2 Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương
2.2 Tính chất Fredholm với bài toán tuần hoàn
Một cách tiếp cận để thiết lập tính chất Fredholm cho toán tử hyper- bolic cấp 1, điều này được thực hiện bằng cách xây dựng tính chính quy hóa tương đương dưới dạng tham số. Việc xây dựng về cơ bản dựa trên hiệu ứng trơn được nghiên cứu trong mục 2.1.
Trước tiên xét hệ hyperbolic một chiều
(∂t + a(x)∂x+b(x))u = f(x, t), x ∈ (0,1), (2.32) thỏa mãn các điều kiện tuần hoàn (2.27) và điều chỉnh điều kiện biên
uj(0, t) = n X k=m+1 rjk0 uk(0, t),1≤ j ≤m, uj(1, t) = m X k=1 rjk1 uk(1, t), m < j ≤ n. (2.33)
Ở đây rjk0 và rjk1 là số thực và giả sử fj : [0,1] ×R → R là 2π -tuần hoàn đối với t.
Kết quả chính của phần này nói rằng hệ (2.32), (2.27), (2.33) có thể giải được nếu và chỉ nếu vế phải trực giao với tất cả các nghiệm tương ứng hệ thuần nhất
−∂tu−∂x(a(x)u) +bT(x)u = 0, x ∈ (0,1),
thỏa mãn các điều kiện tuần hoàn (2.27) và liên hợp các điều kiện biên
aj(0)uj(0, t) =− m X k=1 r0kjak(0)uk(0, t), m < j ≤ n, aj(1)uj(1, t) =− n X k=m+1 r1kjak(1)uk(1, t),1 ≤j ≤ m. (2.34)
Kết quả được trình bày như sau
Thứ nhất xây dựng các không gian hàm phù hợp cho các nghiệm. Sau đó, tách toán tử của bài toán chỉ tồn tại duy nhất điểm kỳ dị. Cuối cùng,
dựa trên phép tách này và tính chất trơn, sẽ xây dựng tham số sau đó thiết lập tính giải được Fredholm bằng phương pháp này.
Khi lựa chọn các không gian hàm, chú ý rằng là bài toán (2.32), (2.27), (2.33) mô tả mô hình sóng lan truyền động lực học laze. Từ quan điểm vật lý, người ta cho phép gián đoạn trong các hệ số ở vế phải của (2.32). Điều này chính là làm cho không gian của các nghiệm không nên quá nhỏ. Mặt khác, chúng không nên quá lớn, để cho phép nhúng đại số của các hàm với phép nhân theo từng điểm của các phần tử. Tính chất cuối cùng là quan trọng cho khả năng ứng dụng kết quả này vào các bài toán phi tuyến tính, giống như mô tả hiện tượng động lực như là phân nhánh Hopf và đồng bộ hoá tuần hoàn.
Cuối cùng, các mối quan hệ có tính chất Fredholm cần có tính tối ưu đối với các không gian hàm tương ứng
Mô tả không gian Vγ đối với các nghiệm và Wγ đối với vế phải của (2.32) đáp ứng tất cả các tính chất này.
Cho γ ≥0, giả sử Wγ là không gian vectơ của các hàm khả tích hoàn toàn địa phương f : [0,1] × R → Rn sao cho f(x, t) = f(x, t + 2π) với
x ∈ (0,1) và t∈ R và kfk2Wγ = X s∈Z (1 +s2)γ 1 Z 0 2π Z 0 f(x, t)e−istdt 2 dx < ∞. (2.35)
Ở đây và sau này k.k là chuẩn Hermit trong Cn. Chuẩn k.k cũng được hiểu rằng Wγ là một không gian Banach với chuẩn (2.35). Hơn nữa, cho γ ≥ 1 và a ∈ L∞((0,1);Mn), trong đó Mn biểu thị không gian của ma trận với hệ số thực cấp n×n, tồn tại inf|aj| > 0 với mọi j ≤ n, tiếp theo sẽ làm việc với các không gian hàm
Uγ = {u ∈ Wγ : ∂xu ∈ W0, ∂tu+a∂xu ∈ Wγ}
với các chuẩn
Lưu ý rằng không gian Uγ phụ thuộc vào a và lớn hơn không gian của tất cả các u ∈ Wγ sao cho ∂tu ∈ Wγ, ∂xu ∈ Wγ (mà không phụ thuộc vào a). Đối với u ∈ Uγ có vết u(0,·), u(1,·)L2loc(R;Rn) do đó, có ý nghĩa khi xem xét các không gian con đóng trong Uγ.
Vγ ={u ∈ Uγ : (2.33) được thỏa mãn}
˜
Vγ ={u ∈ Uγ : (2.34) được thỏa mãn}
Tiếp theo sẽ tách toán tử của bài toán thành hai phần trong bậc riêng để tách ra một phần, ký hiệu bên dưới là A, đó là song ánh và đồng thời là điểm kỳ dị. Nếu sự phân tích này là tối ưu, thì sau một quy trình chính quy hóa, phần còn lại là trơn và do đó đáp ứng tính compact. Đặt
b0 = diag(b11, b22, ..., bnn) và b1 = b−b0
có nghĩa là đường chéo và các phần tử ngoài đường chéo của ma trận hệ số b, tương ứng xác định toán tử A ∈ L(Vγ;Wγ),A ∈ L˜ ( ˜Vγ;Wγ), và B,B ∈ L˜ (Wγ) bởi Au =∂tu+ a∂xu+b0u, ˜ Au =−∂tu−∂x(au) +b0u, Bu =b1u, ˜ Bu =(b1)Tu.
Lưu ý rằng các toán tử A,B,B˜là xác định với aj, bjk ∈ L∞(0,1), trong đó ˜
A là được định nghĩa bổ sung giả thiết về tính chính quy đối với hệ số aj
ví dụ cho aj ∈ C0,1([0,1]). Chú ý rằng phương trình toán tử
Au+ Bu = f
là tóm tắt miêu tả của bài toán Dirichlet tuần hoàn (2.32), (2.27), (2.33). Cuối cùng, với s ∈ Z, giới thiệu các ma trận phức (n−m)×(n−m)
Rs = " m X l=1 eis(αj(1)−αl(1))+βj(1)−βl(1)rjl1rlk0 #n j,k=m+1 ,
trong đó αj(x) = Z x 0 1 aj(y)dy, βj(x) = Z x 0 bjj(y) aj(y)dy.
Khẳng định định lý sau, thứ nhất, cặp liên kết của không gian (Vγ, Wγ) cho tính chính quy tối ưu điều hòa giữa không gian của nghiệm và vế phải, thứ hai, A thỏa mãn tính chất song ánh. Tính chất thứ hai cần thiết cho A
là toán tử tối ưu có sự di chuyển của điểm kỳ dị sẽ là hệ quả của kết quả Fredholm.
Định lý 2.2.1. ([8]) Đối với mọi c > 0 đều tồn tại C > 0 sao cho mệnh đề sau đây đúng
Nếu aj, bjj ∈ L∞(0,1) và tồn tại inf|aj| ≥ c với mọi j = 1, ..., n, (2.36)
n X j=1 kbjjk∞ + m X j=1 n X k=m+1 |r0jk|+ m X j=m+1 n X k=1 |rjk1 | ≤ 1 c, (2.37) và |det(I −Rs)| ≥ c,∀s ∈ Z, (2.38) thì với mọi γ ≥ 1 toán tử A là phép đẳng cấu từ Vγ lên Wγ và
kA−1kL(Vγ;Wγ) ≤ C. Giả sử hf, uiL2 = 1 2π Z 2π 0 Z 1 0 hf(x, t), u(x, t)idxdt
là tích vô hướng trong không gian Hilbert L2((0,1)×(0,2π);Rn và h·,·i là tích vô hướng Euclid trong Rn. Như vậy vì BV(0,1) là không gian Banach của tất cả các hàm h : (0,1) → R với biến bị chặn, nghĩa là với mọi
h ∈ L∞(0,1) sao cho tồn tại C > 0 với
Z 1 0 h(x)ϕ0(x)dx ≤CkϕkL∞(0,1),∀ϕ ∈ C0∞(0,1) (2.39)
Chuẩn của h trong BV(0,1) là tổng của các chuẩn trong L∞(0,1) và C là hằng số nhỏ nhất trong (2.39).
Định lý 2.2.2. ([8]) Giả sử các điều kiện (2.37) và (2.38) thỏa mãn với một số c > 0. Giả sử với mọi i 6= k tồn tại pjk ∈ BV(0,1) sao cho
ak(x)bjk(x)a = pjk(x)(aj(x)−ak(x)) với a.a.x ∈ [0,1]. Khi đó các khẳng định sau là đúng
(i) Toán tử A+B là toán tử Fredholm với chỉ số 0 từ Vγ thành Wγ với mọi
γ ≥ 1, và ker(A+B) ={u ∈ Vγ : (A+B)u = 0} không phụ thuộc vào γ. (ii) Nếu a ∈ C0,1([0,1];Mn) thì ker(A+B)∗ = ker( ˜A+ ˜B) và
{(A+ B)u: u ∈ Vγ} = nf ∈ Wγ : hf, uiL2 = 0,∀u ∈ ker( ˜A+ ˜B)o
trong đó ker( ˜A+ ˜B) = {u ∈ V˜γ : ( ˜A+ ˜B)u = 0} không phụ thuộc vào γ. Định lý 2.2.2 (ii) khẳng định rằng toán tử liên hợp chính là định nghĩa về không gian hàm cổ điển. Nói cách khác, nó có tính chính quy tốt hơn so với sử dụng định nghĩa hình thức của toán tử liên hợp. Ở đây sẽ thấy hiệu ứng làm trơn cho nghiệm (của bài toán hypebolic liên hợp) là hàm ban đầu. Cuối cùng, để chứng minh Định lý 2.2.2 (i) như đã đề cập ở trên, xây dựng tham số đến toán tử của bài toán. Bằng Định lý 2.2.1, tính chất Fredholm của toán tử A + B ∈ L(Vγ;Wγ) tương đương với tính chất Fredholm của toán tử I + BA−1 ∈ L(Wγ). Ngoài ra, chúng ta dùng tiêu chuẩn Fredholm sau
Bổ đề 2.2.3. ([6]) Gọi I là đồng nhất thức trong không gian Banach W. Giả sử D ∈ L(W) và D2 là compac. Khi đó I +D là Fredholm.
Đặt D = BA−1 ∈ L(Wγ), chứng minh rằng D2 ∈ L(Wγ) là compac. Nghĩa là D2 có tính chất trơn. Thực ra, D2 về cơ bản giống như toán tử D2, đã được sử dụng trong chứng minh Định lý 2.1.1.
Vì I− D2 = (I − D)(I +D) = (I +D)(I − D), nên toán tử I − D là một tham số của I +D. Điều này kéo theo, toán tử A+B thừa nhận tính chính quy hóa tương đương trong dạng tham số của vế phảiA−1(I−BA−1).
Kết luận
Trong quá trình thực hiện luận văn này tôi đã trình bày được một số vấn đề sau:
- Trình bày một cách hệ thống, các kiến thức chuẩn bị về: Các điều kiện biên, điều kiện biên tích phân trong các mô hình cấu trúc tập hợp, hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm với bài toán tuần hoàn.
- Luận văn đã trình bày về hiệu ứng trơn, điều kiện biên, bài toán tuần hoàn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một.
Tài liệu tham khảo
[1] R.Aris(1975). The mathematical theory of diffusion and reaction in per- meable catalysts. Vol. I: The theory of the steady state. Oxford: Claren- don Press 444 p.
[2] S.N. Chow, J.K Hale(1982). Methods of Bifurcation Theory, Grundlehren der Math. Wissenschaften 251, Springer - Verlag, New York - Berlin.
[3] N.A. Eltysheva(1988). On qualitative properties of solutions of some hyperbolic system on the plane, Matematicheskij Sbornil 134, N 2, pp. 186 – 209.
[4] T.Hillen, K. P. Hadeler(2005). Hyperbolic systems and transport equa- tions in mathematical biology, in Analysis and Numerics for Conserva- tion Laws, G. Warnecke, Springer, Berlin, 257- 279.
[5] H. Kielhofer(2004). Bifurcation Theory. An Introduction with Aplica- tions to PDEs, Appl.Math.Sciences 156, Springer - Verlag, New York – Berlin.
[6] I. Kmit, L. Recke(2007). Fredholm Alternative for periodic-Dirichlet problems for linear hyperbolic systems, J. Math. Anal and Appl. 335, No. 1, 355–370.
[7] I. Kmit(2011). Smoothing solutions to initial-boundary problems for first-order hyperbolic systems, Applicable Analysis 90, N 11, p 1609 – 1634.
[8] I. Kmit, L. Recke(2012). Fredholmness and smooth dependence for lin- ear time-periodic hyperbolic problems, Journal of Differential Equa- tions 252, No. 2, 1962–1986.
[9] I.Kmit(2013). Smoothing effect and Fredholm property for first-order hyperbolic PDEs, Pseudo-Differential operator, generalized Funtions and asymptotics, Springer Switzerland, pp. 219-238.
[10] M.M. Lavrent’ev Jr, N. A. Lyul’ko(1997). Increasing smoothness of so- lutions to some hyperbolic problems, Siberian Math, J. 38, N 1, pp. 92 – 105.
[11] N.A. Lyulko( 2010). The increasing smoothness proprerties of solutions to some hyperbolic problems in two independent variables, Siberian Elec- tronic Mathematical Reports 7, 413 – 424.