Tø H» qu£ 2.2.6 ta suy ra bê · sau.
Bê · 2.3.1. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X. Gi£ sû f ∈ C∗ \ {0Y∗} v c¡c i·u ki»n sau x£y ra
(i) Vîi méi x ∈ K v u ∈ S(x), F(x, u, x) ⊆ C;
(ii) Vîi méi y ∈ K, {x ∈ K : F(x, u, y) ⊆ C vîi måi u ∈ S(x)} l tªp âng;
(iii) Vîi méi x ∈ K, S(x) l tªp lçi v F(x,·,·) l C- tüa lçi tü nhi¶n tr¶n S(x)×K.
Khi â Q(f) 6= ∅.
Bê · 2.3.2. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X v f ∈ C∗ \ {0Y∗}. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau x£y ra
(i) S(·) l P- lãm tr¶n K;
(ii) Vîi méi (x, y) ∈ K ×K, F(x,·, y) l P-C- t«ng; (iii) Vîi méi y ∈ K, F(·,·, y) l C- lãm tr¶n K ×S(K). Khi â Q(f) l tªp lçi. Hìn núa, G(F, S, K) công l tªp lçi.
Chùng minh. L§y x1, x2 ∈ Q(f) v t ∈ [0,1]. Khi â
f(F(xi, u, y)) ⊆ R+ vîi måi u ∈ S(xi) v y ∈ K, i∈ {1,2}. (2.9) V¼ S(·) l P- lãm tr¶n K n¶n
S(tx1 + (1−t)x2) ⊆ tS(x1) + (1−t)S(x2) +P.
Vîi méi ut ∈ S(tx1 + (1−t)x2), tçn t¤i u1 ∈ S(x1), u2 ∈ S(x2) v p0 ∈ P
sao cho ut = tu1 + (1− t)u2 + p0. Do F(tx1 + (1−t)x− 2,·, y) l P-C- t«ng n¶n ta câ F(tx1+(1−t)x2, tu1+(1−t)u2, y) ⊆ F(tx1+(1−t)x2, tu1+(1−t)u2, y)+C. (2.10) Hìn núa, do F(·,·, y) l C- lãm tr¶n K ×S(K) n¶n F(tx1+ (1−t)x2, tu1+ (1−t)u2, y) ⊆ tF(x1, u1, y) + (1−t)F(x2, u2, y) +C. (2.11) K¸t hñp (2.9), (2.10), (2.11) v f ∈ C∗ ta câ f(F(tx1+ (1−t)x2, ut, y)) ⊆ R+ vîi måi ut ∈ S(tx1+ (1−t)x2) v y ∈ K.
K²o theo tx1 + (1−t)x2 ∈ Q(f). Vªy G(F, S, K) l tªp lçi.
Nhªn x²t 2.3.3. N¸u G(F, S, K) l tªp lçi th¼ G(F, S, K) l tªp li¶n thæng ÷íng.
Bê · 2.3.4. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X, S(·) l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n K v vîi méi y ∈ K, F(·,·, y) l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n K ×S(K). Khi â
(i) N¸u K l tªp âng th¼ Q(f) l tªp âng;
(ii) N¸u K l tªp compact th¼ Q(·) l nûa li¶n töc tr¶n C∗\ {0Y∗}, trong â tæpæ tr¶n C∗ \ {0Y∗} l tæpæ y¸u *.
Chùng minh. (i) L§y d¢y {xn} ⊆ Q(f) vîi xn →x0. Khi â ta câ
Theo gi£ thi¸t K l tªp âng n¶n x0 ∈ K. Vîi u ∈ S(x0) tòy þ v do S(·) l nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0, theo Bê · 2.1.9, tçn t¤i un ∈ S(xn) sao cho
un →u. Vîi méi z ∈ F(x0, u, y), do F(·,·, y) l nûa li¶n töc d÷îi t¤i (x0, u) n¶n theo Bê · 2.1.9 tçn t¤i zn ∈ F(xn, un, y) sao cho zn →z. Tø (2.12) ta câ f(zn) ≥ 0. V¼ f li¶n töc n¶n f(zn) → f(z). Tø â suy ra f(z) ≥ 0. Do vªy
f(F(x0, u, y)) ⊆ R+ vîi måi u ∈ S(x0) v y ∈ K.
Suy ra x0 ∈ Q(f). Vªy Q(f) l tªp âng.
(ii) Gi£ sû ng÷ñc l¤i Q(·) khæng l nûa li¶n töc tr¶n t¤i f0 ∈ C∗ \ {0Y∗}. Khi â tçn t¤i l¥n cªn W0 cõa Q(f0) v d¢y {fn} vîi fn hëi tö y¸u v· f0
sao cho Q(fn) * W0. Tø â suy ra
xn ∈ Q(fn), n = 1,2, ... (2.13) sao cho
xn ∈/ W0 vîi måi n∈ N. (2.14) D¹ th§y r¬ng xn ∈ K. Do K l tªp compact, khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû xn → x0 ∈ K. Ta chùng minh x0 ∈ Q(f0). Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i, tçn t¤i u0 ∈ S(x0) v y0 ∈ K sao cho
f0(F(x0, u0, y0)) * R+.
Do â tçn t¤i z0 ∈ F(x0, u0, y0) sao cho
f0(z0) < 0. (2.15) V¼ S(·) l nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¶n theo Bê · 2.1.9, tçn t¤i un ∈ S(xn) sao cho un → u0. M°t kh¡c F(·,·, y0) l nûa li¶n töc d÷îi t¤i (x0, u0) n¶n công theo Bê · 2.1.9, tçn t¤i zn ∈ F(xn, un, y0) sao cho zn → z0. Suy ra
fn hëi tö y¸u v· f0. Tø â suy ra fn(zn) → f0(z0). i·u n y k¸t hñp vîi (2.15) ta câ fn(zn) < 0 vîi n õ lîn. i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.13). Do â x0 ∈ Q(f0). Suy ra xn → x0 ∈ W0. i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.14). Vªy
Bê · 2.3.5. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau x£y ra
(i) S(·) l nûa li¶n töc d÷îi v P- lãm tr¶n K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact;
(ii) Vîi méi (x, y) ∈ K ×K, F(x,·, y) l P-C- t«ng;
(iii) Vîi méi y ∈ K, F(·,·, y) l C- lãm nghi¶m ng°t tr¶n K ×S(K); (iv) F(·,·,·) li¶n töc tr¶n K ×S(K)×K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact. Khi â Q(·) l li¶n töc d÷îi tr¶n C∗ \ {0Y∗}, trong â tæpæ tr¶n C∗ \ {0Y∗}
l tæpæ y¸u *.
Chùng minh. Gi£ sû ng÷ñc l¤i Q(·) khæng l nûa li¶n töc d÷îi t¤i f0 ∈
C∗ \ {0Y∗}. Khi â, tçn t¤i x0 ∈ Q(f0), mët l¥n cªn W0 cõa 0∈ X v d¢y
{fn} vîi fn hëi tö y¸u v· f0 sao cho
(x0 +W0)∩Q(fn) = ∅ vîi måi n ∈ N. (2.16) Ta x²t 2 tr÷íng hñp
Tr÷íng hñp 1, Q(f0) l tªp mët ph¦n tû. Ta chån
xn ∈ Q(fn) vîi måi n ∈ N. (2.17) Hiºn nhi¶n, xn ∈ K. V¼ K l tªp compact, khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû xn → x ∈ K. T÷ìng tü nh÷ c¡ch chùng minh Bê · 2.3.4 ta câ
x ∈ Q(f0). V¼ Q(f0) l tªp mët ph¦n tû n¶n x = x0 v do vªy xn → x0. i·u n y k¸t hñp vîi (2.17) ta ÷ñc xn ∈ (x0 + W0)∩ Q(fn) vîi n õ lîn. i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.16).
Tr÷íng hñp 2, Q(f0) l tªp chùa ½t nh§t hai ph¦n tû. Khi â tçn t¤i
x0 ∈ Q(f0) m x0 6= x0. V¼ x0, x0 ∈ Q(f0) n¶n
f0(F(x0, u, y)) ⊆ R+ vîi måi u ∈ S(x0) v y ∈ K (2.18) v
f0(F(x0, u, y)) ⊆ R+ vîi måi u ∈ S(x0) v y ∈ K. (2.19) Do S(·) l P- lãm tr¶n K, vîi méi t ∈ [0,1] ta câ
Vîi méi ut ∈ S(tx0 + (1−t)x0), tçn t¤i u0 ∈ S(x0), u0 ∈ S(x0) v p0 ∈ P
sao cho ut = tu0 + (1−t)u0 +p0. Theo gi£ thi¸t F(tx0) + (1−t)x0,·, y) l
P-C- t«ng n¶n ta câ
F(tx0 + (1−t)x0, ut, y) ⊆F(tx0+ (1−t)x0, tu0+ (1−t)u0, y) +C. (2.20) °t x(t) := tx0 + (1−t)x0. Khi â x(t) ∈ K. Theo gi£ thi¸t F(·,·, y) l C- lãm nghi¶m ng°t tr¶n K ×S(K) n¶n
F(x(t), tu0+(1−t)u0, y) ⊆tF(x0, u0, y)+(1−t)F(x0, u0, y)+intC. (2.21) D¹ th§y, tçn t¤i t0 ∈ [0,1] sao cho x(t0) ∈ x0 + W0. Tø (2.16) suy ra
x(t0) ∈/ Q(fn). Khi â tçn t¤i un ∈ S(x(t0)) v yn ∈ K sao cho
fn(F(x(t0), un, yn) * R+.
Do â tçn t¤i zn ∈ F(x(t0), un, yn) sao cho
fn(zn) < 0 vîi måi n ∈ N. (2.22) Theo gi£ thi¸t S(x(t0)) v K l compact, khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû un → u ∈ S(x(t0)) v yn → y0 ∈ K. Tø Bê · 2.1.10 tçn t¤i
z0 ∈ F(x(t0), u, y0) v d¢y con {znk} cõa d¢y {zn}sao cho znk →z0. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû zn → z0. Tø â suy ra fn(zn) → f0(z0). Bði (2.22), ta câ
f0(z0) ≤ 0. (2.23)
M°t kh¡c, tø (2.18)-(2.21) ta câ f0(z0) > 0. i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.23). Vªy ành lþ ÷ñc chùng minh.
Bê · 2.3.6. Gi£ sû vîi méi x ∈ K, F(x,·,·) l C- gièng nh÷ lçi tr¶n
S(x)×K. Khi â
W(F, S, K) = [
f∈B∗
Q(f).
Chùng minh. Vîi méi x ∈ [
f∈B∗
Q(f), tçn t¤i f0 ∈ B∗ sao cho x ∈ Q(f0). Do â
Gi£ sû x /∈ W(F, S, K). Khi â tçn t¤i u0 ∈ S(x), y0 ∈ K sao cho
F(x, u0, y0)∩(−intC) 6= ∅.
Tø â tçn t¤i z0 ∈ F(x, u0, y0) sao cho f0(z0) < 0. i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.24). Do â x ∈ W(F, S, K). Vªy [
f∈B∗
Q(f) ⊆ W(F, S, K).
Ta chùng minh W(F, S, K) ⊆ [
f∈B∗
Q(f).Thªt vªy, l§y x ∈ W(F, S, K) tòy þ. Khi â
F(x, u, y)∩(−intC) =∅ vîi måi u ∈ S(x) v y ∈ K.
D¹ th§y
F(x, S(x), K) +C)∩(−intC) =∅.
Vîi méi x ∈ K, do F(x,·,·) l C- gièng nh÷ lçi tr¶n S(x) × K n¶n
F(x, S(x), K) +C l tªp lçi. Theo ành lþ t¡ch tªp lçi, tçn t¤i g ∈ Y∗\ {0}
sao cho inf{g(z+c) : u ∈ S(x), y ∈ K, z ∈ F(x, u, y), c∈ C} ≥ sup{g(c0) : c0 ∈ −C}. Do â g ∈ C∗ v g(F(x, u, y)) ⊆ R+ vîi måi u ∈ S(x) v y ∈ K. V¼ e ∈ intC v g ∈ C∗ \ {0} n¶n g(e) > 0. °t ψ = g g(e). Khi â ψ ∈ B∗ v ψ(F(x, u, y)) ⊆ R+ vîi måi u ∈ S(x) v y ∈ K. Do vªy x ∈ Q(ψ) tø â suy ra x ∈ S
f∈B∗ Q(f). i·u n y k²o theo
W(F, S, K) ⊆ [
f∈B∗
Q(f). Vªy W(F, S, K) = [
f∈B∗
Q(f).
Bê · 2.3.7. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau x£y ra
(i) S(·) l nûa li¶n töc d÷îi v P- lãm tr¶n K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact;
(ii) Vîi méi (x, y) ∈ K ×K, F(x,·, y) l P-C- t«ng;
(iii) Vîi méi y ∈ K, F(·,·, y) l C- lãm nghi¶m ng°t tr¶n K ×S(K); (iv) F(·,·,·) li¶n töc tr¶n K ×S(K)×K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact; (v) Vîi méi x ∈ K, F(x,·,·) l C- gièng nh÷ lçi tr¶n S(K)×K.
Khi â [ f∈B# Q(f) ⊆ E(F, S, K) ⊆W(F, S, K) = [ f∈B∗ Q(f) ⊆cl [ f∈B# Q(f).
Chùng minh. Tø Bê · 2.3.6, ta câ
[
f∈B#
Q(f) ⊆ E(F, S, K) ⊆ W(F, S, K) = [
f∈B#
Q(f).
Bði Bê · 2.3.5, suy ra Q(·) l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n B∗ = clB#. i·u n y v Bê · 2.1.12 k²o theo
[ f∈B∗ Q(f) ⊆ cl [ f∈B# Q(f) v do vªy [ f∈B# Q(f) ⊆ E(F, S, K) ⊆W(F, S, K) = [ f∈B∗ Q(f) ⊆cl [ f∈B# Q(f). Tø Nhªn x²t 2.2.2 v c¡c Bê · 2.1.13, 2.3.1-2.3.4 v 2.3.6 ta câ ành lþ d÷îi ¥y.
ành lþ 2.3.8. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau x£y ra
(i) Vîi méi x ∈ K, u ∈ S(x) ta câ F(x, u, x) ⊆ C;
(ii) S(·) l nûa li¶n töc d÷îi v P- lãm tr¶n K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact;
(iii) Vîi méi (x, y) ∈ K ×K, F(x,·, y) l P-C- t«ng;
(iv) Vîi méi y ∈ K, F(·,·, y) l C- lãm v nûa li¶n töc d÷îi tr¶n K ×
(v) Vîi méi x ∈ K, F(x,·,·) l C- tüa lçi tü nhi¶n v l C- gièng nh÷ lçi tr¶n S(x)×K.
Khi â W(F, S, K) l tªp li¶n thæng.
Chùng minh. Theo Bê · 2.3.2 ta câ Q(f) l tªp lçi. Do vªy Q(f) l tªp li¶n thæng. Tø Bê · 2.3.1 v Nhªn x²t 2.2.2 ta th§y Q(f) 6= ∅. Theo Bê · 2.3.4 suy ra Q(·) l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n C∗\ {0Y∗}. K¸t hñp Bê · 2.1.13 v Bê · 2.3.6 ta câ W(F, S, K) = [
f∈B∗
Q(f) l tªp li¶n thæng.
Nhªn x²t 2.3.9. Tø Nhªn x²t 1.4.12 v 1.4.13 ta th§y, vîi méi x ∈ K, n¸u
F(x,·,·) l C- lçi tr¶n S(x)×K th¼ F(x,·,·) l C- tüa lçi tü nhi¶n v l
C- gièng nh÷ lçi tr¶n S(x)×K.
Tø ành lþ 2.3.8 ta suy ra h» qu£ d÷îi ¥y.
H» qu£ 2.3.10. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X v f l h m li¶n töc, C- lçi tr¶n K. Khi â WV(f, K) l tªp li¶n thæng.
ành lþ 2.3.11. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau x£y ra
(i) Vîi méi x ∈ K v u ∈ S(x) ta câ F(x, u, x) ⊆C;
(ii) S(·) li¶n töc d÷îi v P- lãm tr¶n K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact; (iii) Vîi méi (x, y) ∈ K ×K, F(x,·, y) l P-C- t«ng;
(iv) Vîi méi y ∈ K, F(·,·, y) l C- lãm nghi¶m ng°t tr¶n K ×S(K); (v) F(·,·,·) li¶n töc tr¶n K ×S(K)×K vîi gi¡ trà kh¡c réng, compact; (vi) Vîi méi x ∈ K, F(x,·,·) l C- tüa lçi tü nhi¶n v C- gièng nh÷ lçi tr¶n S(x)×K.
Khi â E(F, S, K) l tªp li¶n thæng. Hìn núa, W(F, S, K) l tªp li¶n thæng ÷íng.
Chùng minh. T÷ìng tü nh÷ c¡ch chùng minh ành lþ 2.3.8, ta ch¿ c¦n chùng minh [
thæng. Tø Bê · 2.3.5, ta câ Q(·) l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C∗ \ {0Y∗}, trong â tæpæ tr¶n C∗ \ {0Y∗} l tæpæ y¸u *. Do fn → f0 k²o theo fn hëi tö y¸u v· f0. V¼ Q(·) l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C∗ \ {0Y∗}, trong â tæpæ tr¶n C∗\ {0Y∗} l tæpæ y¸u * n¶n Q(·) l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C∗\ {0Y∗}, trong â tæpæ tr¶n C∗ \ {0Y∗} èi vîi tæpæ sinh bði chu©n. Hiºn nhi¶n B∗
l khæng gian metric v do vªy B∗ l ti·n compact. Tø B∗ l tªp lçi n¶n B∗
l li¶n thæng ÷íng. Theo Bê · 2.3.6 ta câ
W(F, S, K) = [
f∈B∗
Q(f).
K¸t hñp Bê · 2.3.1-2.3.4, vîi méi f ∈ B∗, Q(f) l tªp kh¡c réng, lçi, âng. Theo Bê · 2.3.7 suy ra W(F, S, K) l tªp li¶n thæng ÷íng.
H» qu£ 2.3.12. Gi£ sû K l tªp kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff X, f l h m li¶n töc v C- lçi nghi¶m ng°t tr¶n K. Khi â EV(f, K) l tªp li¶n thæng v WV(f, K) l tªp li¶n thæng ÷íng.
V½ dö d÷îi ¥y minh håa cho ành lþ 2.3.8.
V½ dö 2.3.13. Cho Y = R2, C = R2+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},
X = R, P = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} v K = [0, π]. nh x¤ a trà
S : X → ∆ ÷ñc x¡c ành bði
S(x) ={u ∈ R :−2 ≤u ≤ sinx}, vîi måi x ∈ X,
v ¡nh x¤ F : X ×∆×X → Y ÷ñc x¡c ành nh÷ sau F(x, u, y) = (f1(x, u, y), f2(x, u, y)) + BY, vîi måi (x, u, y) ∈ X ×∆×X, trong â f1(x, u, y) =−x2 +u+y2 + y+ 4, f2(x, u, y) = sinx+ 2u−siny+ 11 2 .
D¹ th§y c¡c i·u ki»n cõa Bê · 2.3.1 v ành lþ 2.3.8 ÷ñc thäa m¢n. Theo Bê · 2.3.1 ta câQ(f) 6= 0vîi méif ∈ C∗\{0Y∗}, k²o theoW(F, S, K) 6= ∅. Hìn núa, tø ành lþ 2.3.1 suy ra W(F, S, K) l tªp li¶n thæng.
V½ dö ti¸p theo minh håa cho ành lþ 2.3.11.
V½ dö 2.3.14. Cho Y = R2, C = R2+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},
X = R, P = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} v K = [0, π]. nh x¤ a trà
S : X → ∆ ÷ñc x¡c ành bði
S(x) = {u ∈ R : 0 ≤ u ≤2 + sinx}, vîi måi x ∈ X,
v ¡nh x¤ F : X ×∆×X → Y ÷ñc x¡c ành nh÷ sau F(x, u, y) = (f1(x, u, y), f2(x, u, y)) + BY, vîi måi (x, u, y) ∈ X ×∆×X, trong â f1(x, u, y) =−x2 + sin 1 4x+ 1 4y + 2u+ 2y+ 6, f2(x, u, y) = −x2 +x+ 1 4x+ 1 4y +u+y + 5.
D¹ th§y c¡c i·u ki»n cõa Bê · 2.3.2 v ành lþ 2.3.11 ÷ñc thäa m¢n. Theo Bê · 2.3.2 ta câ Q(f) vîi méi f ∈ C∗\{0Y∗}, i·u n y k²o theo
E(F, S, K) 6= ∅. Hìn núa, theo ành lþ 2.3.11 ta câ E(F, S, K) l tªp li¶n thæng v W(F, S, K) l tªp li¶n thæng ÷íng.
K¸t luªn
Trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ch½nh sau: 1. Tr¼nh b y mët sè ành lþ v· sü tçn t¤i nghi»m húu hi»u m¤nh (ành lþ
2.2.1), nghi»m húu hi»u y¸u (ành lþ 2.2.4) v nghi»m húu hi»u (ành lþ 2.2.7) cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng.
2. Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng (ành lþ 2.3.8 v ành lþ 2.3.11).
T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t
[1] Nguy¹n æng Y¶n, Gi£i t½ch a trà, Nh xu§t b£n gi¡o döc (2007). Ti¸ng Anh
[2] Aubin, J.P., Ekeland, I., Applied Nonlinear Analysis. Wiley, New York (1984).
[3] Gong, X.H.: On the contractibility and connectedness of an efficient point set. J. Math. Anal. Appl. 264, 465-478 (2001).
[4] Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C., Variational Methods in Partially Ordered Spaces. Springer, Berlin (2003).
[5] Han, Y., Huang, N.J., Stability of efficient solutions to parametric gen- eralized vector equilibrium problems (in Chinese). Sci. Sin. Math. 46, 112 (2016). doi:10.1360/012016-12.
[6] Han, Y., Huang, N.J., Existence and Connectedness of Solutions for Generalized Vector Quasi Equilibrium Problems, J. Optim. Theory Appl. 179, 65-85 (2016).
[7] Hiriart-Urruty, J.B., Images of connected sets by semicontinuous mul- tifunctions. J.Math. Anal. Appl. 111, 407422 (1985).
[8] Hu, Y.D., Ling, C., Connectedness of cone superefficient point sets in locally convex topological vector spaces. J. Optim. Theory Appl. 107, 433-446 (2000).