Trong phần này, trình bày chứng minh theo tài liệu [9] rằng bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh luôn tồn tại một nghiệm và đó là nghiệm duy nhấtcủa bái toán.
Bổ đề 1.2.1. Giả sửK là một tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H. Cho F : K →H là một toán tử sao cho F(∗),y− ∗
là nửa liên tục trên với mỗi
y∈K . Giả sử
∃tập compăc W :∀x∈K\W, ∃y∈K :F(x),y−x<0.
Thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm.
Mệnh đề 1.2.5. Giả sử F làβ−giả đơn điệu mạnh trên K. NếuF(∗),y− ∗
là nửa liên tục trên với mỗi y∈K thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm duy nhất.
Chứng minh.Giả sửK không bị chặn. Theo Bổ đề (1.2.1) ta có:
∃hình cầu đóngB:∀x∈K\B, ∃y∈K∩B:F(x),y−x<0. (1.6) Thật vậy, nếu không, với mọi hình cầu đóng Br tâm O, bán kínhr, tồn tạixr∈K\Br sao choF(xr),y0−x≥0, ∀y∈K∩Br.
Cố định r0 > 0, thì với mọi r > r0, tồn tại xr ∈ K\Br sao cho F(xr),y0−xr ≥
0, vớiy0∈K∩Br0.Do đó, vìF làβ−giả đơn điệu mạnh, ta có:
F(y0),xr−y0+β||xr−y0||2 ≤0∀r. (1.7) Mặt khác, do tập K lồi và F(y0),∗ −y0 lồi trênK, vớiεr:= 1
r tồn tại x0 ∈K sao cho ∂2εrF(y0),x0−y06= /0, trong đó ∂2εrF(y0),x0−y0 là viết tắt củaεr-khả dưới vi phân của hàm lồi F(y0),∗ −y0 tạix0. Lấy w∗ ∈∂2εrF(y0),x0−y0, theo định nghĩa củaεr-khả dưới vi phân ta có:
F(y0),x−y0+1
r ≥
w∗,x−x0+F(y0),x0−y0∀x. Thayx=xr ta thu được
F(y0),xr−y0+β||xr−y0||2+1 r ≥ F(y0),x0−y0+w∗,xr−x0+β||xr−y0||2 ≥ F(y0),x0−y0− ||w∗|| ||xr−x0||+β||xr−y0||2.
Chor→∞, từ đó||xr|| →∞, suy raF(y0),xr−y0+β||xr−y0||2 →∞mâu thuẫn với (1.7). Do đó, điều kiện bức(1.6)phải đúng. Theo Bổ để 1.2.1, bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) thừa nhận một nghiệm.
Trong trường hợpK bị chặn, mệnh đề là một hệ quả của Định lý Ky Fan.[5] Tính duy nhất nghiệm được suy luận trực tiếp từ Mệnh đề 1.2.1.
Chương 2
Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh
Chương này, trình bày các thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnhV I(K,F). Phần đầu, trình bày thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường (mỗi bước lặp có hai lần chiếu) với độ dài bước được lấy từ một khoảng đóng của các số thực dương, không yêu cầu phụ thuộc vào hằng số Lipschitz. Dãy lặp tổng quát thu được từ thuật toán này hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.
Phần sau, trình bày thuật toán chiếu cơ bản cải biên (mỗi bước lặp chỉ có một lần chiếu) với độ dài bước được lấy tùy ý từ một khoảng đóng cố định của các số thực dương. Trình bày chứng minh dãy lặp tổng quát thu được từ thuật toán này hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán. Phương pháp này đòi hỏi hằng số Lipschitz và môđun của giả đơn điệu mạnh trong việc lựa chọn khoảng đóng cố định chứa độ dài bước. Nội dung chủ yếu của chương được trích dẫn từ tài liệu [7], [8].
Đề tiện cho việc theo dõi, em xin phát biểu lại bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu manh như sau:
Định nghĩa 2.0.6. ChoK⊂H là một tập đóng, khác rỗng,F:K→H là toán tử giả đơn điệu mạnh trên K. Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh là bài toán
Tìmx∗∈K sao choF(x∗),y−x∗≥0, ∀y∈K. (VI)
Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu là VI(K, F).