với các liên kết C–C đan xen có chiều dài khác nhau
Trong mô hình graphene với các liên kết đan xen, giả thuyết rằng sự thay đổi chiều dài liên kết do biến dạng được cho bởi công thức [22]
(
a = a0 +δ
b = a0 −δ (3.10)
trong đó δ có thể âm hoặc dương. Bằng phương pháp số ta đã tìm được nghiệm E theo vector sóng k, tức là tìm được biểu thức của E phụ thuộc vào hai thành phầnkxvà ky của vector sóngk. Cách chọn giá trịδ như công thức (3.10) là phù hợp với các tính toán bằng mô phỏng lượng tử trong dải nano graphene (hệ nano carbon một chiều có cấu trúc phẳng). [20,24] Theo biểu thức (3.9) năng lượng có hai giá trị đối nhau nên cấu trúc năng lượng sẽ có dạng đối xứng nhau qua mặt phẳng ứng với E = 0. Khi đó ta thấy xuất hiện khe năng lượng Eg hay còn gọi là năng lượng vùng cấm. Eg được xác định từ đỉnh vùng hóa trị (thuộc phần E(kx, ky) < 0
đến đáy vùng dẫn (thuộc phần E(kx, ky) > 0). Dựa vào sự biến đổi độ rộng khe năng lượng Eg của graphene biến dạng với các liên kết đan xen sẽ cho ta biết được sự ảnh hưởng của độ biến dạng và liên kết đan xen lên tính chất điện tử của graphene. Bây giờ ta cần khảo sát sự phụ thuộc của khe năng lượng vào các thông số biến dạng để xác định tính chất điện tử của graphene biến dạng. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu graphene với sự có mặt của biến dạng nhỏ ε ≤ 10% và 0≤ θ ≤ π/2.
Với trạng thái ban đầu khi chưa biến dạng, graphene là bán kim loại không có vùng cấm. Tính toán của chúng ta chỉ ra rằng, với sự có mặt của độ biến dạng hoặc liên kết đan xen, graphene có thể trở thành chất bán dẫn với một khe năng lượng nhỏ được mở ra tại điểm K như thể hiện ở hình 3.1. Một trong những nhược điểm khi ứng dụng graphene vào trong các linh kiện và thiết bị điện tử đó là graphene không có vùng cấm. Do đó, việc tìm cách để làm xuất hiện vùng cấm trong graphene có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong việc ứng dụng chúng vào các thiết bị điện tử. Thực tế các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng, có nhiều cách để làm xuất hiện vùng cấm trong graphene như sử dụng điện trường ngoài hay đặt graphene trên các đế bán dẫn [32–34]. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, việc
Hình 3.1: Sự xuất hiện vùng cấm của graphene biến dạng
sử dụng biến dạng cơ học để tạo vùng cấm trong graphene là cách đơn giản nhất.
Ứng với cùng một vector trạng thái k sẽ xác định hai giá trị năng lượng riêng đối xứng nhau. Thực tế biểu thức (3.9) xác định phương trình của hai mặt năng lượng đối xứng nhau qua mặt phẳng E = 0. Theo đồ thị đường đồng mức biểu diễn cho E(kx, ky) chiếu lên mặt phẳng (kx, ky)
những vùng có màu sáng thì năng lượng càng cao, và ngược lại những vùng có màu càng tối thì năng lượng càng thấp. Theo hình (3.2a), xuất hiện vùng tối ứng với 6 đỉnh của hình lục giác của vùng Brillouin (K và K0), các đỉnh đó gọi là điểm Dirac. Khi thay đổi các thông số biến dạng (góc lệch θ, độ biến dạng ε, độ lệch chiều dài liên kết δ) độ sáng tối có thay đổi nghĩa là năng lượng đã thay đổi. Chúng ta thấy rằng, bên cạnh sự thay đổi của năng lượng, đặc biệt là miền gần mức Fermi, biến dạng và sự thay đổi cấu trúc hình học của graphene được gây bởi các liên kết đan xen đương nhiên sẽ dẫn đến sự thay đổi diện tích của các vùng Brilloiun. Bên cạnh đó, biến dạng còn có thể làm thay đổi dạng đối xứng của cấu trúc vùng năng lượng điện tử của grphene [xem hình 3.2(c)]. Ảnh hưởng của biến dạng và các liên kết đan xen lên độ rộng vùng cấm sẽ được thảo
Hình 3.2: Đồ thị đường đồng mức biểu diễn cho E(kx, ky) chiếu lên mặt phẳng (kx, ky)
trong các trường hợp: (a) Khi chưa có biến dạng, (b) θ = 0, ε = 5%, δ = 0,02 , (c)
θ = π4, ε= 10%, δ= 0,02.
luận một cách định lượng ở bên dưới.
Trong hình 3.3 mô tả mặt cắt của cấu trúc năng lượng của graphene với liên kết đan xen dọc theo ky = 0. Giá trị năng lượng thấp nhất tương ứng với vị trí điểm K trong không gian mạng đảo. Với mỗi giá trị độ biến dạng khác nhau sẽ cho các điểm K tại các vị trí kx khác nhau. Các tính toán của chúng tôi đã chỉ ra rằng, độ rộng vùng cấm graphene vẫn giữ bằng 0 khi chịu biến dạng theo hướng θ = 0 và θ = π/2. Theo hai hướng
này, độ rộng vùng cấm của graphene không phụ thuộc vào cấu trúc đan xen trong mạng lục giác của nó.
Sự phụ thuộc của năng lượng vùng cấm của graphene vào độ biến dạng ε và liên kết đan xen (độ lệch chiều dài liên kết δ) được chỉ ra trong các hình 3.4 và 3.5. Như một ví dụ, trên hình 3.4 biểu diễn sự phụ thuộc của khe năng lượng của graphene có các liên kết đan xen với δ = 0,02 ˚A vào độ biến dạng ε và hướng biến dạng θ. Chúng ta thấy rằng, với ε≥ 0
hoặc ε ≤ 0 riêng lẻ, năng lượng vùng cấm phụ thuộc tuyến tính vào độ biến dạng ε được chỉ ra trong hình 3.4. Chúng ta cũng dễ dàng thấy rằng, giá trị của vùng cấm Eg gần như đối xứng với nhau qua trục thẳng đứng đi qua điểm ε = 0 (sự chênh lệch về Eg không đáng kể). Bên cạnh đó khi giữ nguyên độ biến dạng nhưng khác nhau về độ lệch chiều đài liên kết δ, năng lượng vùng cấm là lớn nhất theo hướng lực căng θ = π/4. Hình 3.4 cũng chỉ ra rằng, graphene với các liên kết đan xen có độ rộng luôn luôn bằng không trong trường hợp nó bị biến dạng dọc theo trục armchair (θ = 0) hoặc bị biến dạng dọc theo trục zigzag (θ = π/2).
Hình 3.5 biểu diễn dự phụ thuộc của khe năng lượng Eg vào hướng của biến dạng tại một số giá trị của ε và δ. Chúng ta dễ dàng thấy rằng,
Hình 3.4: Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các liên kết đan xen vào độ biến dạng ε
graphene có vùng cấm lớn nhất tương ứng với θ = π/4. Năng lượng vùng cấm đối xứng qua một đường thẳng đứng đi qua điểm tại θ = π/4. Từ hình 3.5, chúng ta thấy rằng ảnh hưởng của liên kết đan xen vào năng lượng vùng cấm của graphene biến dạng là không đáng kể. Chẳng hạn, tại ε = 7% và θ = π/4, năng lượng vùng cấm của graphene biến dạng với δ = 0 ˚A và δ = 0,03 ˚A lần lượt là 1,39 eV và 1,41 eV. Trong trường hợp này sự khác nhau năng lượng vùng cấm là rất nhỏ mặc dù δ = 0,03 ˚A là tương đối lớn. Không giống với vật liệu nano carbon một chiều, chẳng hạn như ống nano carbon và dải nano graphene. Cấu trúc hình học và biến dạng trục ảnh hưởng rất lớn đến tính chất điện tử và truyền dẫn của ống nano carbon [18] [20] và dải nano graphene [23,24,35]. Đặc biệt năng lượng vùng cấm của chúng phụ thuộc mạnh vào sự sai khác độ dài liên kết, liên kết đan xen trong ống nano carbon và dải nano graphene. Bên cạnh đó, liên kết đan xen có vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của sự chuyển pha bán dẫn–kim loại trong ống nano carbon hay dải nano graphene [18,20,23]. Ảnh hưởng của liên kết đan xen vào năng lương vùng cấm của graphene biến dạng được minh họa trong hình 3.6. Năng lượng vùng cấm phụ thuộc tuyến tính vào sự sai khác độ dài liên kết δ. Năng
Hình 3.5: Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các liên kết đan xen vào góc lệch θ.
Hình 3.6: Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các liên kết đan xen vào độ lệch chiều dài liên kết δ .
lượng vùng cấm tăng lên chỉ 2% khi δ tăng từ 0 đến 0,04 ˚A. Trong trường hợp θ = 0 và θ = π/2, độ rộng vùng cấm của graphene là bằng không và không phụ thuộc vào sự sai khác độ dài liên kết δ như biểu diễn ở hình 3.4.
Khi có mặt của liên kết đan xen và biến dạng trục, kích thước vùng Brillouin thứ nhất của graphene biến dạng sẽ thay đổi dẫn đến thay đổi hằng số mạng. Sự thay đổi giá trị của hằng số mạng sẽ kéo theo sự thay đổi vị trí cực đại của vùng hóa trị và cực tiểu của vùng dẫn. Trường hợp mạng graphene bị biến dạng theo hướng θ = 0 và θ = π/2, graphene biến dạng vẫn giữ năng lượng vùng cấm bằng không nhưng vector sóng Fermi sẽ dịch chuyển dọc theo trục Ox. Trong hình 3.7 chúng tôi biểu diễn sự phụ thuộc của vector sóng Fermi vào độ biến dạngεtại một số giá trị khác nhau của δ trong trường hợp graphene bị biến dạng theo hướng θ = 0 và θ = π/2. Ta thấy rằng trong trường hợp θ = 0, vector sóng Fermi kF phụ thuộc tuyến tính vào độ biến dạng ε trong khi sự phụ thuộc của kF vào độ biến dạng ε trong trường hợp θ = π/2 được minh họa như một nhánh
Hình 3.7: Sự phụ thuộc kF của graphene liên kết đan xen vào độ biến dạng. hypebol. Hình 3.7 cũng cho thấy rằng, ảnh hưởng của các liên kết đan xen lên sự dịch chuyển của kF cũng không đáng kể. Sự thay đổi vị trí của vector sóng Fermi đóng vai trò quan trọng trọng các bài toán xác định giá trị của dòng điện chui ngầm trong các hệ vật liệu cacbon nhiều lớp [36].
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã sử dụng mô hình điện tử liên kết mạnh kết hợp lý thuyết biến dạng đồng nhất và các tính toán cơ bản để nghiên cứu tính chất điện tử của graphene biến dạng với các liên kết đan xen.
Trong chương đầu, chúng tôi đã trình bày một cách khái quát về graphene và vai trò của của biến dạng tác dụng lên graphene. Trong chương tiếp theo, chúng tôi mô tả về cấu trúc nguyên tử graphene với các liên kết đan xen. Bằng lý thuyết biến dạng đồng nhất chúng tôi đã đưa ra các đại lượng đặc trưng của cấu trúc nguyên tử graphene với các liên kết đan xen ví dụ như các vector liên kết, vector cơ sở và chu kỳ tịnh tiến của graphene biến dạng. Bên cạnh đó, chúng tôi đã áp dụng mô hình điện tử liên kết mạnh để khảo sát tính chất điện tử của graphene đồng thời chỉ ra quy trình thực tế trong việc tính toán theo phương pháp này. Trong chương cuối của luận văn, bằng việc sử dụng mô hình liên kết mạnh và lý thuyết biến dạng đồng nhất, chúng tôi đã đưa ra biểu thức giải tích mô tả sự phụ thuộc cấu trúc năng lượng của graphene với các liên kết đan xen kiểu quinoid vào các tham số biến dạng. Cụ thể, khi có biến dạng và các liên kết đan xen, năng lượng của graphene phụ thuộc vào ứng suất ε, sự sai khác độ dài liên kết δ và góc θ hợp bởi vector lực đặt vào với trục Ox. Từ đó thấy rằng biến dạng có ảnh hưởng đến cấu trúc năng lượng và tính chất điện tử của graphene. Từ biểu thức này, chúng tôi đã sử dụng phần mềm Mathematica và Origin để tính toán và vẽ đồ thị sự ảnh hưởng của biến dạng và liên kết đan xen vào cấu trúc năng lượng của graphene để nghiên cứu tính chất điện tử của nó. Cụ thể kết quả được tóm tắt như sau:
• Năng lượng vùng cấm phụ thuộc tuyến tính vào độ biến dạng ε. • Ảnh hưởng của liên kết đan xen vào năng lượng vùng cấm của
graphene là không đáng kể. Trường hợp θ = 0 và θ = π2, năng lượng vùng cấm của graphene là ngang với mức 0 và không phụ thuộc vào sự sai khác độ dài liên kết δ.
dạng ε. Với θ = π2 sự phụ thuộc vector sóng Fermi vào độ biến dạng được mô tả là một nhánh hypebol.
Tóm lại năng lượng vùng cấm có thể được điều chỉnh phù hợp thông qua các thông số biến dạng. Điều này đem lại nhiều tính chất điện tử thú vị. Qua đó ứng dụng vào thực tiễn trong khoa học và công nghệ nano để đưa ra các sản phẩm có tính chất điện tử phù hợp từ graphene.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Electric field effect in atomically thin carbon films, Science 306 (2004) 666.
[2] P. R. Wallace, The band theory of graphite, Phys. Rev. 71 (1947) 622.
[3] C. L. Kane, E. J. Mele, Quantum spin hall effect in graphene, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 226801.
[4] A. Rycerz, J. Tworzydlo, C. Beenakker, Valley filter and valley valve in graphene, Nature Physics 3 (2007) 172.
[5] C. Lee, X. Wei, J. Kysar, J. Hone, Measurement of the Elastic Proper- ties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene, Science 321 (2008) 385.
[6] K. Kostarelos, K. S. Novoselov, Graphene devices for life, Nat Nano 9 (2014) 744.
[7] V. Chabot, D. Higgins, A. Yu, X. Xiao, Z. Chena, J. Zhang, A re- view of graphene and graphene oxide sponge: Material synthesis and applications to energy and the enviroment, J. Energy Environ. Sci. 7 (2014) 1564.
[8] R. Saito, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus, Physical properties of carbon nanotubes, Imperial College Press, London, 1998.
[9] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim, The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81 (2009) 109.
[10] J. M. Arrieta, Modelling of Plasmonic and Graphene Nanodevices, Springer, Berlin, 2014.
[11] J. Meng, D. Shi, G. Zhang, A review of nanographene: growth and applications, Mod. Phys. Lett. B 28 (2014) 1430009.
[12] S. Reich, J. Maultzsch, C. Thomsen, P. Ordejón, Tight-binding de- scription of graphene, Phys. Rev. B 66 (2002) 035412.
[13] F. Molitor, J. G¨uttinger, C. Stampfer, S. Droscher, A. Jacobsen, T. Ihn, K. Ensslin, Electronic properties of graphene nanostructures, Journal of Physics: Condensed Matter 23 (2011) 243201.
[14] N.-C. Yeh, C.-C. Hsu, M. L. Teague, J.-Q. Wang, D. A. Boyd, C.-C. Chen, Nanoscale strain engineering of graphene and graphene-based devices, Acta Mechanica Sinica 32 (2016) 497.
[15] V. M. Pereira, A. H. Castro Neto, N. M. R. Peres, Tight-binding approach to uniaxial strain in graphene, Phys. Rev. B 80 (2009) 045401.
[16] R. M. Ribeiro, V. M. Pereira, N. M. R. Peres, P. R. Briddon, A. H. C. Neto, Strained graphene: tight-binding and density functional calcu- lations, New Journal of Physics 11 (2009) 115002.
[17] K. Harigaya, M. Fujita, Dimerization structures of metallic and semi- conducting fullerene tubules, Phys. Rev. B 47(1993) 16563.
[18] N. A. Poklonski, E. F. Kislyakov, N. N. Hieu, O. N. Bubel’, S. A. Vyrko, T. C. Phong, Electronic energy band structure of uniaxially deformed (5,5) armchair carbon nanotube, Mol. Simulat. 35 (2009) 681.
[19] N. A. Poklonski, S. A. Vyrko, E. F. Kislyakov, N. N. Hieu, O. N. Bubel’, A. M. Popov, Y. E. Lozovik, A. A. Knizhnik, I. V. Lebedeva, N. A. Viet,Effect of peierls transition in armchair carbon nanotube on dynamical behaviour of encapsulated fullerene, Nanoscale Research Letters 6 (2011) 216.
[20] N. A. Poklonski, S. V. Ratkevich, S. A. Vyrko, E. F. Kislyakov, O. N. Bubel’, A. M. Popov, Y. E. Lozovik, N. N. Hieu, N. A. Viet,Structural phase transition and band gap of uniaxially deformed (6,0) carbon nanotube, Chem. Phys. Lett. 545 (2012) 71.
[21] N. Poklonski, E. Kislyakov, N. N. Hieu, S. Vyrko, O. Bubel, N. A. Viet, Totally symmetric vibrations of armchair carbon nanotubes, Computational Materials Science 49 (2010) S231.
[22] M. Fujita, M. Igami, K. Nakada, Lattice distortion in nanographite ribbons, J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 1864.
[23] N. N. Hieu, L. C. Nhan, Band structure of deformed armchair nanoribbon with bond alternation, Physica E: Low-dimensional Sys- tems and Nanostructures 60 (2014) 91.
[24] D.-B. Zhang, T. Dumitrica, Note: The role of Peierls-like distortions in the modification of electronic bandgaps of graphene nanoribbons under uniaxial strain, J. Chem. Phys. 134 (2011) 196101.
[25] C. Kittel,Introduction to solid state physics, John Wiley & Sons, New York, 1996.
[26] O. L. Blakslee, D. G. Proctor, E. J. Seldin, G. B. Spence, T. Weng,
Elastic constants of compression-annealed pyrolytic graphite, J. Appl. Phys. 41 (1970) 3373.
[27] E. M. Landau, L. D. Lifshitz, Theory of elasticity, Pergamon, New York, 1986.
[28] J. C. Slater, The electronic structure of metals, Rev. Mod. Phys. 6 (1934) 209.
[29] N. Ashcroft, N. Mermin, Solid State Physics, Saunders College, 1976. [30] C. Kittel, Introduction to solid state physics, Wiley, New York, 1986. [31] W. A. Harrison, Electronic structure and the properties of solids: The
physics of the chemical bond, Dover Publications, New York, 1989. [32] V. V. Ilyasov, I. G. Popova, I. V. Ershov, N. D. Chien, N. N. Hieu,
C. V. Nguyen,First principles study of structural, electronic and mag- netic properties of graphene adsorbed on the o-terminated mno(111) surface, Diamond and Related Materials 74 (2017) 31.
[33] V. V. Ilyasov, B. Meshi, I. Popova, I. V. Ershov, N. N. Hieu, C. V.