2 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao
2.3 Bao tổng quát
Định nghĩa 2.3.1. (1) Lấy một tập khác rỗng lớp các R-môđun phải X, đóng dưới các tự đồng cấu. Môt X - tiền bao của một R-môđun phải M
là một đồng cấu: u : M → X với X ∈ X sao cho với bất kỳ đồng cấu
g : M → X0 với X0 ∈ X có thể mở rộng đến u. Điều đó có nghĩa là sơ đồ sau giao hoán:
M u - X X0 g ?........ ........ ........ ........ h
(2) Môt X −tiền bao u : M →X được gọi là một X −bao nếu nó thỏa mãn tính chất với bất kỳ tự đồng cấu h : X → X sao cho h◦u = u thì h phải là tự đẳng cấu. Tức là sơ đồ sau giao hoán:
M u -X X u ?........ ........ ........ ........ . h
(3) Môt X − bao (tiền bao) u : M → X được gọi là đơn cấu X − bao (tiền bao) nếu u là một đơn cấu. Dễ dàng kiểm tra được trường hợp này xảy ra khi X chứa lớp các môđun nội xạ.
Định lý 2.3.2. Giả sử M là môđun với X-bao u : M → X. Khi đó nếu
u0 :M → X0 là một X-bao khác của M thì X0 đẳng cấu tới X.
Chứng minh. Giả sử rằng u : M → X và u0 : M → X0 là hai bao của
M. Theo định nghĩa của tiền bao, ta suy ra rằng tồn tại hai đơn cấu
f : X → X0 và f0 : X0 → X sao cho u0 = f ◦u, u = f0 ◦u0. Từ đó ta suy ra rằng f ◦f0◦u0 = u0 và f0◦f ◦u= u. Do định nghĩa của X-bao, ta suy ra f ◦f0 và f ◦f0 là các đẳng cấu, vì vậy f, f0 cũng là các đẳng cấu.
Định lý 2.3.3. Lấy M là một R - môđun phải và lấyM1 và M2 là môđun con của M sao cho M = M1 ⊕ M2. Giả sử rằng M1 và M2 có các X- bao (tiền bao) tương ứng là u1 : M1 → X1 và u2 : M2 → X2. Khi đó
u1 ⊕u2 :M →X1 ⊕X2 là X - bao (tiền bao) của M.
Chứng minh. Nếuu0 : M →X0 là một đồng cấu vớiX0 ∈ X, khi đó ta suy ra rằngu0◦iM1 = f1◦u1 vàu0◦iM2 = f2◦u2 vớif1 : X1 → X0, f2 : X2 → X0
(VớiiM1,iM2 là các đồng cấu bao hàm từ M1,M2 đến M). Theo tính chất của tổng trực tiếp ta suy ra tồn tại f : X1⊕X2 → X0 sao cho f ◦iX1 = f
và f ◦iX2 = f2. Dễ dàng ta chứng minh được rằng f ◦(u1 ⊕u2) = u0. Do dó trong trường hợp u1 ⊕u2 là X - tiền bao của M ta dễ dàng suy ra
u1 ⊕u2 là X-bao của M.
Ví dụ 2.3.4. Lấy X là lớp tất cả các môđun nội xạ. Lấy M ∈ Mod-R. Khi đó đồng cấu: i : M → E(M) là một X − tiền bao vì với mọi X0 nội xạ, thì do tính chất nội xạ, nên với mọi đồng cấu g : M → X0 đều có thể mở rộng đến i, tức là sơ đồ sau giao hoán:
M i -E(M) X0 g ?........ ........ ........ ...... h
Ví dụ 2.3.5. Lấy X là lớp tất cả các môđun nội xạ. Lấy M ∈ Mod -R. Khi đó đồng cấu: i :M →E(M) là một X − bao.
Thật vậy, ta chứng minh sơ đồ sau giao hoán và h là đẳng cấu:
M i - E(M) E(M) g ?........ ........ ........ ...... h
DoE(M) là một môđun nội xạ nên sơ đồ trên giao hoán, ta đi chứng minh
h là đẳng cấu.
Giả sử tồn tại h0 : E(M) →E(M). Khi đó ta có:
và
i = h0 ◦i = h0 ◦(h◦i) = (h0 ◦h)◦i ⇒ h0◦h = 1
Từ đó ta suy ra h là đẳng cấu nên i : M → E(M) là một X - bao.
Ví dụ 2.3.6. Xét phạm trù Mod-Z, X là lớp các môđun chia được, Z ∈
Mod-Z. Khi đó, đơn cấu nhúng: i : Z → Q là một đơn cấu X-bao. Thật vậy, ta có bao nội xạ của Z là Q và phép nhúng i : Z →Q là đơn cấu, nên theo ví dụ trên ta có i là một đơn cấu X-bao.
Z i -Q Q g ?........ ........ ........ ........ h