(Bài được trích từ “Bài chuẩn bị Icho 39”)
HOA QUẢ; RAU CỎ VÀ CÁC NGUYÊN TỬ
Khi giải quyết vấn đề này,chưa có loại rau quả nào bị phá hủy!
Năm 1611, nhà toán học và thiên văn học người Đức, Johannes Kepler, nghiên cứu sự sắp xếp các viên đạn của súng thần công trong một kim tự tháp. Ông khẳng định rằng chỉ có một cách duy nhất để sắp xếp các quả cầu cứng giống hệt nhau vào một thể tích sao cho khít nhất có thể, “…không thể có thếm bất cứ một cách sắp xếp nào khác để chèn thêm dù một viên đạn nữa vào hòm đó”. Ông là người đầu tiên phát biểu về một vấn đề như vậy và sau này nó được gọi là “sự phỏng đoán Kepler”. Năm 1998, Giáo sư Thomas Hales1 đã đưa ra giải pháp cho “sự phỏng đoán Kepler”. Nội dung của giải pháp này đã được trình bày trong loạt bài báo trên tờ “Hình học rời rạc và điện toán” ra đời từ năm 1997. Ông nghiên cứu hơn 150 cách sắp xếp khác nhau khác với cách mà Kepler đã đưa ra. Giải pháp của Hales đòi hỏi khoảng 250 trang giấy in và dung lượng 3 GB các file trong máy tính. Qua các chứng minh toán học chặt chẽ, thuật ngữ “sự sắp xếp đặc khít các quả cầu” (c.p.s.) đã được chấp nhận rộng rãi trong lĩnh vực hóa học chất rắn và cho đến nay nó vẫn còn giá trị.
Chúng tôi không yêu cầu các bạn phải đưa ra một giải pháp khác cho vấn đề này. Tuy nhiên, chúng tôi giúp các bạn có thể kiểm tra xem qui luật cơ bản về sự lấp đầy không gian này được ứng dụng như thế nào trong cuộc sống thường ngày của chúng ta.
1. Để tránh cho cà chua bị dập vỡ trong quá trình vận chuyển, người ta xếp nó thành từng đơn lớp đồng đều. Xét 2 cách xếp sau (Hình 2)
Hình 2: Hai cách xếp khả dĩ các quả cà chua
a) Tính mật độ sắp xếp (độ đặc khít) ϕ của các quả cà chua cho trường hợp A và B với ϕ = Scà chua/ (Strống + Scà chua) ϕ = Scà chua/ (Strống + Scà chua)
b) Kiểu sắp xếp nào đòi hỏi ít diện tích hơn?
2. Những loại rau cứng như khoai tây, cải bắp có thể được xếp vào thùng. Ta hãy xét một vài kiểu xếp sau đây:
(1) Lớp thứ nhất sắp xếp theo kiểu A (Hình 2). Lớp thứ 2 hoàn toàn giống lớp thứ nhất, một bắp cải ở lớp thứ 2 được xếp ngay lên trên một bắp cải ở lớp thứ nhất (kiểu sắp xếp này thường được gọi là lập phương đơn giản: s.c.).
(2) Lớp thứ nhất sắp xếp theo kiểu A. Ở lớp thứ 2, một bắp cải được xếp ngay trên khoảng trống ở lớp thứ nhất (sắp xếp lập phương tâm khối: b.c.c.)
(3) Lớp thứ nhất sắp xếp theo kiểu B. Lớp thứ 2 hoàn toàn giống lớp thứ nhất, một bắp cải ở lớp thứ 2 được xếp ngay lên trên một bắp cải ở lớp thứ nhất (sắp xếp lục phương: h.p.).
(4) Lớp thứ nhất sắp xếp theo kiểu B. Ở lớp thứ 2, một bắp cải được xếp ngay trên khoảng trống ở lớp thứ nhất (sắp xếp lục phương chặt khít: h.c.p.).
a) Tính độ đặc khít cho mỗi trường hợp sắp xếp từ (1) đến (4).
b) Khi xếp rau củ vào xe tải chở hàng, kiểu sắp xếp nào cho hiệu quả cao hơn?
c) Có hai cách sắp xếp lớp thứ ba trong trường hợp B: (i) rau củ ở lớp thứ 3 được xếp bêntrên rau củ ở lớp thứ nhất (tức là xếp vào khoảng trống của lớp thứ hai); (ii) rau củ ở lớp trên rau củ ở lớp thứ nhất (tức là xếp vào khoảng trống của lớp thứ hai); (ii) rau củ ở lớp
thứ 3 được xếp lên trên khoảng trống của lớp thứ nhất (xem trường hợp B, hình 2). Hãy tính độ chặt khít ϕ cho cách sắp xếp thứ 2, được gọi là sắp xếp lập phương tâm diện: f.b.c.
d) Có một người nông dân đã xếp lớp thứ ba theo kiểu f.c.c. và bây giờ không xác địnhđược đâu là khoảng trống, đâu là rau củ đã xếp ở lớp thứ nhất. Giá trị ϕ sẽ thay đổi như thế được đâu là khoảng trống, đâu là rau củ đã xếp ở lớp thứ nhất. Giá trị ϕ sẽ thay đổi như thế nào do sự sai lệch khi sắp xếp các lớp chặt khít tiếp theo?
3. Giả sử người nông dân nảy ra ý định muốn xếp chung đào và dưa hấu vào xe bằng cách xếp đào vào khoảng trống giữa các quả dưa hấu.
a) Hãy tính tỉ lệ bán kính giữa quả đào và dưa hấu lớn nhất có thể để tránh bị dập các quảđào trong các trường hợp xếp đào vào: đào trong các trường hợp xếp đào vào:
i.Lỗ trống lập phương trong kiếu lập phương đơn giản. ii. Lỗ trống bát diện trong kiếu lập phương tâm khối. iii. Lỗ trống bát diện trong kiếu lập phương tâm diện.
b) Trong các kiếu sắp xếp s.c., h.c.p., b.c.c. và f.c.c., trung bình với một quả dưa hấu có thểxếp tối đa bao nhiêu quả đào? xếp tối đa bao nhiêu quả đào?
c) Tính giá trị ϕ lớn nhất cho các kiếu sắp xếp s.c., b.c.c. và f.c.c. có xếp đào ở các khoảngtrống? trống?
4. Hoa quả có thể bị hỏng do xe không thoáng gió.
a) Để giữ các khoảng trống trong kiểu sắp xếp b.c.c. và f.c.c., người nông dân quyết địnhchỉ xếp các quả đào vào các lỗ trống bát diện không nối với nhau qua mặt hay tâm. Trong chỉ xếp các quả đào vào các lỗ trống bát diện không nối với nhau qua mặt hay tâm. Trong trường hợp này với một quả dưa có thể xếp được bao nhiêu quả đào?
b) Người nông dân nghĩ ra một cách khác: trong cách sắp xếp f.c.c., ông xếp đào vào tất cảcác lỗ trống bát diện (như trên), và với các lỗ trống tứ diện, ông xếp táo vào. Theo cách các lỗ trống bát diện (như trên), và với các lỗ trống tứ diện, ông xếp táo vào. Theo cách này, với một quả dưa, ông có thể xếp được bao nhiêu quả táo?
Tạo hóa cũng làm nảy sinh những vấn đề lí thú như “sự phỏng đoán Kepler”. Ngọc opal là một loại đá tự nhiên được cấu tạo từ các quả cầu bé xíu SiO2 (cỡ micro) sắp xếp đặc khít với nhau. Đặc tính của opal là có thể phát ra các ánh sáng khác nhau (phát ngũ sắc) khi được chiếu sáng. Hiện tượng này được giải thích bằng sự nhiễu xạ ánh sáng nhìn thấy, tuân theo định luật Bragg: λ = 2d sinθ
Trong đó λ là độ dài sóng của tia sáng, d là khoảng cách giữa các lớp sắp xếp chặt khít trong opal, 2θ là góc giữa tia tới và tia nhiễu xạ (nói cách khác, θ là góc nghiêng giữa tia sang với bề mặt của đá opal).
Opal là loại đá có cấu trúc tinh thể đầu tiên được biết là có khả năng khúc xạ, loại vật chất được cấu tạo từ các quả cầu cỡ micro với chỉ số khúc xạ cao. Quang phổ của nó đã chứng minh cho những đặc tính lí thú này, ví dụ như sự xuất hiện các vùng trống ánh sáng
(giống vùng trống của electron trong vật liệu bán dẫn). Tinh thể có khả năng phản xạ được xem là loại tốt nhất trong các loại vật chất có thể phản xạ ánh sáng và sẽ được ứng dụng vào công nghệ thông tin trong tương lai.