Từ sự tồn tại một hàm Lyapunov, ta có thể chứng minh rằng tập ω-limit có chứa điểm cân bằng của hệ động lực. Tuy nhiên, trong trường hợp này ta không biết rằng S(t) có liên tục với tôpô yếu * của X hay không. Chúng ta có thể đơn thuần chứng minh khẳng định này với tập L2-ω-limit.
Định lý 2.4.2. TậpL2 -ω(U0)bao gồm các điểm cân bằng của hệ(S(t), K, X)
với mọi U0 ∈ K.
Chứng minh. Trước tiên ta chú ý rằng hàm S(t) : K → X liên tục ứng với tôpô L2 trong X. Thật vậy, tương tự như bước 1 trong phần chứng minh của Mệnh đề 2.3.1, ta có thể thiết lập được bất đẳng thức kS(t)U0−S(t) ˜U0kL2 ≤CT ,RkU0−U˜0kL2 với 0 < t < τ; U0,U˜0 ∈ K thỏa mãn kU0kL 2 + ˜ U0 L2 ≤ R. Lấy U ∈
L2−w(U0). Khi đó, tồn tại dãy {tn} → +∞ sao cho S(tn)U0 = U(tn) →U trong L2. Vì kAU(t, U0)k ≤ (1 + t−1)p0(kU0k) nên ta có thể lấy dãy con
{w(tn0)} ⊂ {w(tn)} sao cho w(tn0)→w0 trong H1(Ω). Vậy w = w0. Khi đó ta có : u(tn) → u, v(tn) → v trong Lp với 2 ≤ p < ∞. Do đó Ψ(U(tn0)) → Ψ(U) (tn0 → ∞), tức là Ψ(U(tn0))→Ψ(U) (tn0 → ∞), Ψ(U) = lim n→∞Ψ(U(tn0)) = inf 0≤t<∞Ψ(S(t)U0) = Ψ∞. Từ đó ta thấy rằng với mỗi U ∈L2 −w(U0) thì ta có Ψ(U) = Ψ∞.
Ta sẽ chỉ ra rằng S(t)U ∈L2−w(U0), ∀U ∈L2−w(U0), ∀t ∈(0,+∞). Thật vậy, vì S(tn)U0 L2 → U nên ta có S(t+tn)U0 = S(t)S(tn)U0 L2 → S(t)U. Từ đó suy ra S(t)U ∈L2−w(U0). Nếu U ∈ L2−w(U0) thì U(t) = S(t)U ∈L2−w(U0), ∀t≥ 0. Do đó Ψ(U(t)) = Ψ∞, d dtΨ(U(t)) ≡0. Từ đó suy ra ∂v(t) ∂t = ∂ψ(t) ∂t ≡ 0.
Mặt khác từ phương trình của v ta suy ra f u(t)≡ hv(t). Từ đó ta có ∂v(t)
∂t ≡0 và du(t)
dt ≡0, 0< t < ∞. Vậy U là điểm cân bằng của hệ (S(t), K, X).
KẾT LUẬN
Nội dung của luận văn này là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hình động học rừng (2.1) mô tả sự phát triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái sinh. Luận văn đã trình bày những nội dung chính sau:
1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian hàm có trọng, không gian Sobolev, các kết quả cùng một số định lý liên quan tới phương trình phương trình tiến hóa tuyến tính và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
2. Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục của mô hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet.
3. Xây dựng hàm Lyapunov của hệ động lực sinh bởi (2.1) và các tập ω−
limit.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Ya. Antonovsky, M. D. Korzukhin, Mathematical modeling of eco- nomic and process ecological-economic, Proc. International Symp. "In- tergrated Global Monitoring of Environmental Pollution", Tbilisi 1981, Leningrad: Hydromet, 1983, 353-358.
[2] D. B. Botkin, J. F. Janak, Some ecological consequences of a computer model of forest growth, J. Ecol. 60 (1972), 849-872.
[3] L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinetic model, Adv. Math. Sci. Appl. 16 (2006), 393-409.
[4] Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Biktashev and A. Aponina,
A cross-diffusion model of forest boundary dynamics, J.Math. Biol. 32 (1994), 219-232.
[5] T. Shirai, L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinematic model under Dirichlet conditions, Sci. Math. Jpn, 66 (2007), 289-301. [6] A. Yagi, Abtract Parabolic Evolution Equations and their Applications,