh rằng: nếu hệ trên có nghiệm nguyên thủy modulo 16, thì hệ có nghiệm (u, v, w, z) với (u, v, w) ∈ {0; 1} và
z ∈ {0; 1; 2; 3}.
Chứng minh. Ta làm việc theo modulo 16. Giả sử (u, v, w, z) là một nghiệm nguyên thủy modulo 16. Vì x2 ≡ 0,1,4,9 (mod 16), nên tùy theo z2 ≡0,1,4,9 (mod 16) ta có (u : v : w : 0),(u: v : w: 1),(u : v : w : 2),(u: v : w : 3) cũng là nghiệm của hệ (2.22) modulo 16, nói cách khác ta có thể giả sử z ∈ {0,1,2,3}
modulo 16.
Vì nghiệm là nguyên thủy, a, c, d lẻ nên u, w không cùng tính chẵn. Vì vai trò của u, w giống nhau, nên ta có thể giả sử (u, w) cùng lẻ hoặc u chẵn, w lẻ.
Trường hợp 1: u, w cùng lẻ ⇒ uw = v2 lẻ ⇒ v lẻ ⇒ v2 nhận giá trị 1,9 modulo 16⇒ u2w2 = 1 ⇒ u2 =w2 = 1 hoặc u2 =w2 = 9.
Trường hợp 1a: u2 = w2 = 1 ⇒ a+ c = dz2 ⇒ ta có thể chọn nghiệm (u, v, w, z) = (1,1,1, z) của hệ (2.22) modulo 16.
Trường hợp 1b: u2 =w2 = 9⇒ 9a+ 9c=dz2 modulo 16. Vì a, clẻ nên a+c
chẵn, suy ra a+c = dz2 (mod 16)⇒ (1,1,1, z) cũng là nghiệm của hệ phương trình (2.22) modulo 16.
Trường hợp 2: u chẵn, w lẻ ⇒ v chẵn ⇒ v2...4 ⇒ u...4 ⇒ nếu (u, v, w, z) là một nghiệm, thì (0,0, w, z) cũng là nghiệm.
Trường hơp 2a: Nếu w2 ≡1, thì (0 : 0 : 1 : z) cũng là nghiệm.
Trường hợp 2b: Nếu w2 ≡9, thì 9c ≡dz2 (mod 16) .
Nếu z = 3 thì 9c ≡ 9d (mod 16) ⇒ c ≡ d ⇒ (u, v, w, z) = (0,0,1,1) cũng là nghiệm.
Nếu z = 1 thì 9c ≡ d (mod 16) ⇒ 81c ≡ 9d (mod 16) ⇒ c ≡ 9d (mod 16) ⇒
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Bách, Một số ứng dụng của lý thuyết trường các lớp, luận văn tốt nghiệp Đại học năm 2017, Trường Đạo học Khoa học Tự nhiên.
[2] Aitken W., Lemmermeyer F., Counterexamples to the Hasse principle.
Amer. Math. Monthly 118 (2011), no. 7, 610–628.
[3] Bright M., Counterexamples to the Hasse principle, đặt tại trang web https://homepages.warwick.ac.uk/ maseap/arith/notes/elementary.pdf [4] Cox D., Primes of the form x2+ny2. John Wiley & Sons, Inc 1989. ISBN
0-471-50654-0.
[5] Iskovskih V. A., A counterexample to the Hasse principle for systems of two quadratic forms in five variables. Mat. Zametki 10 (1971), 253–257.
[6] Lind C.-E., Untersuchungen uber die rationalen Punkte der ebenen kubis- chen Kurven vom Geschlecht Eins, thesis, University of Uppsala, Uppsala, Sweden, 1940
[7] Milne J. S., Algebraic Number Theory, Version 3.06, đặt tại trang web http://www.jmilne.org.
[8] Nguyen Ngoc Dong Quan,Algebraic families of hyperelliptic curves violating the Hasse principle. Pacific J. Math. 274 (2015), no. 1, 141–182.
[9] Reichardt H., Einige im Kleinen ¨uberall l¨osbare, im Großen unl¨osbare dio- phantische Gleichungen. J. Reine Angew. Math. 184 (1942), 12–18.
[10] Selmer E., The Diophantine equation ax3+by3 +cz3 = 0. Acta Math. 85 (1951), 203–362.
[11] Serre J.-P., A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973. viii+115 pp.
[12] Silverman J., The Arithmetic of Elliptic Curves , second Edition. Grandu- ate Texts in Mathematics, No. 106. Springer-Verlag 2009. ISBN 978-0-387- 09493-9.
[13] Nguyen Quoc Thang,A note on the Hasse principle. Acta Arith. 54 (1990), no. 3, 171–184.