ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP CẤP
2.1 Các khái niệm và định nghĩa
Trong chương này ta trình bày các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho bài toán(P)sau:
Minimize f0(x),
fi(x)60, i=1, ...,m, x∈X,
trong đó X ⊆ Rn và các hàm fi,i= 0,1, ...,m được xác định trên X. X là một tập mở.
Kí hiệuRlà tập các số thực,R¯ =R∪ {−∞} ∪ {+∞}là đường thẳng thực mở rộng. Giả sử hàm f :X →Rkhả vi tạix∈X.
Định nghĩa 2.1.1. Đạo hàm theo phương cấp 2 dưới f−00(x,u) của f tại
x∈X theo phương u∈Rnlà một phần tử của R¯ được xác định bởi
f−00 (x,u) =lim inf
t→+0
2
t2(f(x+tu)− f(x)−t5 f(x)u).
Định nghĩa 2.1.2. Nếu giới hạn
f00(x,u) = lim
t→+0
2
t2(f(x+tu)− f(x)−t5f (x)u)
tồn tại thì hàm được gọi là khả vi theo phương cấp 2 tại điểm x ∈X theo phương u ∈R và f00(x,u) là đạo hàm theo phương cấp 2 của nó. Hàm f
được gọi là khả vi theo phương cấp 2 trênX nếu đạo hàm f00(x,u) tồn tại với mỗix∈X và phương bất kỳ u∈Rn.
Định nghĩa 2.1.3. Cho một hàm khả vi f :X →R. Ánh xạ gradient
5f :X →Rn được gọi là liên tục Lipschitz tại x¯∈X nếu tồn tạiL>0 và
δ >0 sao cho:
k 5 f(x)− 5f(x¯)k6Lkx−x¯k, với mọi kx−x¯k6δ.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sửX là tập lồi. Một hàm f :X →Rđược gọi là tựa lồi trênX nếu
x,x¯∈X, f(x)6 f(x¯) =⇒ f(x¯+t(x−x¯))6 f(x¯), ∀t ∈[0,1].
Định nghĩa sau đây về tính tựa lồi cho hàm khả vi được sử dụng cho các điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục:
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử f khả vi tại x¯∈X. Khi đó f được gọi là tựa lồi tạix¯theoX nếu
x∈X, f(x)6 f (x¯) =⇒ 5f(x¯) (x−x¯)60 (2.1)
Một hàm khả vi f được gọi là tựa lồi trên X nếu suy luận (2.1) đúng với mọix¯∈X. Nếu X lồi và f khả vi trênX thì cả hai định nghĩa trên là tương đương.
Khái niệm sau đây về hàm giả lồi mạnh được đưa vào bởi Diewert, Avriel, Zang [8]:
Định nghĩa 2.1.6. ChoX là tập con lồi mở củaRn. Hàm f :X→Rđược gọi là giả lồi mạnh nếu với mọix∈X vàv∈Rnsao chokvk=1và5f (x)v=0, tồn tại các số dươngε và β sao chox±εv∈X và
f(x+tv)> f(x) +βt2, 06t <ε.
Sử dụng định nghĩa này ta gọi hàm f xác định trên tập mở X ⊆ Rn và khả vi tạix¯∈X, giả lồi mạnh tại x¯nếu với mọi v∈Rn sao cho kvk=1 và
5f(x¯)v=0, tồn tại các số dươngε và β sao chox¯±εv∈X và f(x¯+tv)> f(x¯) +βt2, 06t <ε.
Định nghĩa 2.1.7. Hàm khả vi f xác định trên tập lồi mởX ⊆Rn được gọi là giả lồi chặt trênX nếu suy luận sau đây đúng: với mọix∈X,y∈X phân biệt,
f (y)6 f(x) =⇒ 5f (x) (y−x)<0
Một hàm f được gọi là giả lồi chặt tạix¯∈X trên tập mởX nếu
x∈X,x6=x,¯ f(x)6 f(x¯) =⇒ 5f(x¯) (x−x¯)<0
Mọi hàm giả lồi mạnh là giả lồi chặt [8, mệnh đề 2.1].
Định nghĩa 2.1.8. Hàm f xác định trên tập lồiX được gọi là lồi mạnh trên
X nếu tồn tạiκ >0 sao cho
f(ty+ (1−t)x)6t f (y) + (1−t)f (x)−κt(1−t)ky−xk2,
với mọix∈X,y∈X vàt∈[0,1].
Định nghĩa 2.1.9. Xét hàm f :X→Rkhả vi tạix∈X và khả vi theo phương cấp 2 tạix∈X theo mọi phươngy−x sao cho
Hàm f là giả lõm cấp 2 tạix∈X nếu với mọi y∈X các suy luận sau đúng:
f (y)> f(x) =⇒ 5f(x) (y−x)>0;
f (y)> f(x), 5f(x) (y−x) =0 =⇒ f00(x,y−x)>0. Xét bài toán(P). Giả sử rằng fi,i=0,1, ...,m là các hàm thực xác định trên tập mở X trong không gian Euclid hữu hạn chiều Rn. (P) được gọi là khả vi nếu tất cả các hàm fi,i=0,1, ...,mkhả vi trên X. Ký hiệu
S :={x∈X|fi(x)60,i=1,2, ...,m}.
Với mọi điểm chấp nhận được x ∈S, ký hiệu I(x) là tập các chỉ số ràng buộc tích cực
I(x):={i∈ {i=1,2, ...,m} |fi(x) =0}. Giả sử rằng với điểm chấp nhận được x¯ta có
I(x¯) ={1,2, ...,p}, trong đó p 6m Một phươngd được gọi là tới hạn tại điểmx∈S nếu
5fi(x)d 60, ∀i∈ {0} ∪I(x).
Với một vectơ cố địnhx¯∈Rn và phương tới hạnd ∈Rn, ta đặt I0(x,¯ d):={i∈ {0} ∪I(x¯)| 5 fi(x¯)d =0}.
Định nghĩa 2.1.10. Điểm chấp nhận đượcx¯được gọi là cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 của bài toán(P)nếu tồn tại lân cậnN của x¯và hằng sốC>0
sao cho
f0(x)> f0(x¯) +Ckx−x¯k2, ∀x∈N∩S. (2.2)
Tên khác được sử dụng cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 là: cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Điểm chấp nhận được x¯ được gọi là cực tiểu toàn cục cô lập cấp 2 của bài toán (P) nếu tồn tại hằng số C> 0 sao cho (2.2)
đúng với mọix∈S.
Các định lý sau đây được cho trong Ginchev, Ivanov [6].
Định lý 2.1.11. (Điều kiện đủ cấp 2) Giả sử X ⊆Rn là tập lồi mở và x¯ là điểm chấp nhận được. Giả sử fi(i∈ {0} ∪I(x¯)) thuộc lớp C1,1(X) và khả vi theo phương cấp 2. Nếu với mọi phương tới hạnd ∈Rn\ {0}, không tồn tạiz∈Rnthỏa mãn
5fi(x¯)z+ fi00(x,¯ d)60, với mọi i∈I0(x,¯ d),
thìx¯là cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Định lý 2.1.12. (Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2) Giả sử X là tập lồi mở và
¯
x là điểm chấp nhận được, fi(i∈ {0} ∪I(x¯)) thuộc lớp C1,1(X) và khả vi theo phương cấp 2. Nếu với mọi phương tới hạnd 6=0 tồn tại các nhân tử Lagrangeλi >0,i=0,1,2, ...,mvớiλ = (λ0,λ1, ...,λm)6=0 sao cho
λifi(x¯) =0 i=1,2, ...,m, p ∑ i=0 λi5 fi(x¯) =0, p ∑ i=0 λifi00(x,¯ d)>0,
thìx¯là cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.