ph−ơng trình động học của robot
3.5. Trình tự thiết lập hệ ph−ơng trình động học của robot:
Để thiết lập hệ ph−ơng trình động học của robot, ta tiến hành theo các b−ớc sau : 1. Chọn hệ toạ độ cơ sở, gắn các hệ toạ độ mở rộng lên các khâụ
Việc gắn hệ toạ độ lên các khâu đóng vai trò rất quan trọng khi xác lập hệ ph−ơng trình động học của robot, thông th−ờng đây cũng là b−ớc khó nhất. Nguyên tắc gắn hệ toạ độ lên các khâu đã đ−ợc trình bày một cách tổng quát trong phần 3.5. Trong thực tế, các trục khớp của robot th−ờng song song hoặc vuông góc với nhau, đồng thời thông qua các phép biến đổi của ma trận A ta có thể xác định các hệ toạ độ gắn trên các khâu của robot theo trình tự sau :
+ Chọn gốc toạ độ O
0, O
1, ... + Các trục z + Các trục z
n phải chọn cùng ph−ơng với trục khớp thứ n+1. + Chọn trục x n là trục quay của z n thành z n+1 và góc của z n với z n+1 chính là α n+1. Nếu z n và z n+1 song song hoặc trùng nhau thì ta có thể căn cứ nguyên tắc chung hay chọn x
n theo x
n+1. + Các hệ toạ độ Oxyz phải tuân theo qui tắc bàn tay phảị
+ Khi gắn hệ toạ độ lên các khâu, phải tuân theo các phép biến đổi của ma trận A
n. đó là bốn phép biến đổi : A
n = Rot(z,θ) Trans(0,0,d) Trans(a,0,0) Rot(x,α). Nghĩa là ta coi hệ toạ độ thứ n+1 là biến đổi của hệ toạ độ thứ n; các phép quay và tịnh tiến của biến đổi này phải là một trong các phép biến đổi của A
n, các thông số DH cũng đ−ợc xác định dựa vào các phép biến đổi nàỵ Trong quá
trình gắn hệ tọa độ lên các khâu, nếu xuất hiện phép quay của trục z
n đối với z
n-1 quanh trục y
n-1 thì vị trí ban đầu của robot đã giả định là không đúng, ta cần chọn lại vị trí ban đầu khác cho robot. 2. Lập bảng thông số DH (Denavit Hartenberg).
3. Dựa vào các thông số DH xác định các ma trận A
n.
4. Tính các ma trận T và viết các ph−ơng trình động học của robot.
Ví dụ sau đây trình bày chi tiết của các b−ớc khi thiết lập hệ ph−ơng trình động học của robot: Cho một robot có ba khâu, cấu hình RRT nh− hình 3.11. Hãy thiết lập hệ ph−ơng trình động học của robot.
Hình 3.11 Rôbốt RRT 1. Gắn hệ toạ độ lên các khâu:
Ta giả định vị trí ban đầu và chọn gốc toạ độ O
0 của robot nh− hình 3.12. Các trục z đặt cùng ph−ơng với các trục khớp.
Hình 3.12 Gắn các hệ tọa độ O0 và O1 Ta thấy trục z
1 đã quay t−ơng đối một góc 900 so với trục z
0, đây chính là phép quay quanh trục x
một góc α
1 (phép biến đổi Rot(x
0,α 1) trong biểu thức tính A n). Nghĩa là trục x 0 vuông góc với z 0 và z 1. Ta chọn chiều của x
0 từ trái sang phải thì góc quay α
1=900 (chiều d−ơng ng−ợc chiều kim đồng hồ). Đồng thời ta cũng thấy gốc O
1 đã tịnh tiến một đoạn dọc theo z
0 , so với O
0, đó chính là phép biến đổi Trans(0,0,d
1) (tịnh tiến dọc theo z 0 một đoạn d 1) ; các trục y 0,và y 1 xác định theo qui tắc bàn tay phải (Hình 3.12 ) . Tiếp tục chọn gốc tọa độ O 2 đặt trùng với O
1 vì trục khớp thứ ba và trục khớp thứ hai cắt nhau tại O
1 (nh− hình 3.12). Trục z
2 cùng ph−ơng với trục khớp thứ ba, tức là đã quay đi một góc 900 so với z
1 quanh trục y
1; phép biến đổi nầy không có trong biểu thức tính A
n nên không dùng đ−ợc, ta cần chọn lại vị trí ban đầu của robot (thay đổi vị trí của khâu thứ 3) nh− hình 3.13.
Hình 3.13 Hệ tọa độ gắn lên các khâu Theo hình 3.13, O 2 vẫn đ−ợc đặt trùng với O 1, trục z 2 có ph−ơng thẳng đứng, nghĩa là ta đã quay trục z 1 thành z 2 quanh trục x 1 một góc -900 (tức α 2= -900). Đầu cuối của khâu thứ 3 không có khớp, ta đặt O
3 tại điểm giữa của các ngón tay, và trục z
3, x
3 chọn nh− hình vẽ, nh− vậy ta đã tịnh tiến gốc toạ độ dọc theo z
2 một đoạn d
3 (Phép biến đổi Trans(0,0,d
3)), vì đây là khâu tịnh tiến nên d
3 là biến .
Nh− vậy việc gắn các hệ toạ độ lên các khâu của robot đã hoàn thành. Thông qua các phân tích trên đây, ta có thể xác định đ−ợc các thông số DH của robot.
2. Lập bảng thông số DH : Khâu θ i α i a i d i 1 θ 1 * 90 0 d 1 2 θ i * -90 0 0 3 0 0 0 d 3 *
3. Xác định các ma trận A: Ma trận A
n có dạng :
4. Tính các ma trận biến đổi thuần nhất T:
Ta có hệ ph−ơng trình động học của robot nh− sau:
(Ta có thể sơ bộ kiểm tra kết quả tính toán bằng cách dựa vào toạ độ vị trí p
x ,p y , p z đã tính so với cách tính hình học trên hình vẽ).