2 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SA
2.6 Rẽ nhánh dĩa
2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳCho phương trình sai phân Cho phương trình sai phân
xn+1 =µ+xn−x2n+1 với µ∈R. Điểm bất động của f(µ, x) = µ+x−x2 thỏa mãn
µ+x−x2 =x. Khi đó.
• Nếu µ <0, f không có điểm bất động.
• Nếu µ= 0, f có một điểm bất động.
• Nếu µ >0, f có hai điểm bất động x1=√
µ và x2=−√µ. Tạiµ= 1, f có hai điểm bất động x= 1 và x2=−1. Mặt khác, ∂f
∂x(µ,1) =−1. Áp dụng Định lý 2.4.1 ta thấy trong mọi lân cận của (µ, x) đều có điểm bất
động tuần hoàn chu kỳ 2. Tại tham số µ = 1 xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Hơn nữa ∂f
∂µ(µ, x) = 16= 0.
Bảng phân loại các rẽ nhánh cơ bản của phương trình sai phân một chiều dưới đây được rút ra từ các định lý và các dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh.Khi đạo hàm tại điểm bất động là 1 hoặc −1, loại rẽ nhánh có thể xảy ra phụ thuộc vào đạo hàm riêng.
nút-yên ngựa
Rẽ nhánh
dĩa, xuyên tới hạn nhân đôi chu kỳ
1 ∂f ∂x(¯a,¯x) 1 −1 6 = 0 ∂f ∂a(¯a,¯x) 0 6 = 0
Chương 3
RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG
Trong hệ phẳng hiện tượng rẽ nhánh xảy ra phức tạp hơn rất nhiều so với rẽ nhánh trong không gian một chiều. Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu một số ví dụ về rẽ nhánh trong trường hợp co diện tích và trường hợp bảo toàn diện tích.
3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích
Định lý 3.1.1. Giả sử f là một ánh xạ trơn trên Rn. Nếu v là điểm bất động của fa và 1 không là giá trị riêng của Dfa(v) thì (a, v) là thác triển được.
Ví dụ 3.1.1 Xét ánh xạ
fa :R2 −→ R2
(x, y) 7−→ fa(x, y) = (ga(x),0.2y)
Với ga(x) = a−x2, ta thấy ma trận Jacobi fa có giá trị riêng e1 = g0a(x) và e2= 0.2. Định lý 3.1.1 cho các họ tham số trong hệ phẳng nói rằng rẽ nhánh chỉ có thể xảy ra tại +1 là giá trị riêng của Dfa. Chính vì vậy đồ thị f xảy ra rẽ nhánh khi g0a = +1. Nói cách khác đồ thị f xảy ra rẽ nhánh tại chính tham số ở đó xảy ra rẽ nhánh của ga. Điểm bất động hyperbolic của fa khác hơn trong trường hợp một chiều: fa có một điểm nút và một điểm yên ngựa còn ga thì có một điểm đẩy và một điểm hút. Hình 3.1 mô tả rẽ nhánh nút- yên ngựa và rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ của đồ thị fa. Tại rẽ nhánh nhân đôi
chu kỳ giá trị riênge1 đi qua −1. Một nhánh của điểm bất động hút thay đổi thành một nhánh yên ngựa như hai nhánh của điểm tuần hoàn chu kỳ 2.