Ứng dụng vào bài toán sản xuất điện

Trong phần này, chúng ta xét mô hình cân bằng tối ưu, nó có thể được coi là trường hợp mở rộng của mô hình độc quyền Nash - Cournot trong hệ thống mạng điện. Trong mô hình cân bằng này, ta giả sử rằng có n công ty. Công ty thứ i có I_i đơn vị (m_iy) sản xuất điện. Ký hiệu x là vectơ với các tọa độ là xj là năng lượng sinh ra bởi đơn vị j. Chúng ta giả sử rằng giá điện pi(s) là

hàm affin tăng với s =

N P j=1

x_j, trong đó N là tổng các nhà máy sản xuất điện, pi(s) =α−βis. Khi đó, lợi nhuận của công ty thứ i được tính theo công thức

fi(x) = pi(s)(^X

j∈I_i

xj)−^X

j∈I_i

cj(xj),

trong đóc_j(x_j)là chi phí để sản xuất rax_j của đơn vịj. Giả sử K_i là tập chiến lược của công ty thứ i, tức là điều kiện sau được thỏa mãn với mọi i

X

j∈Ii

x_j ∈ K_i.

Khi đó, tập chiến lược của mô hình là K := K1×K2× · · · ×Kn.

Trên thực tế, mỗi công ty tìm cách tối đa hóa lợi nhuận của mình bằng cách chọn mức sản xuất tương ứng theo giả định rằng việc sản xuất của các công ty khác đều là tham số đầu vào. Cách tiếp cận cho mô hình này là dựa trên khái niệm cân bằng Nash.

Ta nhớ lại rằng điểm x^∗ ∈ K = K1×K2 × · · · ×Kn là điểm cân bằng của mô hình nếu

f_i(x^∗)≥ f_i(x^∗[x_i]) ∀x_i ∈ K_i ∀i= 1,2, . . . , n,

trong đó vectơ x^∗[xi] viết tắt cho vectơ đạt được từ x^∗ bằng cách thay thế x^∗_i với xi. Bằng cách đặt f(x, y) := ψ(x, y)−ψ(y, x) với ψ(x, y) := − n X i=1 fi(x[yi]), (2.27) bài toán tìm điểm cân bằng Nash của mô hình có thể viết biểu thức như sau

Tìm x^∗ ∈K :f(x^∗, x)≥ 0 ∀x∈ K. (EP) Ta mở rộng mô hình cân bằng này bằng cách giả định thêm rằng để sản xuất điện, các đơn vị sản xuất sử dụng m−loại vật liệu. Kí hiệu a_l,j là số lượng của vật liệu thứ l (l = 1, m) để sản xuất một đơn vị điện bởi đơn vị sản xuất thứ j (j = 1, N). ĐặtA là ma trận với các phần tử là al,j. Khi đó, phần tử thứ

l của vectơ Ax là số lượng vật liệu thứ l để sản xuất x. Sử dụng vật liệu để sản xuất có thể gây ô nhiễm môi trường mà các công ty phải trả chi phí môi trường. Giả sử rằng g(Ax) là tổng chi phí môi trường để sản xuất x. Câu hỏi đặt ra bây giờ là tìm x^∗ sao cho đó là điểm cân bằng Nash với tối thiểu hóa chi phí môi trường. Bài toán này có thể biểu diễn như bài toán cân bằng tách như sau

Tìm x^∗ ∈ K : f(x^∗, x)≥ 0 ∀x ∈K, g(Ax^∗)≤ g(Ax) ∀x ∈ K. (SEO) Như thường lệ, ta giả sử rằng với mỗi j, chi phí sản xuất c_j và chi phí môi trườngg là các hàm lồi tăng. Giả thiết lồi ở đây có nghĩa là cả chi phí sản xuất và chi phí môi trường để sản xuất ra một đơn vị điện năng đều tăng lên khi tăng số lượng điện sản xuất ra.

Với giả thiết lồi, không khó để thấy rằng bài toán EP với f được cho bởi công thức (2.27) có thể biểu diễn như sau

Tìm x^∗ ∈K :f(x^∗, x) := B1x^∗−a, x−x^∗+ϕ(x)−ϕ(x^∗)≥0 ∀x ∈ K, (2.28) trong đó a := (α, α, . . . , α)^T, B1 :=       β₁ 0 0 . . . 0 0 β₂ 0 . . . 0 . . . . 0 0 0 . . . β_n       , B1 :=       0 β₁ β₁ . . . β₁ β₂ 0β₂ . . . β₂ . . . . β_n β_n β_n . . . 0       , ϕ(x) := x^TB₁x+ n X j=1 c_j(x_j).

Chú ý rằng khi cj lồi, khả vi với mỗij thì bài toán (2.28) là bất đẳng thức biến phân

Tìm x^∗ ∈ K : ^DB1x^∗−a+Oϕ(x^∗), x−x^∗E≥ 0 ∀x ∈K. (2.29) Tiếp theo, ta xét một ví dụ cụ thể. Giả sử có hai công ty điện lực. Công ty thứ nhất có hai nhà máy sản xuất điện, lần lượt là x₁ và x₂. Công ty thứ hai có một nhà máy sản xuất điện là x3. Hàm chi phí lần lượt là

c2(x2) = x²₂−x2, c3(x3) = x²₃,

trong đó x₁, x₂ ∈ K₁ = [0,10], x₃ ∈ K₂ = [5,15]. Chọn α = 100 và các hệ số giảm giá β_j =β = 0.1, j = 1,3. Khi đó, hàm giá được xác định như sau

p(x1, x2, x3) = 100−0.1(x1+x2+x3). Do đó, lợi nhuận của hai công ty được tính theo công thức

f1(x1, x2, x3) = [100−0.1(x1+x2+x3)](x1+x2)−(2x²₁+x²₂−x2), f₂(x₁, x₂, x₃) = [100−0.1(x₁+x₂+x₃)]x₃ −x²₃.

Giả sử a_1j, j = 1,3 là lượng than để sản xuất một đơn vị điện ở nhà máy thứ j. Đặt

A = ^ha₁₁ a₁₂ a₁₃

i

.

Khi đó, tổng số lượng than cần dùng để sản xuất ra x1+x2+x3 đơn vị điện được xác định bởi biểu thức

Ax =^h_{a11 a12 a13}ⁱ

    x1 x2 x₃     =a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃.

Đặt g(u) := τ u², τ >0 là chi phí môi trường khi dùng một lượng than là u để sản xuất điện. Do đó, tổng chi phí môi trường để sản xuất x= x₁+x₂+x₃ được tính như sau

g(Ax) =τ(a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃)².

Bài toán đặt ra tìm x^∗ ∈ K = K1×K2 ×K3 sao cho

Kết luận

Luận văn này đề cập đến những vấn đề sau:

1. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi và toán tử chiếu trong không gian Hilbert.

2. Tìm hiểu về bài toán cân bằng với lớp các bài toán con và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.

3. Trình bày lại chi tiết về thuật toán và ứng dụng trong thị trường điện của bài toán cân bằng tách.

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Việt Anh,Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội (2018).

[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội (2000).

[3] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dững Mưu, Nguyễn Hữu Điển Nhập môn giải tích ứng dụng, NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (2015).

[4] Hoàng Tụy, Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học (2006).

[5] Đặng Xuân Sơn, Một số phương pháp giải bài toán cân bằng tách suy rộng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội (2018).

[6] Yen, L.H., Muu, L.D., Huyen, N.T.T., An algorithm for a class of split feasibility problems: application to a model in electricity production, Math- ematical Methods of Operations Research (2016).