2.1 Cho S và T là hai tập con của IRm và IR n tương ứng. Nếu với mỗi phầân tử x ∈ S xác định một tập Y khơng rỗng thuộc T, ta gọi đĩ là một ánh xạ phầân tử x ∈ S xác định một tập Y khơng rỗng thuộc T, ta gọi đĩ là một ánh xạ đa trị ϕ từ S vào T. Ký hiệu Y = ϕ(x).
2.2 Ký hiệu S là tập con thuộc IRm, T là tập con thuộc IRn , T compact, {xq
} là dãy các điểm thuộc S, {yq} là dãy các điểm thuộc T, ϕ là ánh xạ đa trị từ S vào T
+ x0∈ S. Aùnh xạ ϕ là nửa liên tục trên tại x0 nếu: {xq}→ x0 , yq∈ϕ(xq) ∀q , {yq}→ y0 thì y0∈ϕ(x0) + Ánh xạ ϕ là nửa liên tục dưới tại x0 nếu:
{xq}→ x0 , ∀ y0∈ϕ (x0) thì tồn tại một dãy
+ Ánh xạ ϕ là liên tục tại x0 nếu nĩ nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x0.
2.3 Một tập con của tập S X T xác định như sau:
{(x, y) ∈ S X T / y ∈ϕ(x)}
Gọi là đồ thị của ánh xạ đa trị ϕ từ S vào T.
2.4 Ánh xạ đa trị ϕ từ S vào T là nửa liên tục trên khi và chỉ khi đồ thị của nĩ là tập con đĩng của tập S X T. của nĩ là tập con đĩng của tập S X T.
2.5 Cho S1, S2, T là các tập con tương ứng của IRm1, IRm2, IRn , f là hàm từ S1 vào S2 và ϕ là ánh xạ đa trị từ S2 vào T. Định nghĩa ánh xạ đa trị ξ từ S1 vào S1 vào S2 và ϕ là ánh xạ đa trị từ S2 vào T. Định nghĩa ánh xạ đa trị ξ từ S1 vào T như sau ξ(x) = ϕ(f(x))∀x ∈ S1.
Khi đĩ:
Nếu f là liên tục tại x ∈ S1, ϕ là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại f(x) ∈ S2 thì ξ là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại x.
2.6 Cho S1, S2, T là các tập con tương ứng của IRm1, IRm2, IRn , ϕ là ánh xạ đa trị từ S1 vào S2 và f là hàm từ S2 vào T. Định nghĩa ánh xạ đa trị ξ từ S1 vào đa trị từ S1 vào S2 và f là hàm từ S2 vào T. Định nghĩa ánh xạ đa trị ξ từ S1 vào T như sau ξ(x) = f(ϕ(x)) ∀x ∈ S1.
Khi đĩ:
Nếu ϕ là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) x ∈ S1 , f là liên tục trên S2
thì ξ là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại x.
2.7 Cho Tk là các tập con của IR k = nk 1,p và ϕk là ánh xạ đa trị từ S vào Tk, S là tập con thuộc IRm, Đặt T =. Tk, S là tập con thuộc IRm, Đặt T =.
Định nghĩa ánh xạ đa trị ϕ từ S vào T như sau:
ϕ(x) = ∀x ∈ S. Giả sử Tk compact ∀k (nên T cũng compact). Khi đĩ ta cĩ:
Nếu ϕk là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại x ∈ S ∀k = = 1,p
2.8 Cho ϕ là ánh xạ đa trị từ S vào T. Giả thiết ϕ(x) đĩng ∀x ∈ S. Cho f là hàm giá trị thực trên S X T, ký hiệu f(x,y) với y ∈ ϕ(x). Định nghĩa ánh xạ là hàm giá trị thực trên S X T, ký hiệu f(x,y) với y ∈ ϕ(x). Định nghĩa ánh xạ đa trị µ từ S vào T như sau:
µ(x) = {y ∈ϕ(x) / f(x,y) đạt giá trị lớn nhất}
Khi đĩ: Nếu f là liên tục trên S X T và ϕ là liên tục tại x ∈ S thì µ là nửa liên tục trên tại x.