6. Tổ chức luận văn:
2.2. Phân tích chương trình và phân tích quan hệ thể chế với đối tượng “dạy học định lý” liên
lý” liên quan đến việc dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7:
2.2.1. Sự chuyển đổi sư phạm của đối tượng “dạy học định lý”:
* Về tri thức khoa học:
Định lý là một mệnh đề Toán học đã được chứng minh. * Về tri thức giảng dạy:
Định lý là một mệnh đề đã được chứng minh là đúng (tức là ở mức độ giảng dạy chỉ nghiên cứu các định lý với tư cách là các mệnh đề đúng)
Đã có một sự chuyển đổi didactic.
Khái niệm Định lý và chứng minh định lý đóng vai trò quan trọng và cơ bản của Toán suy diễn. Để phù hợp với sự phát triển của hs, việc tiếp cận phân môn Hình học được chia theo 2 giai đoạn: Hình học trực quan và Hình học suy diễn với khoảng cách giữa hai giai đoạn khá lớn. Định lý và chứng minh định lý là hai khái niệm mở đầu cho giai đoạn thứ 2, do đó việc đưa vào nếu không chú ý đến khả năng tiếp cận của hs sẽ gây ra khó khăn, hụt hẫng cho hs.
SGK Hình học 7 đã có sự quan tâm thích đáng đến việc trình bày 2 khái niệm này như thế nào? Thông qua việc phân tích SGK, SGV, chúng tôi ghi nhận như sau:
SGK trang 100
Tính chất “2 góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng không phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận. Một tính chất như vậy là một định lý. Ta có thể hiểu: Định lý là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng 2 góc đối đỉnh là giả thiết, hai góc đó bằng nhau là kết luận.
Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.
+ Vì lý do sư phạm nên khái niệm định lý và chứng minh định lý không được định nghĩa tường minh và chính xác. SGV còn nêu rõ chỉ yêu cầu hs hiểu: định lý phải
được khẳng định bằng suy luận chứ không phải bằng đo trực tiếp. Hơn nữa là biết
xác định các thành phần của định lý.
+ Khái niệm chứng minh định lý cũng chỉ được đưa vào theo kiểu mô tả thông qua
một ví dụ minh họa. Cách suy luận, cách trình bày, …. đều được hs nhận ra qua các ví dụ
+ Ngoài việc hình thành và phát triển khả năng tư duy, khả năng nắm bắt mối liên hệ
giữa các định lý từ đó vận dụng giải quyết các bài toán chứng minh hình học, việc dạy học chứng minh định lý, tính chất ở lớp 7 là nhằm đạt được yêu cầu quan trọng chủ yếu sau:
Đảm bảo sự kết hợp trực quan và suy diễn
Làm cho hs nhận thấy vai trò quan trọng và cơ bản của việc “suy diễn” trong một tiến trình chứng minh
Lớp 7 là giai đoạn chuyển tiếp giữa hình học trực quan và hình học suy diễn. Thực tế có một sự ngắt quãng khá lớn giữa hình học trực quan và hình học suy diễn. Do đó, việc dạy học định lý ở lớp 7 có những đặc điểm rất riêng để đảm bảo sự nối khớp trên.
Hoạt động chứng minh là hoạt động chính, xuyên suốt toàn bộ chương trình Hình học lớp 7, xuất hiện ngầm ẩn và tường minh thông qua các hoạt động sau:
Hoạt động vẽ hình Hoạt động giải thích Hoạt động ngôn ngữ Hoạt động chứng minh
Các hoạt động trên sẽ được phân tích kỹ hơn trong nhận xét về các tổ chức toán học.
2.2.2. Phân tích quy trình hợp thức tính chất hình học lớp 7:
* Theo quan điểm thực nghiệm thì các tính chất được hình thành theo tiến trình:
Quan sát – thực nghiệm – mô tả – khái quát hóa
+ Với yêu cầu chủ yếu là: rèn luyện cách sử dụng các công cụ; thao tác đo đạc, cắt
ghép, dựng hình; từ đó quan sát và rút ra các tính chất
Coi trọng các thao tác vẽ hình, quan sát và PP quy nạp để thông qua việc quan sát hình có thể rút ra được các tính chất
Việc “suy luận” có được đề cập đến tuy nhiên không quá trừu tượng, không quá phức tạp và thường diễn ra trong các giờ bài tập; chứng minh phản chứng không xuất hiện
* SGK 7 hiện hành tuy không phải xây dựng hoàn toàn theo quan điểm thực nghiệm
nhưng rõ ràng yếu tố thực nghiệm đã được tính đến. Đặc biệt các kiến thức hình học
được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn (SGV). Cụ thể chúng tôi ghi nhận được việc dạy học các tính chất ở lớp 7 diễn ra theo các kiểu như sau:
Kiểu 1:
Hs tiếp cận với tính chất thông qua hoạt động gồm các pha: thực nghiệm – dự
đoán – suy luận – khẳng định tính chất – vận dụng
Việc dạy học tính chất theo các pha trên thuộc về tiến trình Thực nghiệm/Suy
luận, trong đó nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu lý thuyết có mối quan hệ biện
chứng (Lê Văn Tiến, PPDH môn Toán ở trường phổ thông)
Hình học là lĩnh vực mà dối tượng rất quen thuộc. việc chm hình học dựa trên hình vẽ xây dựng phỏng đoán phê phán phỏng đoán hợp thức hóa bằng chm. Đây là tiến trình mà mối liên hệ giũa trực giác và tính chặt chẽ lập luận được duy trì (Lê Thị Hoài Châu, PPDH hình học ở trường THPT)
Và đây là tiến trình cơ bản để hình thành một tính chất. Việc đưa vào tiến trình này c động khá tích cực:
+ Đặt hs vào một quy trình đúng của nghiên cứu khoa học
+ Một tính chất xuất hiện một cách hệ thống và chặt chẽ (không phải do chủ
quan của một ai tự nghĩ ra)
+ Thực nghiệm chỉ khẳng định được dự đoán trong một hoặc một số hình vẽ cụ
thể nào đó nhưng không thể kiểm nghiệm được dự đoán có đúng cho tất cả các
hình không. Thực nghiệm là khâu đầu tiên và đóng vai trò hỗ trợ cho hs đưa ra
các phỏng đoán.
+ Các dự đoán muốn được hợp thức hóa thì bắt buộc phải qua suy luận bằng các
công cụ lý thuyết. Ví dụ:
Bước 1: Xem hình 1
O 1
2 3
Bước 2: Hãy đo góc O1 và O3 . So sánh sđ 2 góc đó[….] Bước 3: Dự đoán kết quả [….]
Bước 4: Tập suy luận [….] Bước 5: Ta có tính chất [….]
Tuy nhiên ý nghĩa pha dự đoán của ví dụ chưa thực sự được bộc lộ:
Chưa gây nghi ngờ, do dó nhu cầu “hợp thức hóa kết quả bằng suy luận” vẫn chưa cần thiết
Lý do cho sự xuất hiện của suy luận ở đây là “theo yêu cầu đề toán”
hoặc nhằm mục đích “Suy luận để có khẳng định đúng và tổng quát”
Kết quả dự đoán dễ dàng, từ đó tạo thói quen đưa ra dự đoán chỉ căn cứ vào một hình
Kiểu 2:
Khác với kiểu 1 ở thứ tự xuất hiện: thực nghiệm – dự đoán – khẳng định tính
chất – suy luận – vận dụng
Hạn chế: tình huống gây sự lưỡng lự cho hs đã mất, hs dự đoán nhưng tính đúng sai của dự đoán lại được khẳng định ngay sau đó, hs chỉ có nhiệm vụ là suy luận. Như vậy pha dự đoán ở đây vẫn chỉ mang tính hình thức, điều này càng rõ hơn khi đa số các pha dự đoán trong SGK đều xuất hiện chỉ sau khi thực nghiệm trên một hình
(có khi là hình được SGK cung cấp). Nhưng dù vậy, kiểu 1, kiểu 2 cũng đã vẽ ra
bước chuyển tiếp từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn
Ngoài ra có những tính chất mà pha thực nghiệm chỉ là quan sát hình có sẵn
trong SGK. Hình có sẵn là không nên vì:
+ Khi hs tự vẽ, tự đo đạc thì sẽ tạo được sự nghi ngờ nếu hình của hs này khác
+ SGK cho hình sẵn, điều này thường nhắm đến nội dung SGK muốn truyền tải, đôi khi là tạo hướng dự đoán quá rõ ràng
Ví dụ:
Tính chất “quan hệ vuông góc và song song” [9, tr 97]
Nếu hs tự vẽ thì mới có thể xảy ra trường hợp 2 đường thẳng d và d’ trùng
nhau; từ đó mới nhấn mạnh được điều kiện phân biệt của hai đường thẳng
d và d’
Kiểu 3:
Dạy học tính chất theo tiến trình: hs thực nghiệm – SGK rút ra tính chất – hs
suy luận
Hạn chế: Pha dự đoán không xuất hiện, nên không đặt hs trước tình huống phải
tìm tòi, phải khám phá, điều này không tạo được nhu cầu và sự hứng thú ở hs. Bước
chuyển tiếp chưa được thực hiện.
Tiến trình này có thể được khắc phục nếu có sự kết hợp của các phần mềm hình học động. Nhờ vào đặc tính của phần mềm là đảm bảo được các yếu tố bất biến của hình nên khi hình được di chuyển, các tính chất sẽ được nhận ra thông qua việc quan
sát. Hs sẽ tránh được sự gượng ép khi phải thừa nhận tính chất mà SGK đưa ra và
yêu cầu hs suy luận bằng việc quan sát 1 hình cố định. Như vậy bước chuyển tiếp đã ngầm xuất hiện. Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh cho hs thấy phần mềm mang tính hỗ trợ, các tính chất được rút ra cũng chỉ mang cơ chế phỏng đoán và chỉ được khẳng định khi công việc “suy luận” thành công.
Kiểu 4:
Dạy học tính chất theo tiến trình: thực nghiệm – rút ra tính chất
Do yêu cầu cải cách cho phù hợp với khả năng tiếp thu của hs lớp 7 nên một số chứng minh đã được lược bỏ. Nhưng đa số các tính chất kiểu này đều được viết “ta đã chứng minh được”, “hs tự chứng minh”, “từ các định lý, ta suy ra”; điều này cho thấy ý đồ của SGK: thông qua thực nghiệm để hs nhận ra tính chất, và tính chất đó đã được người ta dùng “suy luận” để khẳng định, nhưng do tính phức tạp nên không
trình bày ra. Việc đưa vào tiến trình này cung cấp cho hs những tính chất có ý nghĩa
lớn trong hình học (ví dụ: định lý Pytago) nhưng vẫn đảm bảo tính cải cách và yêu cầu về việc tiếp cận với hình học suy diễn
Hình học ghi nhận (lớp 6) và hình học suy diễn (lớp 7 trở đi) có một khoảng cách nếu không lưu tâm sẽ khiến hs gặp rất nhiều khó khăn và không có định hướng rõ, hoặc chấp nhận dùng suy luận là do sự bắt buộc từ phía GV chứ không thấy rõ nhu cầu. Vì vậy, việc đưa vào pha dự đoán trong tiến trình hình thành tính chất của SGK hiện hành là việc rất cần thiết và quan trọng. Pha dự đoán giữ vai trò là cầu nối giữa thực nghiệm và suy diễn, khiến hs không quá bỡ ngỡ khi tiếp cận với hình học suy diễn. Hơn nữa, pha dự đoán, với đặc trưng cơ bản là tạo sự nghi ngờ sẽ khiến nảy sinh nhu cầu phải thuyết phục người
khác, nên thực nghiệm không là chưa đủ mà phải bằng suy luận để khẳng định tính đúng
đắn của một tính chất. Đây là một sự cải cách quan trọng của SGK 7.
Tuy nhiên, pha dự đoán còn khá nhiều hạn chế:
+ Không tạo được sự nghi ngờ
+ Các pha dự đoán thường kèm theo các câu hỏi gợi ý (thường là khá gần với
nội dung mà SGK mong muốn)
+ Một tiến trình đầy đủ trong SGK và SBT không nhiều
2.2.3. Hình vẽ trong hình học ở THCS:
2.2.3.1. Vai trò của hình vẽ:
Học sinh trung học cơ sở tiếp thu các kiến thức hình học từ bậc 0 đến bậc 2, trong đó hình
vẽ đóng vai trò rất quan trọng:
Bậc 0 (hình dung): học sinh biết đến 1 hình như một hình tổng thể mà không nhìn thấy các bộ phận. Ở bậc này, hình vẽ giúp học sinh có thể hình dung được các vật thể hình học chung quanh. Ví dụ: hộp phấn có hình dạng là một hình hộp chữ nhật
Bậc 1 (phân tích): học sinh nhận ra các đặc điểm của hình thông qua việc quan sát và thực nghiệm. Khi đó, hình vẽ giúp học sinh tìm tòi các tính chất của hình, giúp phát triển kỹ năng quan sát, mô tả, từ đó phát triển trí tưởng tượng không gian. Ví dụ: phát hiện tính chất bằng nhau của hai góc đối đỉnh, nhận xét được hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau
Bậc 2 (suy diễn không hình thức): học sinh thiết lập quan hệ giữa các tính chất của một hình hoặc giữa các hình; phân loại và định nghĩa các hình; có dùng lý lẽ. Do đó, vai trò hình vẽ càng rõ ràng, đó là chỗ dựa trực giác cho việc dạy học khái niệm và suy luận
Cụ thể, SGK Toán 7 gồm các hoạt động liên quan đến hình vẽ:
Đo đạc, gấp hình, cắt ghép hình (14 bài)
Kiểm tra tính chất đã được rút ra bằng suy luận (đã chứng minh rồi)
Đọc hình có sẵn (24 bài)
Củng cố khái niệm Củng cố tính chất
Vẽ hình
Vẽ hình cơ bản (20 bài vẽ một đối tượng hình học cụ thể):
Củng cố khái niệm và tính chất (?1tr65, 14tr86)
Vẽ hình theo diễn đạt cho trước:
Rèn luyện kỹ năng vẽ hình (18tr72) Củng cố khái niệm, tính chất
Hình thành cách vẽ một số hình phổ biến và quan trọng, chẳng hạn: vẽ tia phân giác của một góc. Theo đó bài toán vẽ hình bằng compa và thước thẳng được đưa vào ngầm ẩn trong sách lớp 7, bao gồm hai bước là nêu cách vẽ và chứng minh bước vẽ, cụ thể SGK nêu cách vẽ còn học sinh tìm lập luận để chứng minh bước vẽ (20tr115)
Vẽ hình thỏa tính chất đã cho (46tr127, 37tr72) Hình thành các suy luận bước đầu
Phân tích mối quan hệ giữa các tính chất
Vẽ hình thể hiện giả thiết, kết luận của bài toán (52tr128): Tạo điểm tựa cho suy luận
Thao tác trên hình là kiểu nhiệm vụ giúp hình học sinh động, gần gũi và dễ tiếp thu
với học sinh, góp phần hỗ trợ trực giác cho suy luận
2.2.3.2. Đặc trưn g hình vẽ trong HHGN và HHSD:
HHGN HHSD
Khái niệm hình không được định nghĩa
mà gán với một cái tên kèm theo các đặc
điểm và hình vẽ minh họa
Các kỹ thuật dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ “Nhận dạng hình” và “Tạo hình hình học” dựa hoàn toàn trên thực nghiệm
Khái niệm hình được định nghĩa tường
minh, được hiểu theo nghĩa khái quát và
thống nhất, với quan niệm ngầm ẩn “Hình là một tập hợp điểm”
Các kỹ thuật dùng cho kiểu nhiệm vụ “Nhận dạng hình” và “Tạo hình hình học” được xây dựng trên các định nghĩa, tính chất và định lý có liên quan
Hình vẽ sẵn có
Tạo ra một hình theo biểu tượng đã có Quan hệ giữa các hình hình học không được hợp thức
Hình vẽ chính là cơ sở để đưa ra các kết luận và để hình thành các kiến thức hình học
Hình vẽ do người học tự vẽ
Tạo ra hình theo sự chỉ dẫn cụ thể, qua đó dần đưa vào bài toán dựng hình 4 bước
Hình được tạo ra từ các bộ phận có quan hệ. Bản thân các hình cũng có quan hệ với nhau
Hình vẽ gợi mở các dự đoán và tạo cơ sở trực giác để chứng minh kiến thức
2.2.4. Môi trường truyền thống và môi trường có hỗ trợ Cabri
2.2.4.1. Môi trường truyền thống:
• Hình vẽ tĩnh
• Cần nhiều thời gian khi muốn chỉnh sửa lại hình vẽ, vì khi một yếu tố trong
hình thay đổi thì các yếu tố khác có liên quan sẽ không tự động thay đổi theo
• Tốn nhiều công sức đối với khâu dự đoán trong các bài toán quỹ tích, tìm điểm cố định…. Nói riêng và các bài toán mà khâu phỏng đoán phụ thuộc khá nhiều vào hình vẽ nói chung. Do đó nhìn chung không có hiệu quả lắm
a) Môi trường có hỗ trợ Cabri:
• Hình vẽ động
• Tác động được lên hình, mỗi tác động đều kéo theo sự thay đổi tương ứng của
các yếu tố có liên quan, do đó vẫn đảm bảo cấu trúc hình. Chẳng hạn, vẽ M là trung điểm của đoạn thẳng AB, người vẽ muốn đoạn AB dài hơn để dễ quan sát thì khi thực hiện thao tác kéo dài đoạn AB thì điểm M sẽ tự động thay đổi theo để vẫn giữ được tính chất là trung điểm của đoạn AB mới.
• Bảo toàn tính bất biến của hình. Do các yếu tố hình đều có sự thay đổi tương
ứng với nhau nên những yếu tố bất biến sẽ thể hiện rõ trên hình khi người vẽ thao tác. Tính chất này hỗ trợ rất hiệu quả cho khâu dự đoán trong các bài toán