Tính hyperbolic Gromov của miền giả lồi chặt

2 Chương : Tính hyperbolic Gromov và metric Kobayash

2.2 Tính hyperbolic Gromov của miền giả lồi chặt

Một tập A trong không gian metric X được gọi là k-cobounded với k ≥0

nếu mọi điểm x ∈ X có khoảng cách k từ A. Nếu A là k-cobounded với mọi

k ≥0, ta nói A là cobounded. Ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2.1. [1] Cho f :X →Y là một ánh xạ (không cần thiết phải liên tục) giữa hai không gian metric X và Y và các hằng số k ≥ 0, λ ≥ 1. Giả sử f(X) là k-cobounded trong Y.

• Ta nói f là một k-đẳng cự thô nếu

|x−y| −k ≤ |f(x)−f(y)| ≤ |x−y|+k, (2.41) với mọi x, y ∈ X.

• Ta nói f là một (λ, k)−đồng dạng thô nếu

λ|x−y| −k ≤ |f(x)−f(y)| ≤ λ|x−y|+k,

• Ta nói f là một (λ, k)−tựa đẳng cự tho nếu

(1/λ)|x−y| −k ≤ |f(x)−f(y)| ≤λ|x−y|+k,

với mọi x, y ∈ X.

Định nghĩa 2.2.2. [1] Cho f : X → Y là một song ánh giữa các không gian metric X, Y. Giả sử λ ≥ 1, α > 0 là các hằng số,

• Ta nói f là λ−song Lipschitz nếu

(1/λ)|x−y| ≤ |f(x)−f(y)| ≤ λ|x−y|,

với mọi x, y ∈ X.

• Ta nói f là một (α, λ)−snowflake nếu

(1/λ)|x−y|α ≤ |f(x)−f(y)| ≤ λ|x−y|α,

với mọi x, y ∈ X.

• Ta nói f là một (α, λ)−tựa đối xứng có bậc nếu với các điểm phân biệt

x, y, z ∈ X, thì |f(x)−f(z)| |f(x)−f(y)| ≤ ηα,λ |x−z| |y−z| , ở đây ta kí hiệu ηα,λ(t) = λt1/α nếu 0< t < 1, λtα nếu t≥ 1.

Cho một không gian hyperbolic Gromov X, ta có thể định nghĩa một tập biên ∂GX như sau:

Cố định một điểm cơ sở w ∈ X. Một dãy (xi) trong X được nói là hội tụ tại vô cùng nếu

lim

i,j→∞(xi, xj)w = ∞.

Hai dãy (xi) và (yi) hội tụ tại vô cùng được gọi là tương đương nếu

lim

i→∞(xi, yi)w = ∞.

Khái niệm này không phụ thuộc vào việc chọn điểm cơ sở. Tập biên ∂GX

Với a, b ∈ ∂GX và w ∈ X, ta định nghĩa

(a, b)w = sup lim

i→∞inf(xi, yi)w ∈ (0,∞],

trong đó supremum được lấy trên tất cả các dãy (xi) và (yi) tương ứng với hai điểm biên phân biệt a, b.

Biên ∂GX mang một lớp chính tắc các metric. Với metric d bất kì thuộc lớp này, tồn tại ε > 0 và w ∈ X sao cho

d(a, b) exp(−ε(a, b)w), với a, b ∈ ∂GX. (2.42) Ở đây ta viết f g giữa hai hàm nếu tồn tại một hằng số C ≥ 1 sao cho

(1/C)f ≤ g ≤Cf.

Hai metric bất kì d1 và d2 trong lớp chính tắc là tương đương snowflake, tức là ánh xạ đồng nhất

id : (∂GX, d1) → (∂GX, d2),

là một ánh xạ snowflake.

Ta có thể định nghĩa một tôpô trên X ∪∂GX mà xác định compact hóa của không gian tôpô X. Tôpô này hạn chế trên ∂GX giống với tôpô xác định bởi lớp các metric chính tắc trên biên này.

Mối quan hệ giữa các ánh xạ trong hai định nghĩa trên khi xét trên các không gian hyperbolic Gromov được thể hiện trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2.3. [6] Giả sử f : X → Y là một tựa đẳng cự tho giữa các không gian hyperbolic Gromov X và Y. Khi đó f cảm sinh bởi một ánh xạ tựa đối xứng có bậc

∼

f : ∂GX → ∂GY. Nếu f là một đồng dạng thô thì

∼

f là một ánh xạ snowflake. Nếu f là một đẳng cự thô và các biên ∂GX và ∂GY được trang bị các metric thỏa mãn bất đẳng thức (2.42) với ε > 0, thì

∼

f là song Lipschitz.

Từ Hệ quả 2.1.9 ta suy ra được tính hyperbolic Gromov của các miền giả lồi chặt khi trang bị khoảng cách Kobayashi. Ta có định lý sau:

Định lý 2.2.4. [1] Cho Ω ∈ Cn, n≥ 2 là một miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C2. Nếu dK là khoảng cách Kobayashi trên Ω, thì không gian metric (Ω, dK) là hyperbolic theo nghĩa Gromov. Biên ∂GΩ của (Ω, dK) như một không gian hyperbolic Gromov có thể được đồng nhất với biên Euclid ∂Ω. Metric Carnot-Carathéodory dH trên ∂Ω nằm trong lớp chính tắc của các metric tương đương snowflake trên ∂GΩ.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh (Ω, dK) là hyperbolic Gromov. Giả sử, ta có các sốrij > 0sao chorij = rji vàrij ≤ rik+rkj vớii, j, k ∈ {1,2,3,4}. Khi đó

r12r34 ≤4((r13r24)∨(r14r23)).

Để thấy điều này ta có thể giả sử rằng r13 là số nhỏ nhất trong các số

rij xuất hiện bên vế phải của bất đẳng thức này. Khi đó

r12 ≤ r13 +r32 ≤ 2r23

và

r34 ≤ r31 +r14 ≤ 2r14,

suy ra ta có bất đẳng thức trên.

Bây giờ choxi, i∈ {1,2,3,4}là bốn điểm tùy ý trongΩ, và gọipi = π(xi)

là hình chiếu của chúng lên biên và hi = δ(xi)1/2 là chiều cao của chúng. Đặt dij = dH(pi, pj) và rij = dij +hi∨hj. Khi đó (d1,2 + h1 ∨h2)(d3,4 +h3 ∨ h4) ≤4((d1,3 +h1 ∨h3)(d2,4 +h2 ∨h4))∨ ((d1,4 +h1 ∨h4)(d2,3 +h2 ∨h3)).

Theo Hệ quả 2.1.9, công thức trên trở thành

dK(x1, x2) + dK(x3, x4) ≤ (dK(x1, x3)

+dK(x2, x4))∨(dK(x1, x4) +dK(x2, x3)) +C,

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào các điểm. Vì vậy ta suy ra

(Ω, dK) là một không gian hyperbolic Gromov .

Từ định nghĩa và Hệ quả 2.1.9 ta suy ra một dãy (xi) trong (Ω, dK) hội tụ tại vô cùng nếu và chỉ nếu dãy (π(xi)) hội tụ và h(xi) → 0 khi i → ∞. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu (xi) hội tụ (đối với metric Euclid) đến một điểm trên ∂Ω. Hơn nữa hai dãy hội tụ tại vô cùng gọi là tương đương nếu và chỉ nếu các điểm giới hạn của chúng trên ∂Ω là giống nhau. Mỗi điểm thuộc

∂Ω xem như một điểm giới hạn của một dãy nào đó hội tụ tại vô cùng. Cho ứng mỗi lớp tương đương của các dãy trong Ω hội tụ tại vô cùng với điểm giới hạn duy nhất của mỗi dãy trong lớp đó, chúng ta có thể đồng nhất biên Gromov ∂Ω với biên Euclid (như các tập hợp).

Định nghĩa của tích Gromov cho các điểm biên và Hệ quả 2.1.9 chỉ ra rằng, nếu chọn bất kì một điểm cơ sở w ∈ Ω, ta có

dH(a, b) exp(−(a, b)w),với a, b ∈ ∂Ω. (2.43) Điều này chỉ ra rằng, metric Carnot-Carathéodory dH nằm trong lớp chính tắc của các metric tương đương snowflake trên ∂GΩ =∂Ω.

Sau đây là một ví dụ về một lớp của các miền giả lồi mà không là hyperbolic Gromov với metric Kobayashi.

Mệnh đề 2.2.5. Cho Ω1 ⊆ Cn1,Ω2 ⊆ Cn2, n1, n2 ≥ 2, là các miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C2. Khi đó miền tích Ω := Ω1×Ω2 ⊆ Cn1+n2

được trang bị khoảng cách Kobayashi sẽ không là hyperbolic Gromov .

Chứng minh. Ta gọid, d1, d2 lần lượt là khoảng cách Kobayashi trênΩ,Ω1,Ω2. Sử dụng công thức ([17],p.107).

d((x1, y1),(x2, y2)) = max{d1(x1, x2), d2(y1, y2)}. (2.44) Giả sử rằng (Ω, d)là một không gian hyperbolic Gromov. Ta có công thức (1.3) đạt được với với δ >0. Gán k := 3 + 2δ và chọn hai điểm x1, x2 ∈ Ω1 sao cho d1(x1, x2) = 2k. Chọn điểm thứ ba x3 ∈ Ω1 sao cho

k ≤ d1(x1, x3) ≤ d1(x3, x2) ≤k + 1. (2.45) Cố địnhy1 ∈ Ω2 và xét ba điểmx = (x1, y1), y = (x2, y1), p = (x3, y1) ∈ Ω.

Sử dụng (2.44) và (2.45) chúng ta có thể thấy rằng tích Gromov (x | y)p thỏa mãn (x | y)p ≤ 1. Chọn điểm thứ tư z ∈ Ω, z = (x3, y2), trong đó

y2 ∈ Ω2 sao cho d2(y1, y2) = 2k. Sử dụng (2.44), ta có

d(z, p) = d(z, x) = d(z, y) = 2k.

Từ đó lấy tương ứng các tích Gromov, ta nhận được

(z | x)p = 1 2d(x, p) ≥ k 2 và (z | y)p = 1 2d(y, p) ≥ k 2. (2.46) Theo công thức (1.3): (x | y)p ≥ (x | z)p∧(z | y)p−δ = k 2 −δ = 3 2.

Theo Định lý 2.2.4, ta có thể áp dụng kết quả tổng quát cho trường hợp không gian metric của ta là các miền giả lồi chặt được trang bị hàm khoảng cách Kobayashi. Từ đây ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.2.6. [1] Cho Ω1,Ω2 ⊆Cn, n ≥ 2 là các miền giả lồi chặt bị chặn với biên trơn lớp C2. Cho f : Ω1 → Ω2 là ánh xạ liên tục và là tựa đẳng cự tho đối với hàm khoảng cách Kobayashi trên các miền này. Khi đó f có mở rộng liên tục f : Ω1 →Ω2 sao cho ánh xạ cảm sinh lên biên

∼

f := f|∂Ω1 : ∂Ω1 → ∂Ω2,

là tựa đối xứng có bậc đối với metric Canot-Carathéodory. Hơn nữa, nếu f là đồng dạng thô thì

∼

f là ánh xạ snowflake, nếu f là một đẳng cự thô thì

∼

f là song Lipschitz.

Đối với trường hợp của các ánh xạ riêng, chúng ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.2.7. [1] Cho Ω1,Ω2 ⊆C2, n ≥2 là miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C2, và cho f : Ω1 →Ω2 là ánh xạ chỉnh hình riêng. Khi đó f mở rộng liên tục đến ánh xạ f : Ω1 → Ω2 với f(∂Ω1) ⊆ ∂Ω2. Ánh xạ cảm

sinh ∼

f := f|∂Ω1 : ∂Ω1 → ∂Ω2,

là một ánh xạ Lipschitz nếu ta trang bị các metric Carnot-Carathéodory lên biên của các miền.

Chứng minh. Cho f : Ω1 → Ω2 là một ánh xạ chỉnh hình riêng. Với

i ∈ {1,2}, đặt

δi(x) = dist(x, ∂Ωi), với mọi x ∈ Cn.

Giả sử Ki là metric Kobayashi trên Ωi và di là hàm khoảng cách liên kết với Ki, và gọi diH là metric Carnot-Carathéodory trên ∂Ωi. Khi đó với mọi

x ∈ Ω1 và z ∈ Cn ta có

K2(f(x);Df(x)z) ≤K1(x, z).

Ở đây Df(x) là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ f tại x. Điều này suy ra, với mọi x, y ∈ Ω1, ta có

Do f là ánh xạ riêng nên tồn tại một hằng số C1 ≥ 1sao cho mọix ∈ Ω1, ta có

(1/C1)δ1(x) ≤δ2(f(x)) ≤ C1δ1(x). (2.48) Từ Hệ quả 2.1.9 và các bất đẳng thức (2.47) và (2.48) chúng ta kết luận được rằng tồn tại một hằng số C2 ≥ 0 sao cho mọi x, y ∈ Ω1 ta có

d2H(π(f(x)), π(f(y))) ≤ C2(d1H(π(x), π(y))

+δ1(x)1/2 ∨δ2(y)1/2). (2.49)

Từ (2.48) và (2.49) ta thấy với mỗi dãy bất kì thuộc Ω1 hội tụ đến điểm nào đó trong ∂Ω1, thì ảnh của nó qua f hội tu đến một điểm trong ∂Ω2. Hơn nữa dãy ảnh của hai dãy trong Ω1 hội tụ đến cùng một điểm biên trong

∂Ω1, hội tụ đến cùng một điểm biên trong ∂Ω2. Điều đó kéo theo f có một mở rộng duy nhất (cũng gọi là f) đến Ω1 là liên tục đối với metric Euclid. Hơn nữa, f(∂Ω1) ⊆ ∂Ω2 và từ (2.49), ta có với a, b ∈ ∂Ω1 ta nhận được

d2H(f(a), f(b)) ≤ C2d1H(a, b).

Điều này kéo theo rằng ánh xạ biên là Lipschitz nếu các biên của các miền được trang bị các metric Canot-Carathéodory.

Kết luận

Luận văn “Tính hyperbolic Gromov và metric Kobayashi trên các miền giả lồi chặt” đã trình bày được các kết quả chính sau:

- Làm rõ khái niệm không gian hyperbolic Gromov và trình bày một số ví dụ cụ thể về không gian hyperbolic Gromov.

- Từ một ước lượng địa phương đã biết cho một metric Finsler trên một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C2 dẫn đến một ước lượng cho hàm khoảng cách liên kết tương ứng (Định lý 2.1.1).

- Trình bày một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayashi trên một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C2 (Mệnh đề 2.1.7).

- Tính hyperbolic Gromov của các miền giả lồi chặt khi trang bị khoảng cách Kobayashi (Định lý 2.2.4).

- Một ví dụ về lớp các miền giả lồi mà không là hyperbolic Gromov (Mệnh đề 2.2.5).

Tài liệu tham khảo

[1] Balogh Z, Bonk M (2000), “Gromov hyperbolicity and the Kobayashi metric on strictly pseudoconvex domains”, Comment. Math. Helv.75, 504 - 533.

[2] Balogh Z, Buckley S (2003),“Geometric characterizations of Gromov hyperbolicity”, Invent. Math, 153: 261-301.

[3] Balgoh Z, Bonk M (1999), “Pseudoconvexity and Gromov hyperbolic- ity”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, 328: 579 -602.

[4] Alexander Nagel (2003), “Introduction to analysis on

Carnot-Carathéodory spaces”, Summer School in Harmonic Analysis, 1-6.

[5] Bertrand F & Gaussier H ...

[6] Boskoff G, Odom H L, Suceava D B (2012), “An Elementary View on Gromov Hyperbolic Spaces”, Forum Geometricorum Volume 12, 283 - 286.

[7] Bonk M, Schramm O (2000), “Embeddings of Gromov hyperbolic space”, Geom.Funct, Anal. 10, no2: 266-306.

[8] Foertsch T, Schroeder V (2005), “A product construction for hyperbolic metric spaces”, Illinois J. Math, 49, no3: 793-810.

[9] Wenger S (2005), “Gromov hyperbolic spaces and the sharp isoperimet- ric constan”, Invent, Math. 171, no1: 227-255.

[10] Bonk M, Heinonen J, Koskela P (2001), “Uniformizing Gromov hyper- bolic spaces”, Asterisque 270.

[11] Federer H (1959), “Curvature measures”, Trans. Amer. Math. Soc. 93, 418-491.

[12] Krantz S G, Parks H R (1981), “Distance to Ck hypersurfaces”, J. Diff. Equ. 40, 116-120.

[13] Nagel A, Stein E M, Wainger S (1985), “Balls and metrics defined by vector fields. I. Basic properties”, Acta Math. 155, 103–147.

[14] Bella¨iche A (1996), “The tangent space in sub-Riemannian geometry”,

Math. 144, pp. 1–78.

[15] Gromov M (1996), “Carnot-Carathéodory spaces seen from within”,

Math. 144, pp. 79–323.

[16] Ma D (1992), “Sharp estimates of the Kobayashi metric near strongly pseudoconvex points”, Contemporary Math. 137 Amer. Math. Soc, pp. 329–339.

[17] Jarnicki M, Pflug P (1993), “Invariant Distances and Metrics in Com- plex Analysis”, Expo. in Math. 9, p.107