Phần này sẽ giới thiệu mặt Helicoid Lorentz và kết quả của định lý về tính duy nhất của mặt Helicoid Lorentz. Để chứng minh định lý này, người ta đã chỉ ra được dữ liệu Weierstrass của mặt Helicoid Lorentz và dữ liệu này là duy
nhất. Kết quả của định lý được tham khảo trong tài liệu [3].
Định nghĩa 2.5.1. Mặt Helicoid Lorentz là một phần của mặt Helicoid H0
bằng cách bỏ đi phần thuộc khối trụ trục Oz bán kính 1 (vì phần này không
phải mặt kiểu không gian), được xác định như sau:
H:={(x, y, z)∈R31|xtan(z) =y, x2+y2 >1}.
Mặt Helicoid Lorentz có tham số hóa kiểu đồ thị xác định bởi:
X(u, v) = u, v,arctanv u
.
Hình 2.11: (a) Mặt Helicoid; (b) Một phần mặt Helicoid.
Hình 2.12: Mặt Helicoid Lorentz.
Định lý 2.5.2. [3] (Tính duy nhất của mặt Helicoid Lorentz)
Mặt ω∗-cực đại với biên liên thông có số vòng quay vô hạn duy nhất được nhúng hoàn toàn trong không gian R31 là mặt Helicoid Lorentz.
KẾT LUẬN Qua luận văn này, tôi đã trình bày các kết quả sau:
1. Trong chương I, tôi giới thiệu về mặt kẻ trong không gian R3 và các tính
chất đặc trưng của nó, trình bày một số ví dụ về mặt kẻ và chứng minh
tính cực tiểu duy nhất của mặt Helicoid ở Mệnh đề 1.5.2.
2. Trong chương II, tôi giới thiệu khái quát về không gian Lorentz-Minkowski
R31, mặt kiểu không gian và thời gian, xây dựng công thức tính các độ cong
địa phương trong không gian này. Đồng thời, trình bày và chứng minh một
số kết quả của mặt kẻ cực đại trong không gian R3
1 ở Định lý 2.4.4 và giới
thiệu mặt Helicoid Lorentz.
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn nhiều hạn chế nên vẫn không tránh khỏi những thiếu xót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý, bổ sung để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
1. Đoàn Thế Hiếu (2008), Bài giảng Hình học vi phân, Đại học Sư phạm, Đại
học Huế.
Tiếng Anh
2. do Carmo M.P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces,
Translated from the Portuguese, Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, N.J,viii+503pp.
3. Fernandez I., Lopez F.J. (2014), On the uniqueness of the helicoid and En-
neper’s surfaces in the Lorentz-Minkowski space R31, Trans. Amer. Math. Soc. 363, no. 9, 4603-4650.
4. Kim Y.H., Yoon D.W. (2004), Classification of ruler surfaces in Minkowski
3-space, J. Geom. Phys. 49, no. 1,89-100.
5. Kobayashi O. (1983), Maximal Surfaces in the 3-dimensional Minkowski
space L3, Tokyo J.Math., vol. 6, no. 2.
6. López R. (2014),Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-
Minkowski space, Int. Electron. J. Geom, vol. 7, no. 1, 44-107.
7. Zeilinger J. (2012), Maximal Surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space L3,