3 Các định lý Paley-Wiener phức
3.2 Mở rộng của hàm nguyên trên Cd
Định lý 3.2.1. ([7]) Cho A là một tập con đối xứng, compact khác rỗng của
Rd, và giả sử rằng f :Rd →C. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. (a). f là phép biến đổi Fourier của hàm trơn với giá chứa trong A.
(b). f là mở rộng của hàm nguyên giảm nhanh kiểu mũ trên Cd tương ứng với A.
Chứng minh. Đây là một trường hợp cổ điển, và dể dàng thấy rằng (a) suy ra (b).
Ngược lại giả sử f là hàm nguyên giảm nhanh trên Cd thuộc kiểu mũ tương ứng với A. Giả sử rằng λ0∈suppFf, nhưng λ0∈/A. Vì A lồi đóng và {λ0} lồi và compact, theo các định lý tách tồn tại ξ0 ∈ Rd, sao cho λ0.ξ0 > HA(ξ0). Xét đa thức Pξ0(λ) =λ.ξ0, với λ ∈Rd. Theo bổ đề 3.1.1 và bổ đề 3.1.2 ta có
supλ∈suppFf|λ.ξ0|= supλ∈suppFf|Pξ0(iλ)|
≤lim inf n→∞ ||∂ξn 0f||1∞/n ≤lim sup n→∞ ||∂ξn 0f||1∞/n ≤HA(ξ0)
sao cho HA(ξ0)< λ0.ξ0≤ |λ0.ξ0| ≤HA(ξ0), mâu thuẩn.
Ta kết luận rằng Ff có giá trong A. Vì F−1f(x) = Ff(−x), với x∈ Rd, tính đối xứng của A suy ra F−1f cũng có giá compact chứa trong A.
Định lý Paley-Wiener cho các hàm L2 cũng suy ra những kết quả tương tự, dùng bổ đề 3.1.2 và mệnh đề 2.1.1, kết quả phía sau là một sự thay thế mạnh hơn của bổ đề 3.1.1 trong chứng minh định lý 3.2.1 ở trên.
Định lý 3.2.2. ([7]) Cho A là một tập con lồi, compact khác rỗng và đối xứng
các khẳng định sau tương đương.
(a) f là phép biến đổi Fourier của hàm trong L2(Rd) với giá chứa trong A. (b) f thuộcL2(Rd) là mở rộng của hàm nguyên trênCd kiểu mũ tương ứng trong A.
Chứng minh. Dể thấy (a) suy ra (b). Giả sử có (b), theo định lý Plancherel suy ra F−1f ∈L2(Rd). Áp dụng bổ đề 3.1.2, và trường hợpp=∞của mệnh đề 2.1.1 cho f suy ra với mọi ξ∈Rd, supx∈suppFf|ξ.x| ≤HA(ξ). Áp dụng định lý tách như chứng minh định lý 3.2.1 suy ra suppFf chứa trong A và tính đối xứng của A suy ra điều tương tự cũng đúng cho suppF−1f.
Chú ý 3.2.1. Cho A là một tập con lồi, compact khác rỗng và đối xứng của
Rd. Cho 1 ≤p ≤ ∞ và HAp(Cd) là không gian các hàm nguyên f kiểu mũ tương ứng với A, mà hạn chế của nó lên Rd thuộc Lp(Rd). Như trong chứng minh định lý 3.2.2, Áp dụng bổ đề 3.1.2, và trường hợp p = ∞ của mệnh đề 2.1.1 cho f suy ra hàm suy rộng Ff ( và do đó hàm suy rộng F−f) có giá trong A, với mọi f ∈ HAp(Cd). Đặc biệt với 1 ≤ p ≤ 2 với số mũ liên hiệp q, ta có thể thiết lập bằng các phương pháp thực rằng F và F−1 biến HAp(Cd) thành không gian con của Lq(Rd) gồm các hàm với giá suy rộng trong A.
Định lý Paley- Wiener phức đối xứng cho các hàm suy rộng với giá compact có thể suy ra bằng cách dùng mệnh đề 2.2.2.
Định lý 3.2.3. ([7]) Cho A là một tập con lồi, compact khác rỗng và đối xứng của Rd, giả sử f :Rd →C . Khi đó các khẳng định sau tương đương.
(a) f là phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng với giá chứa trong A.
(b) f là mở rộng của hàm nguyên trên Cd, tồn tại số nguyên N ∈ N∗ và hằng số C, sao cho |f(z)| ≤C(1 +|x|)NeHA(Imz), với mọi z ∈Cd.
Trong trường hợp này, số nguyên N ở trong (b) có thể chọn làm bậc của F−1f Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (b) suy ra (a), (phần (a) suy ra (b) là nhiển nhiên). Cố định ξ∈Rd. Ta chứng minh rằng tồn tại hằng số C0 sao cho với mọi x∈Rd và n > N,
|∂ξnf(x)| ≤C0nN+1HA(ξ)n(1 +|x|)N+1. (3.7)
Điều này là đúng theo mệnh đề 2.2.2 và các chú ý phía sau rằng, với mọi ξ ∈ Rd,maxλ∈suppF−1f|λ.ξ| ≤ HA(ξ). Khi đó phát biểu suy ra từ một lập luận
tách như trong định lý 3.2.1. Theo (3.7) một tích phân trên đường cong kín như trong chứng minh bổ đề 3.1.2 suy ra rằng với mọi x∈Rd, n∈N và r >0
|∂ξnf(x)| ≤Cn!
rn(1 +|x|+r|ξ|)NerHA(ξ),
trong đó C như trong (b). Nếu HA(ξ) = 0 thì vì n > N,cho r→ ∞ ta được (3.7). Nếu HA(ξ)6= 0, chọn r= Hn
A(ξ) >0, sao cho với mọi x∈Rd và n∈N,
|∂ξnf(x)| ≤Cn!e n nn HA(ξ)n(1 +|x|+ n|ξ| HA(ξ)) N ≤CnNn!e n nn HA(ξ)n(1 +|x|+ |ξ| HA(ξ)) N, và nhờ các công thức Stirling ta sẽ có (3.7).
KẾT LUẬN
Trên cơ sở tổng quan một số kiến thức liên quan về không gian các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng, luận văn đi sâu vào tìm hiểu một số dạng thức của Định lý Paley- Wiener thông qua một số kết quả nghiên cứu gần đây của một số tác giả liên quan đến vấn đề này như: H.H. Bảng, V.K. Tuấn, N.B. Andersen, M. de Jeu, L.D. Abreu... Cụ thể trong chương 2 và chương 3 ta đề cập đến mối quan hệ giữa dáng tăng của dãy {P(∂)nf}∞n=0 trên Rd và supremum của |P(iλ)| trên giá của Ff, các định lý Paley-Wiener phức và mở rộng của hàm nguyên trên Cd.
Do thời gian học tập, nghiên cứu có hạn và năng lực còn nhiều hạn chế, một số kết quả đạt được còn rất khiêm tốn. Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót và chưa có điều kiện đi sâu vào nghiên cứu. Hy vọng với nhiều thời gian hơn, được thầy cô và các đồng nghiệp góp ý để chúng tôi có thể tiếp tục nghiên cứu thêm và đạt được kết quả tốt. Xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Hoàng (2013), Giải tích hàm,Bài giảng Sau Đại học, Đại học Huế. [2] Lê Viết Ngư (1998), Hàm Suy Rộng, Bài giảng Sau Đại học, Đại học Huế. [3] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Nhà
xuất bản Hà Nội.
Tiếng Anh
[4] L.B. Andersen (2003) On real Paley - Wiener theorems for certain integral transform , J.Math. Anal Appl.228, 124-135.
[5] L.B. Andersen (2004) On real Paley - Wiener theorems for the inverse Fourier transform on a Riemann-ian symmetric spase , Paccific J.Math. 213.
[6] L.B. Andersen (2004)"On real Paley - Wiener theorems”, Bull. london Math. Soc. 36, 504-508.
[7] Nils Byrial Andersen and Marcel. De Jeu (2008), Real Paley - Wiener the- orems and local Spectral radius formulas. Transactions of the American Mathematical Society Volume 362, Number 7, July 2010, Pager 3613 - 3640. [8] H.H. Bang (1997), The Paley- Wiener-Schwartz theorems for nonconvex domain, in Functional anal- ysis and global analysis (Quezon city (1996), 14-30, Springer, Singapore.
[9] H.H. Bang (1997), Nonconvex cases of The Paley- Wiener-Schwartz theo- rems, Dokl. Akad. Nauk 354, 165-168.
[10] M. De Jeu (2006), Real Paley - Wiener theorems for the Dunkl transform, trans. Amer. Math. soc. 358, 4225-4250.
[11] Gunther Hormann - Roland Steinbauer (2009), Theory of Distributions, Fakultat fur Mathematik.
[12] V.K. Tuan (1999), Paley- Wiener type theorems, and Boas theorems, Fract. Calc. Appl. Anal. 2, 135-143.
[13] V.K. Tuan (2002), Paley- Wiener and Boas theorems for singular -Sturm- Liouville integral transform, Ads. in Appl. Math. 29, 563-580.
[14] V.K. Tuan (2004), A real- variable Paley- Wiener and Boas theorems for the Dunkl transform, Abstract and Applied Analysis, 365-371, World sci. River Edge, NJ.
[15] F. Trefves, (1967), Topological vector spaces, distributions and kernels, Aca- demic Press, New York - london.