Trong phần này trình bày một số kết quả về điểm bất động trong không gian metric đầy đủ đối với ánh xạ là C C chấp nhận được.
Định nghĩa 2.4.1. Cho f X: X , , :X X [0, ) và C 0,
0
C . Ta nói rằng f là ánh xạ C C chấp nhận được đối với K 1
( )i ( , )x y C ( ,fx fy) C , ,x y X ;
( )ii ( , )x y C ( ,fx fy) C , ,x y X ;
( )iii 0 C 1
C K .
Định lý 2.4.2 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric đầy đủ và f X: X là ánh xạ C C chấp nhận được đối với K 1. Giả sử
( , ) ( , )x y d fx fy ( , ) ( , )x y d x y với mọi x y, X. (2.14)
Nếu các điều kiện sau xảy ra:
( )i f liên tục;
( )ii Tồn tại x0 X sao cho ( ,x fx0 0) C và ( ,x fx0 0) C .
thì f có điểm bất động trong X .
Chứng minh. Giả sử x0 X sao cho ( ,x fx0 0) C và ( ,x fx0 0) C . Lấy dãy { }xn X xác định bởi xn f xn 0 fxn 1 với mọi n . Nếu
1
n n
x x với n nào đó, thì x xn là điểm bất động của f và Định lý được chứng minh. Do đó, ta giả sử xn 1 xnvới mọi n . Vì f là ánh xạ
C C chấp nhận được đối với K 1 và ( ,x fx0 0) ( , )x x0 1 C , nên suy ra ( , )x x1 2 (fx fx0, 1) C . Tiếp tục quá trình này, ta nhận được
1
( ,x xn n ) C với mọi n {0}. Tương tự, ( ,x xn n 1) C với mọi
{0}n . Áp dụng (2.14) với x xn 1 và y xn, ta được n . Áp dụng (2.14) với x xn 1 và y xn, ta được C d x x( ,n n 1) (xn 1, ) ( ,x d x xn n n 1) (xn 1, ) (x d xn n 1, )xn C d x( n 1, )xn . Do đó d x x( ,n n 1) C d x( n 1, )xn C với mọi n .
Vì f là ánh xạ C C chấp nhận được đối với K 1, nên 1
0 C
C K .
Theo Bổ đề 1.2.9, { }xn là dãy Cauchy. Vì X là đầy đủ, nên tồn tại z X sao cho d x z( , )n 0 khi n . Vì f liên tục, nên ta có
d x( n 1,fz) d fx fz( n, ) 0,n .
Theo Bổ đề 1.2.7, ta có z fz. Vậy z là điểm bất động của f .
Định lý 2.4.3. Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric đầy đủ và f X: X là ánh xạ C C chấp nhận được đối với K 1.Giả sử
( , ) ( , )x y d fx fy ( , ) ( , )x y d x y với mọi x y, X. (2.15)
Nếu các điều kiện sau xảy ra:
( )i Tồn tại x0 X sao cho ( ,x fx0 0) C và ( ,x fx0 0) C ;
( )ii Nếu{ }xn X dãy sao cho ( ,x xn n 1) C và ( ,x xn n 1) C với mọi n {0} và xn x khi n , thì ( , )x xn C và
( , )x xn C với mọi n {0};
thì f có điểm bất động trong X.
Chứng minh. Cho x0 X sao cho ( ,x fx0 0) C và ( ,x fx0 0) C . Lấy dãy { }xn X xác định bởi xn f xn 0 fxn 1 với mọi n . Theo chứng minh của Định lý 2.4.3, { }xn là dãy Cauchy sao cho ( ,x xn n 1) C và
1
( ,x xn n ) C với mọi n {0}. Vì X là đầy đủ, nên tồn tại z X sao cho dãy { }xn hội tụ đến z. Bây giờ, áp dụng điều kiện co (2.15) và điều kiện
( )ii , ta suy ra
1 1
( , ) ( , n ) C ( n , )
d z fz K d z x d x fz